En matemáticas , un edificio (también edificio de Tits , que lleva el nombre de Jacques Tits ) es una estructura combinatoria y geométrica que generaliza simultáneamente ciertos aspectos de variedades de banderas , planos proyectivos finitos y espacios simétricos de Riemann . Los edificios fueron introducidos inicialmente por Jacques Tetas como un medio para comprender la estructura de grupos algebraicos lineales reductivos isotrópicos en campos arbitrarios. La teoría más especializada de los edificios Bruhat-Tits (llamada también así por François Bruhat ) juega un papel en el estudio de los grupos de Lie p -ádicos análogo al de la teoría de espacios simétricos en la teoría de los grupos de Lie .
La noción de edificio fue inventada por Jacques Tetas como un medio para describir grupos algebraicos simples sobre un campo arbitrario . Tetas demostró cómo a cada grupo G se le puede asociar un complejo simplicial Δ = Δ( G ) con una acción de G , llamado edificio esférico de G . El grupo G impone condiciones de regularidad combinatoria muy fuertes a los complejos Δ que pueden surgir de esta manera. Al tratar estas condiciones como axiomas de una clase de complejos simpliciales, Tetas llegó a su primera definición de edificio. Una parte de los datos que definen un edificio Δ es un grupo de Coxeter W , que determina un complejo simplicial altamente simétrico Σ = Σ( W , S ) , llamado complejo de Coxeter . Un edificio Δ está pegado a partir de múltiples copias de Σ , llamadas apartamentos , de cierta manera regular. Cuando W es un grupo de Coxeter finito, el complejo de Coxeter es una esfera topológica y se dice que los edificios correspondientes son de tipo esférico . Cuando W es un grupo de Weyl afín , el complejo de Coxeter es una subdivisión del plano afín y se habla de edificios afines o euclidianos . Un edificio afín de tipo à 1 es lo mismo que un árbol infinito sin vértices terminales.
Aunque la teoría de grupos algebraicos semisimples proporcionó la motivación inicial para la noción de edificio, no todos los edificios surgen de un grupo. En particular, los planos proyectivos y los cuadrángulos generalizados forman dos clases de gráficos estudiados en geometría de incidencia que satisfacen los axiomas de un edificio, pero que no pueden estar conectados con ningún grupo. Este fenómeno resulta estar relacionado con el bajo rango del correspondiente sistema Coxeter (es decir, dos). Tit demostró un teorema notable: todos los edificios esféricos de rango al menos tres están conectados con un grupo; es más, si un edificio de rango al menos dos está conectado con un grupo, entonces el grupo está esencialmente determinado por el edificio (Tits 1974).
Iwahori-Matsumoto, Borel-Tits y Bruhat-Tits demostraron que, en analogía con la construcción de edificios esféricos de Tetas, también se pueden construir edificios afines a partir de ciertos grupos, a saber, grupos algebraicos reductivos sobre un campo local no arquimediano . Además, si la división del grupo es de al menos tres, está determinada esencialmente por su estructura. Más tarde, Tits reelaboró los aspectos fundamentales de la teoría de los edificios utilizando la noción de un sistema de cámaras , codificando el edificio únicamente en términos de propiedades de adyacencia de simples de dimensión máxima; esto conduce a simplificaciones tanto en casos esféricos como en casos afines. Demostró que, en analogía con el caso esférico, todo edificio de tipo afín y de rango al menos cuatro surge de un grupo.
Un edificio X de n dimensiones es un complejo simplicial abstracto que es una unión de subcomplejos A llamados apartamentos tales que
Un n -simplex en A se llama cámara (originalmente chambre , es decir, habitación en francés ).
El rango del edificio se define como n + 1 .
Cada apartamento A en un edificio es un complejo de Coxeter . De hecho, por cada dos n -simplices que se cruzan en un ( n – 1) -simplex o panel , hay un período único de dos automorfismos simpliciales de A , llamado reflexión , que lleva un n -simplex al otro y fija sus puntos comunes. . Estas reflexiones generan un grupo de Coxeter W , llamado grupo Weyl de A , y el complejo simplicial A corresponde a la realización geométrica estándar de W. Los generadores estándar del grupo Coxeter están dados por las reflexiones en las paredes de una cámara fija en A. Dado que el apartamento A está determinado hasta el isomorfismo por el edificio, lo mismo ocurre con dos simples cualesquiera en X que se encuentren en algún apartamento común A. Cuando W es finito, se dice que el edificio es esférico . Cuando se trata de un grupo Weyl afín , se dice que el edificio es afín o euclidiano .
El sistema de cámaras es el grafo de adyacencia formado por las cámaras; cada par de cámaras adyacentes puede además ser etiquetado por uno de los generadores estándar del grupo Coxeter (ver Tit 1981).
