Círculo de triple ángulo seno

Círculo de triple ángulo seno

En geometría de triángulos , el círculo de triple ángulo seno es uno de los círculos del triángulo . ^{[1] [2]} Sean A ₁ y A ₂ puntos en BC , un lado del triángulo ABC . Y, defina B ₁ , B ₂ , C ₁ y C ₂ de manera similar para CA y AB . Si

${\displaystyle \angle A=\angle AB_{1}C_{1}=AC_{2}B_{2},}$

${\displaystyle \angle B=\angle BC_{1}A_{1}=BA_{2}C_{2},}$

y

${\displaystyle \angle C=\angle CA_{1}B_{1}=CB_{2}A_{2},}$

Entonces A ₁ , A ₂ , B ₁ , B ₂ , C ₁ y C ₂ se encuentran en un círculo llamado círculo seno-triple ángulo . ^[3] Al principio, Tucker y Neuberg llamaron al círculo "círculo triplicado". ^[4]

Propiedades

• ${\displaystyle |A_{1}A_{2}|:|B_{1}B_{2}|:|C_{1}C_{2}|=\sin 3A:\sin 3B:\sin 3C}$. ^[5] Esta propiedad es la razón por la que el círculo se llama "círculo de triple ángulo seno". Pero, el número de círculos que cortan tres lados de un triángulo que satisface la razón es incontable. Los centros de estos círculos están en la hipérbola a través del incentro , tres excentros y X(49) (ver más abajo para X ₄₉ ). ^[6]
• Los centros homotéticos del círculo de nueve puntos y del círculo son el punto de Kosnita y el foco de la parábola de Kiepert .
• Los centros homotéticos del círculo circunscrito y del círculo son X(184), el inverso del centro de Jerabek en el círculo de Brocard , y X(1147). ^[7]
• Las intersecciones de los polos de A, B y C con el círculo y BC, CA y AB son colineales . ^[8]
• El radio del círculo de triple ángulo seno es

${\displaystyle {\frac {R}{|1+8\cos(A)\cos(B)\cos(C)|}},}$

donde R es el radio circunscrito del triángulo ABC .

Centro

El centro de un círculo de triple ángulo seno es un centro triangular designado como X(49) en la Enciclopedia de centros de triángulos . ^{[7] [9]} Las coordenadas trilineales de X(49) son

${\displaystyle \cos(3A):\cos(3B):\cos(3C)}$.

Generalización

Para un número natural n>0, si

${\displaystyle \angle A_{1}C_{1}A_{2}=(2n-1)A-(n-1)\pi ,}$

${\displaystyle \angle B_{1}A_{1}B_{2}=(2n-1)B-(n-1)\pi ,}$

y

${\displaystyle \angle C_{1}B_{1}C_{2}=(2n-1)C-(n-1)\pi ,}$

entonces A ₁ , A ₂ , B ₁ , B ₂ , C ₁ y C ₂ son concíclicos . ^[8] El círculo de triple ángulo seno es el caso especial en n = 2.

También,

${\displaystyle |A_{1}A_{2}|:|B_{1}B_{2}|:|C_{1}C_{2}|=\sin(2n-1)A:\sin(2n-1)B:\sin(2n-1)C}$.

Véase también

• Círculo de Taylor
• Círculo de Tucker
• Triángulo cónico
• Triple ángulo

Referencias

1. Mathworld, Weisstein, Eric W
2. Sociedad Matemática de Londres (1893). Actas de la Sociedad Matemática de Londres. Oxford University Press. pág. 162.
3. El mensajero de las matemáticas. Macmillan and Company. 1887. pág. 125.
4. Mathesis (en francés). Vol. 7. Johnson Reprint Corporation. 1964.
5. Tebault (1956)
6. Ehrmann y van Lamoen (2002)
7. "La enciclopedia correcta de centros triangulares de Clark Kimberling, ETC".
8. Preguntas matemáticas y soluciones. F. Hodgson. 1887. pág. 139.
9. Congreso Numerantium. Pub Utilitas Matemática. Incorporado. 1970.

• V. Thebault (1965). Seno-triple-ángulo-círculo . Vol. 65. Mathesis . Págs. 282–284.
• Ehrmann, Jean-Pierre; Lamoen, Furgoneta de piso (2002). Los círculos de Stammler . Foro Geométricorum . págs. 151-161.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Círculo seno-triple-ángulo". MathWorld .
• GeoGebra ,X(49) Centro del círculo de triple ángulo seno