Triángulo circular

Triángulo con aristas en forma de arco circular

Triángulos circulares con una mezcla de bordes convexos y cóncavos.

En geometría , un triángulo circular es un triángulo con aristas en forma de arco circular .

Ejemplos

La intersección de tres discos circulares forma un triángulo circular convexo. Por ejemplo, un triángulo de Reuleaux es un caso especial de esta construcción, en el que los tres discos están centrados en los vértices de un triángulo equilátero , con un radio igual a la longitud del lado del triángulo. Sin embargo, no todos los triángulos circulares convexos se forman como una intersección de discos de esta manera.

Un triángulo cuerno circular tiene todos los ángulos internos iguales a cero. ^[1] Una forma de formar algunos de estos triángulos es colocar tres círculos, externamente tangentes entre sí, en pares; entonces la región triangular central rodeada por estos círculos es un triángulo cuerno. Sin embargo, otros triángulos cuerno, como el arbelos (con tres vértices colineales y tres semicírculos como sus lados) son interiores a uno de los tres círculos tangentes que lo forman, en lugar de exteriores a los tres. ^[2]

Cardioide de Boscovich y una de sus líneas bisectrices

Un triángulo circular de tipo cardioide descubierto por Roger Joseph Boscovich tiene tres vértices igualmente espaciados en una línea, dos semicírculos iguales en un lado de la línea y un tercer semicírculo de radio dos veces el radio en el otro lado de la línea. Los dos vértices externos tienen el ángulo interior y el vértice central tiene un ángulo interior . Tiene la curiosa propiedad de que todas las líneas que pasan por el vértice central bisecan su perímetro. ^[3] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Otros triángulos circulares pueden tener una mezcla de bordes de arco circulares cóncavos y convexos.

Caracterización de ángulos

Tres ángulos dados , , y en el intervalo forman los ángulos interiores de un triángulo circular (sin autointersecciones) si y sólo si obedecen el sistema de desigualdades Todos los triángulos circulares con los mismos ángulos interiores entre sí son equivalentes entre sí bajo las transformaciones de Möbius . ^[4] ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{2}-\theta _{3}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{3}-\theta _{2}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{2}+\theta _{3}-\theta _{1}<2\pi .\end{aligned}}}$$

Isoperimetría

Los triángulos circulares dan la solución a un problema isoperimétrico en el que se busca una curva de longitud mínima que encierra tres puntos dados y tiene un área prescrita. Cuando el área es al menos tan grande como el círculo circunscrito de los puntos, la solución es cualquier círculo de esa área que rodea los puntos. Para áreas más pequeñas, la curva óptima será un triángulo circular con los tres puntos como sus vértices, y con arcos circulares de radios iguales como sus lados, hasta el área en la que uno de los tres ángulos interiores de dicho triángulo llega a cero. Por debajo de esa área, la curva degenera en un triángulo circular con "antenas", segmentos rectos que llegan desde sus vértices a uno o más de los puntos especificados. En el límite, cuando el área tiende a cero, el triángulo circular se encoge hacia el punto de Fermat de los tres puntos dados. ^[5]

Véase también

• Círculo de Hart , un círculo asociado con ciertos triángulos circulares.
• Triángulo hiperbólico , un triángulo que tiene lados rectos en geometría hiperbólica, pero que se dibuja como circular en algunos modelos de geometría hiperbólica.
• Luna y Lente , figuras de dos lados delimitadas por arcos circulares
• Círculo de triple ángulo seno
• Trébol , un triángulo circular que sobresale hacia afuera desde sus tres vértices, utilizado en arquitectura.

Referencias

1. Kasner, Edward ; Kalish, Aida (1944), "La geometría del triángulo de cuerno circular", National Mathematics Magazine , 18 : 299–304, doi :10.2307/3030080, JSTOR  3030080, MR  0010442
2. Boas, Harold P. (2006), "Reflexiones sobre los arbelos" (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (3): 236–249, doi :10.2307/27641891, JSTOR  27641891, MR  2204487.
3. Banchoff, Thomas ; Giblin, Peter (1994), "Sobre la geometría de curvas circulares por partes", The American Mathematical Monthly , 101 (5): 403–416, doi :10.2307/2974900, JSTOR  2974900, MR  1272938
4. Eppstein, David ; Frishberg, Daniel; Osegueda, Martha C. (junio de 2023), "Ángulos de arcopolígonos y dibujos de cactus de Lombardi", Computational Geometry , 112 : 101982, arXiv : 2107.03615 , doi : 10.1016/j.comgeo.2023.101982
5. Courant, Richard ; Robbins, Herbert (1996), ¿Qué son las matemáticas? Un enfoque elemental de las ideas y los métodos (2.ª ed.), Oxford University Press, págs. 378-379