Todo edificio tiene una métrica de longitud canónica heredada de la realización geométrica obtenida al identificar los vértices con una base ortonormal de un espacio de Hilbert . Para edificios afines, esta métrica satisface la desigualdad de comparación CAT(0) de Alexandrov , conocida en este contexto como condición de curvatura no positiva de Bruhat-Tits para triángulos geodésicos: la distancia desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto no es mayor que la distancia en el triángulo euclidiano correspondiente con las mismas longitudes de lados (ver Bruhat y Tetas 1972).
Si un grupo G actúa de manera simple sobre un edificio X , transitivamente sobre pares ( C , A ) de cámaras C y apartamentos A que las contienen, entonces los estabilizadores de tal par definen un par ( B , N ) o sistema de tetas . De hecho, el par de subgrupos
satisface los axiomas de un par ( B , N ) y el grupo Weyl se puede identificar con N / N ∩ B.
Por el contrario, el edificio se puede recuperar del par ( B , N ) , de modo que cada par ( B , N ) define canónicamente un edificio. De hecho, usando la terminología de ( B , N ) pares y llamando a cualquier conjugado de B un subgrupo de Borel y a cualquier grupo que contenga un subgrupo de Borel un subgrupo parabólico,
El mismo edificio a menudo puede describirse mediante diferentes pares ( B , N ) . Además, no todos los edificios provienen de un par ( B , N ) : esto corresponde a una falla en la clasificación que da como resultado un rango y dimensión bajos (ver más abajo).
La estructura simple de los edificios afines y esféricos asociados a SL n ( Q p ) , así como sus interconexiones, son fáciles de explicar directamente utilizando sólo conceptos de álgebra elemental y geometría (ver Garrett 1997). En este caso se trata de tres edificios diferenciados, dos esféricos y uno afín. Cada uno es una unión de apartamentos , en sí mismos complejos simples. Para el edificio afín, un apartamento es un complejo simplicial que tesela el espacio euclidiano E n −1 por ( n − 1 ) -simplices dimensionales; mientras que para un edificio esférico es el complejo simplicial finito formado por todos ( n − 1)! simplifica con un vértice común dado en la teselación análoga en E n −2 .
Cada edificio es un complejo simplicial X que debe satisfacer los siguientes axiomas:
Sea F un campo y sea X el complejo simplicial con vértices los subespacios vectoriales no triviales de V = F n . Dos subespacios U 1 y U 2 están conexos si uno de ellos es subconjunto del otro. Los k -símplices de X están formados por conjuntos de k + 1 subespacios mutuamente conectados. La conectividad máxima se obtiene tomando n − 1 subespacios adecuados no triviales y el correspondiente ( n − 1) -simplex corresponde a una bandera completa
Los simples de dimensiones inferiores corresponden a banderas parciales con menos subespacios intermedios U i .
Para definir los apartamentos en X , es conveniente definir un marco en V como una base ( vi ) determinada hasta la multiplicación escalar de cada uno de sus vectores vi ; en otras palabras, un marco es un conjunto de subespacios unidimensionales L i = F · v i tales que cualquier k de ellos genera un subespacio k -dimensional. Ahora un marco ordenado L 1 , ..., L n define una bandera completa a través de
Dado que las reordenaciones de los distintos Li también dan un marco, es sencillo ver que los subespacios, obtenidos como sumas de los Li , forman un complejo simple del tipo requerido para un apartamento de un edificio esférico. Los axiomas de un edificio se pueden verificar fácilmente utilizando el argumento clásico del refinamiento de Schreier utilizado para demostrar la unicidad de la descomposición de Jordan-Hölder .
Sea K un campo que se encuentra entre Q y su terminación p -ádica Q p con respecto a la norma p -ádica no arquimediana habitual ‖ x ‖ p en Q para algún primo p . Sea R el subanillo de K definido por
Cuando K = Q , R es la localización de Z en p y, cuando K = Q p , R = Z p , los enteros p -ádicos , es decir, la clausura de Z en Q p .
Los vértices del edificio X son las R -redes en V = K n , es decir R - submódulos de la forma
donde ( vi ) es una base de V sobre K. Se dice que dos redes son equivalentes si una es múltiplo escalar de la otra por un elemento del grupo multiplicativo K * de K (de hecho, sólo es necesario utilizar potencias enteras de p ). Se dice que dos redes L 1 y L 2 son adyacentes si alguna red equivalente a L 2 se encuentra entre L 1 y su subred p · L 1 : esta relación es simétrica. Los k -simplices de X son clases de equivalencia de k + 1 redes mutuamente adyacentes. Los ( n − 1) -simplices corresponden, después de reetiquetar, a cadenas
donde cada cociente sucesivo tiene orden p . Los apartamentos se definen fijando una base ( vi ) de V y tomando todas las redes con base ( p a i v i ) donde ( a i ) se encuentra en Z n y se determina de forma única hasta la suma del mismo número entero a cada entrada.
