Triángulo cónico

En geometría euclidiana , una cónica triangular es una cónica en el plano del triángulo de referencia y asociada con él de alguna manera. Por ejemplo, la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita del triángulo de referencia son cónicas triangulares. Otros ejemplos son la elipse de Steiner , que es una elipse que pasa por los vértices y tiene su centro en el baricentro del triángulo de referencia; la hipérbola de Kiepert , que es una cónica que pasa por los vértices, el baricentro y el ortocentro del triángulo de referencia; y las parábolas de Artzt, que son parábolas que tocan dos líneas laterales del triángulo de referencia en los vértices del triángulo.

La terminología de triángulo cónico se utiliza ampliamente en la literatura sin una definición formal; es decir, sin formular con precisión las relaciones que debe tener una cónica con el triángulo de referencia para poder calificarla como triángulo cónico (véase ^[1]^[2]^[3]^[4] ). Sin embargo, el matemático griego Paris Pamfilos define un triángulo cónico como una "cónica que circunscribe un triángulo $△ ABC$ (es decir, que pasa por sus vértices) o inscrita en un triángulo (es decir, tangente a sus líneas laterales)". ^[5]^[6] La terminología triángulo círculo (respectivamente, elipse , hipérbola , parábola ) se utiliza para denotar un círculo (respectivamente, elipse, hipérbola, parábola) asociado con el triángulo de referencia de alguna manera.

Aunque se han estudiado varias cónicas triangulares individualmente, no existe una enciclopedia o catálogo completo de cónicas triangulares similar a la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling o el Catálogo de cúbicas triangulares de Bernard Gibert . ^[7]

Ecuaciones de cónicas triangulares en coordenadas trilineales

La ecuación de una cónica triangular general en coordenadas trilineales $x : y : z$ tiene la forma Las ecuaciones de los triángulos circuncónicos e incónicos tienen respectivamente las formas $rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.$ ${\begin{aligned}&uyz+vzx+wxy=0\\[2pt]&l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}-2mnyz-2nlzx-2lmxy=0\end{aligned}}$

Cónicas triangulares especiales

A continuación se analizan algunas cónicas triangulares especiales típicas. En las descripciones se utilizan las notaciones estándar: el triángulo de referencia siempre se denota por $△ ABC$ . Los ángulos en los vértices $A, B, C$ se denotan por $A, B, C$ y las longitudes de los lados opuestos a los vértices $A, B, C$ son respectivamente $a, b, c$ . Las ecuaciones de las cónicas se dan en las coordenadas trilineales $x : y : z$ . Las cónicas se seleccionan como ilustrativas de las distintas formas en que una cónica podría asociarse con un triángulo.

Círculos triangulares

Elipses triangulares

Hipérbolas triangulares

Parábolas triangulares

Familias de cónicas triangulares

Elipses de Hofstadter

Familia de cónicas de Hofstadter de $△ ABC$

Una elipse de Hofstadter ^[11] es miembro de una familia de elipses de un parámetro en el plano de $△ ABC$ definida por la siguiente ecuación en coordenadas trilineales: donde $t$ es un parámetro y Las elipses correspondientes a $t$ y $1 -$ $t$ son idénticas. Cuando $t$ $= 1/2$ tenemos la inelipse y cuando $t$ $\to 0$ tenemos la circunelipse $x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz\left[D(t)+{\frac {1}{D(t)}}\right]+zx\left[E(t)+{\frac {1}{E(t)}}\right]+xy\left[F(t)+{\frac {1}{F(t)}}\right]=0$ ${\begin{aligned}D(t)&=\cos A-\sin A\cot tA\\E(t)&=\cos B-\sin B\cot tB\\F(t)&=\sin C-\cos C\cot tC\end{aligned}}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2zx-2xy=0$ ${\frac {a}{Ax}}+{\frac {b}{By}}+{\frac {c}{Cz}}=0.$

Cónicas de Thomson y Darboux

La familia de las cónicas de Thomson está formada por aquellas cónicas inscritas en el triángulo de referencia $△ ABC$ que tienen la propiedad de que las normales en los puntos de contacto con las líneas laterales son concurrentes. La familia de las cónicas de Darboux contiene como miembros aquellas cónicas circunscritas al triángulo de referencia $△ ABC$ tales que las normales en los vértices de $△ ABC$ son concurrentes. En ambos casos los puntos de concurrencia se encuentran en la cúbica de Darboux. ^[12]^[13]

