Complejo Coxeter

Complejo simplicial

En matemáticas, el complejo de Coxeter , llamado así por el HSM Coxeter , es una estructura geométrica (un complejo simplicial ) asociada a un grupo de Coxeter . Los complejos de Coxeter son los objetos básicos que permiten la construcción de edificios ; forman los departamentos de un edificio.

Construcción

La representación lineal canónica

El primer ingrediente en la construcción del complejo de Coxeter asociado a un sistema de Coxeter es una cierta representación de , llamada representación canónica de . ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Sea un sistema de Coxeter con matriz de Coxeter . La representación canónica está dada por un espacio vectorial con base de símbolos formales , que está dotado de la forma bilineal simétrica . En particular, . La acción de on está dada entonces por . ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle M=(m(s,t))_{s,t\in S}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (e_{s})_{s\in S}}$ ${\displaystyle B(e_{s},e_{t})=-\cos \left({\frac {\pi }{m(s,t)}}\right)}$ ${\displaystyle B(e_{s},e_{s})=1}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s(v)=v-2B(e_{s},v)e_{s}}$

Esta representación tiene varias propiedades fundamentales en la teoría de los grupos de Coxeter; por ejemplo, es definida positiva si y solo si es finita. Es una representación fiel de . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Cámaras y el cono de las tetas

Esta representación se describe como un grupo de reflexión , con la salvedad de que podría no ser definida positiva. Por lo tanto, es importante distinguir la representación de su dual . Los vectores se encuentran en y tienen vectores duales correspondientes en dados por ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle e_{s}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle e_{s}^{\vee }}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \langle e_{s}^{\vee },v\rangle =2B(e_{s},v),}$

donde los corchetes angulares indican el emparejamiento natural entre y . ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

Ahora actúa sobre y la acción está dada por ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle s(f)=f-\langle f,e_{s}\rangle e_{s}^{\vee },}$

para y cualquier . Entonces es una reflexión en el hiperplano . Se tiene la cámara fundamental ; esta tiene frente a las llamadas paredes, . Las otras cámaras se pueden obtener de por traducción: son las para . ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H_{s}=\{f\in V^{*}:\langle f,e_{s}\rangle =0\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{f\in V^{*}:\langle f,e_{s}\rangle >0\ \forall s\in S\}}$ ${\displaystyle H_{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle w{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle w\in W}$

El cono de Tits es . No es necesario que sea la totalidad de . Es de suma importancia el hecho de que es convexo. El cierre de es un dominio fundamental para la acción de sobre . ${\displaystyle X=\bigcup _{w\in W}w{\overline {\mathcal {C}}}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$

El complejo Coxeter

El complejo de Coxeter de con respecto a es , donde es el grupo multiplicativo de los reales positivos. ${\displaystyle \Sigma (W,S)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma (W,S)=(X\setminus \{0\})/\mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

Ejemplos

Grupos diedros finitos

Los grupos diedros (de orden 2 n ) son grupos de Coxeter, de tipo correspondiente . Estos tienen la presentación . ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {I} _{2}(n)}$ ${\displaystyle \left\langle s,t\,\left|\,s^{2},t^{2},(st)^{n}\right\rangle \right.}$

La representación lineal canónica de es la representación de reflexión habitual del grupo diedro, como actuando sobre un -gono en el plano (así en este caso). Por ejemplo, en el caso obtenemos el grupo de Coxeter de tipo , actuando sobre un triángulo equilátero en el plano. Cada reflexión tiene un hiperplano asociado en el espacio vectorial dual (que puede identificarse canónicamente con el propio espacio vectorial utilizando la forma bilineal , que es un producto interno en este caso como se señaló anteriormente); estas son las paredes. Recortan cámaras, como se ve a continuación: ${\displaystyle \mathrm {I} _{2}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \mathrm {I} _{2}(3)=\mathrm {A} _{2}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H_{s}}$ ${\displaystyle B}$

El complejo de Coxeter es entonces el -gon correspondiente, como en la imagen de arriba. Se trata de un complejo simplicial de dimensión 1, y se puede colorear por cotipo. ${\displaystyle 2n}$

El grupo diedro infinito

Otro ejemplo motivador es el grupo diedro infinito . Este puede verse como el grupo de simetrías de la recta real que conserva el conjunto de puntos con coordenadas enteras; se genera por las reflexiones en y . Este grupo tiene la presentación de Coxeter . ${\displaystyle D_{\infty }}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x={1 \over 2}}$ ${\displaystyle \left\langle s,t\,\left|\,s^{2},t^{2}\right\rangle \right.}$

En este caso, ya no es posible identificarse con su espacio dual , ya que está degenerado. Es mejor entonces trabajar únicamente con , que es donde se definen los hiperplanos. Esto da entonces la siguiente imagen: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V^{*}}$

En este caso, el cono de Tits no es todo el plano, sino solo el semiplano superior. Al tomar el cociente por los reales positivos, se obtiene otra copia de la recta real, con puntos marcados en los números enteros. Este es el complejo de Coxeter del grupo diedro infinito.

Construcción alternativa del complejo Coxeter

Otra descripción del complejo de Coxeter utiliza clases laterales estándar del grupo de Coxeter . Una clase lateral estándar es una clase lateral de la forma , donde para algún subconjunto propio de . Por ejemplo, y . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle wW_{J}}$ ${\displaystyle W_{J}=\langle J\rangle }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W_{S}=W}$ ${\displaystyle W_{\emptyset }=\{1\}}$

El complejo de Coxeter es entonces el conjunto parcial de clases laterales estándar, ordenado por inclusión inversa. Tiene una estructura canónica de complejo simplicial, como todos los conjuntos parciales que satisfacen: ${\displaystyle \Sigma (W,S)}$

• Dos elementos cualesquiera tienen un límite inferior máximo.
• El conjunto de elementos menores o iguales a cualquier elemento dado es isomorfo al conjunto de subconjuntos de para algún entero  n . ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$

Propiedades

El complejo de Coxeter asociado a tiene dimensión . Es homeomorfo a una -esfera si W es finito y es contráctil si W es infinito. ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle |S|-1}$ ${\displaystyle (|S|-1)}$

Cada apartamento de un edificio esférico de Tits es un complejo de Coxeter. ^[1]

Véase también

• Edificios
• Grupo Weyl
• Sistema de raíces

Referencias

1. https://dept.math.lsa.umich.edu/~lji/building-curve-complex-handbook.pdf pág. 8, definición 2.5

Fuentes

• Peter Abramenko y Kenneth S. Brown , Edificios, teoría y aplicaciones . Springer, 2008.