Teorema de refinamiento de Schreier

Afirmación en teoría de grupos

En matemáticas , el teorema de refinamiento de Schreier de la teoría de grupos establece que dos series subnormales de subgrupos de un grupo dado tienen refinamientos equivalentes, donde dos series son equivalentes si existe una biyección entre sus grupos factoriales que envía cada grupo factorial a uno isomorfo .

El teorema recibe su nombre del matemático austríaco Otto Schreier , quien lo demostró en 1928. Proporciona una demostración elegante del teorema de Jordan-Hölder . A menudo se demuestra utilizando el lema de Zassenhaus . Baumslag (2006) ofrece una demostración breve intersectando los términos de una serie subnormal con los de la otra serie.

Ejemplo

Consideremos , donde es el grupo simétrico de grado 3 . El grupo alterno es un subgrupo normal de , por lo que tenemos las dos series subnormales ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times S_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle A_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$

${\displaystyle \{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3},}$

${\displaystyle \{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\{0\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3},}$

con grupos de factores respectivos y . Las dos series subnormales no son equivalentes, pero tienen refinamientos equivalentes: ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2},S_{3})}$ ${\displaystyle (A_{3},\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}$

${\displaystyle \{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times A_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3}}$

con grupos factoriales isomorfos a y ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2},A_{3},\mathbb {Z} _{2})}$

${\displaystyle \{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\{0\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\{0\}\times S_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3}}$

con grupos factoriales isomorfos a . ${\displaystyle (A_{3},\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{2})}$

Referencias

• Baumslag, Benjamin (2006), "Una forma sencilla de demostrar el teorema de Jordan-Hölder-Schreier", American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi :10.2307/27642092, JSTOR  27642092