Por definición cada apartamento tiene la forma requerida y su unión es el conjunto de X. El segundo axioma se deriva de una variante del argumento del refinamiento de Schreier. El último axioma se sigue de un argumento de conteo simple basado en los órdenes de grupos abelianos finitos de la forma
Un argumento de compacidad estándar muestra que X es, de hecho, independiente de la elección de K. En particular, tomando K = Q , se deduce que X es contable. Por otro lado, tomando K = Q p , la definición muestra que GL n ( Q p ) admite una acción natural simplicial sobre el edificio.
El edificio viene equipado con un etiquetado de sus vértices con valores en Z / n Z. De hecho, fijando una red de referencia L , la etiqueta de M viene dada por
para k suficientemente grande. Los vértices de cualquier ( n – 1) -simplex en X tienen etiquetas distintas, que recorren todo Z / n Z. Cualquier automorfismo simplicial φ de X define una permutación π de Z / n Z tal que etiqueta( φ ( M )) = π (etiqueta ( M )) . En particular para g en GL n ( Q p ) ,
Por tanto, g conserva las etiquetas si g se encuentra en SL n ( Q p ) .
Tits demostró que cualquier automorfismo que preserve la etiqueta del edificio afín surge de un elemento de SL n ( Q p ) . Dado que los automorfismos del edificio permutan las etiquetas, existe un homomorfismo natural
La acción de GL n ( Q p ) da lugar a un n -ciclo τ . Otros automorfismos del edificio surgen de automorfismos externos de SL n ( Q p ) asociados con automorfismos del diagrama de Dynkin . Tomando la forma bilineal simétrica estándar con base ortonormal v i , el mapa que envía una red a su red dual da un automorfismo cuyo cuadrado es la identidad, dando la permutación σ que envía cada etiqueta a su módulo negativo n . La imagen del homomorfismo anterior es generada por σ y τ y es isomorfa al grupo diédrico D n de orden 2 n ; cuando n = 3 , da la totalidad de S 3 .
Si E es una extensión finita de Galois de Q p y el edificio se construye a partir de SL n ( E ) en lugar de SL n ( Q p ) , el grupo de Galois Gal ( E / Q p ) también actuará mediante automorfismos sobre el edificio.
Los edificios esféricos surgen de dos maneras muy diferentes en relación con el edificio afín X para SL n ( Q p ) :
Cuando L es un campo local de Arquímedes, entonces en el edificio para el grupo SL 2 ( L ) se puede imponer una estructura adicional de un edificio con multiplicación compleja. Estos fueron introducidos por primera vez por Martin L. Brown (Brown 2004). Estos edificios surgen cuando una extensión cuadrática de L actúa sobre el espacio vectorial L 2 . Estos edificios con multiplicación compleja se pueden extender a cualquier campo global. Describen la acción de los operadores de Hecke sobre los puntos de Heegner en la curva modular clásica X 0 ( N ) así como en la curva modular X de Drinfeld.beber
0( I ) . Estos edificios con multiplicación compleja están completamente clasificados para el caso de SL 2 ( L ) en Brown 2004.
Tits demostró que todos los edificios esféricos irreductibles (es decir, con grupo Weyl finito ) de rango mayor que 2 están asociados a grupos algebraicos o clásicos simples.
Un resultado similar es válido para edificios afines irreductibles de dimensión mayor que 2 (sus edificios "en el infinito" son esféricos de rango mayor que dos). En rango o dimensión inferior no existe tal clasificación. De hecho, cada estructura de incidencia da un edificio esférico de rango 2 (ver Pott 1995); y Ballmann y Brin demostraron que todo complejo simplicial bidimensional en el que los enlaces de los vértices son isomorfos al complejo de bandera de un plano proyectivo finito tiene la estructura de un edificio, no necesariamente clásica. Muchos edificios afines bidimensionales se han construido utilizando grupos de reflexión hiperbólicos u otras construcciones más exóticas conectadas con orbifolds .
Tits también demostró que cada vez que un edificio es descrito por un par ( B , N ) en un grupo, en casi todos los casos los automorfismos del edificio corresponden a los automorfismos del grupo (ver Tits 1974).
La teoría de la edificación tiene importantes aplicaciones en varios campos bastante dispares. Además de las conexiones ya mencionadas con la estructura de grupos algebraicos reductivos sobre campos generales y locales, los edificios se utilizan para estudiar sus representaciones . Los resultados de Tit sobre la determinación de un grupo por su construcción tienen profundas conexiones con los teoremas de rigidez de George Mostow y Grigory Margulis , y con la aritmeticidad de Margulis.
En matemáticas discretas se estudian tipos especiales de edificios, y la idea de un enfoque geométrico para caracterizar grupos simples resultó muy fructífera en la clasificación de grupos finitos simples . La teoría de edificios de tipos más generales que los esféricos o afines aún está relativamente poco desarrollada, pero estos edificios generalizados ya han encontrado aplicaciones a la construcción de grupos de Kac-Moody en álgebra, y a variedades curvadas no positivamente y grupos hiperbólicos en topología y teoría de grupos geométricos .