Cónica asociada con intersecciones paralelas

Cónicas asociadas con intersecciones paralelas

Dado un punto arbitrario en el plano del triángulo de referencia $△ ABC$ , si se trazan líneas a través de $P$ paralelas a las líneas laterales $BC, CA, AB$ que intersecan los otros lados en $X b, X c, Y c, Y a, Z a, Z b$ entonces estos seis puntos de intersección se encuentran en una cónica. Si se elige P como el punto simediano, la cónica resultante es un círculo llamado círculo de Lemoine. Si las coordenadas trilineales de $P$ son $u : v : w$ la ecuación de la cónica de seis puntos es ^[14] $-(u+v+w)^{2}(bcuyz+cavzx+abwxy)+(ax+by+cz)(vw(v+w)ax+wu(w+u)by+uv(u+v)cz)=0$

Cónicas Yff

Los miembros de la familia de cónicas de un parámetro definidas por la ecuación donde es un parámetro, son las cónicas Yff asociadas con el triángulo de referencia $△$ $ABC$ . ^[15] Un miembro de la familia está asociado con cada punto $P$ $($ $u$ $:$ $v$ $:$ $w$ $)$ en el plano estableciendo La cónica Yff es una parábola si (por ejemplo). Es una elipse si y y es una hipérbola si . Para , las cónicas son imaginarias. $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\lambda (yz+zx+xy)=0,$ $\lambda$ $\lambda ={\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2(vw+wu+uv)}}.$ $\lambda ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(bc+ca+ab)}}=\lambda _{0}$ $\lambda <\lambda _{0}$ $\lambda _{0}>{\frac {1}{2}}$ $\lambda _{0}<\lambda <-1$ $-1<\lambda <{\frac {1}{2}}$

Véase también

Referencias

^ Paris Pamfilos (2021). «Equiláteros inscritos en cónicas». Revista Internacional de Geometría . 10 (1): 5–24.
^ Christopher J Bradley. "Cuatro cónicas triangulares". Páginas personales . Universidad de BATH . Consultado el 11 de noviembre de 2021 .
^ Gotthard Weise (2012). «Generalización y extensión del teorema de Wallace». Forum Geometricorum . 12 : 1–11 . Consultado el 12 de noviembre de 2021 .
^ Zlatan Magajna. "OK Geometry Plus". OK Geometry Plus . Consultado el 12 de noviembre de 2021 .
^ "Geometrikon". Página de inicio de Paris Pamfilos sobre geometría, filosofía y programación . Paris Palmfilos . Consultado el 11 de noviembre de 2021 .
^ "1. Cónicas de triángulos". Página de inicio de Paris Pamfilos sobre geometría, filosofía y programación . Paris Palfilos . Consultado el 11 de noviembre de 2021 .
^ Bernard Gibert. "Catálogo de cúbicas triangulares". Cúbicas en el plano del triángulo . Bernard Gibert . Consultado el 12 de noviembre de 2021 .
^ Nelle May Cook (1929). Un triángulo y sus círculos (PDF) . Kansas State Agricultural College . Consultado el 12 de noviembre de 2021 .
^ Nikolaos Dergiades (2010). "Cónicas tangentes en los vértices a dos lados de un triángulo". Forum Geometricorum . 10 : 41–53.
^ RH Eddy y R Fritsch (junio de 1994). "Las cónicas de Ludwig Kiepert: una lección completa sobre la geometría de las Tr". Revista de matemáticas . 67 (3): 188–205. doi :10.1080/0025570X.1994.11996212.
^ Weisstein, Eric W. "Elipse de Hofstadter". athWorld--Un recurso web de Wolfram . Wolfram Research . Consultado el 25 de noviembre de 2021 .
^ Roscoe Woods (1932). "Algunas cónicas con nombres". Actas de la Academia de Ciencias de Iowa . 39 Volumen 50 (Número anual).
^ "K004: Cúbica de Darboux". Catálogo de curvas cúbicas . Bernard Gibert . Consultado el 26 de noviembre de 2021 .
^ Paul Yiu (verano de 2001). Introducción a la geometría del triángulo (PDF) . pág. 137. Consultado el 26 de noviembre de 2021 .
^ Clark Kimberling (2008). "Cónicas Yff". Revista de geometría y gráficos . 12 (1): 23–34.