Elasticidad lineal

Modelo matemático de cómo se deforman los objetos sólidos

La elasticidad lineal es un modelo matemático de cómo los objetos sólidos se deforman y se estresan internamente debido a condiciones de carga prescritas. Es una simplificación de la teoría no lineal más general de la elasticidad y una rama de la mecánica del continuo .

Los supuestos "linealizadores" fundamentales de la elasticidad lineal son: deformaciones infinitesimales o deformaciones (o deformaciones) "pequeñas" y relaciones lineales entre los componentes de tensión y deformación. Además, la elasticidad lineal es válida sólo para estados de tensión que no producen fluencia .

Estas suposiciones son razonables para muchos materiales de ingeniería y escenarios de diseño de ingeniería. Por lo tanto, la elasticidad lineal se utiliza ampliamente en el análisis estructural y el diseño de ingeniería, a menudo con la ayuda del análisis de elementos finitos .

formulación matemática

Las ecuaciones que gobiernan un problema de valor de frontera elástico lineal se basan en tres ecuaciones diferenciales parciales tensoriales para el equilibrio del momento lineal y seis relaciones de deformación - desplazamiento infinitesimales . El sistema de ecuaciones diferenciales se completa con un conjunto de relaciones constitutivas algebraicas lineales .

Forma tensor directa

En forma tensorial directa que es independiente de la elección del sistema de coordenadas, estas ecuaciones rectoras son: ^[1]

• Ecuación del momento de Cauchy , que es una expresión de la segunda ley de Newton . En forma convectiva se escribe como:
  $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}}$$
• Ecuaciones de deformación-desplazamiento :
  $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$$
• Ecuaciones constitutivas . Para materiales elásticos, la ley de Hooke representa el comportamiento del material y relaciona las tensiones y deformaciones desconocidas. La ecuación general de la ley de Hooke es
  $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},}$$

donde es el tensor de tensión de Cauchy , es el tensor de deformación infinitesimal , es el vector de desplazamiento , es el tensor de rigidez de cuarto orden , es la fuerza del cuerpo por unidad de volumen, es la densidad de masa, representa el operador nabla , representa una transpuesta , representa el segunda derivada material con respecto al tiempo, y es el producto interno de dos tensores de segundo orden (está implícita la suma de índices repetidos). ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle (\bullet )^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle {\ddot {(\bullet )}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}}$

Forma de coordenadas cartesianas

Expresadas en términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , las ecuaciones que rigen la elasticidad lineal son: ^[1]

• Ecuación de movimiento :
  $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}}$$
  donde el subíndice es una abreviatura de e indica , es el tensor de tensión de Cauchy , es la densidad de fuerza del cuerpo, es la densidad de masa y es el desplazamiento. ${\displaystyle {(\bullet )}_{,j}}$ ${\displaystyle \partial {(\bullet )}/\partial x_{j}}$ ${\displaystyle \partial _{tt}}$ ${\displaystyle \partial ^{2}/\partial t^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u_{i}}$
  Estas son 3 ecuaciones independientes con 6 incógnitas independientes (tensiones).
  En notación de ingeniería, son:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$
• Ecuaciones de deformación-desplazamiento :
  $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})}$$
  ¿ Dónde está la tensión? Estas son 6 ecuaciones independientes que relacionan deformaciones y desplazamientos con 9 incógnitas independientes (deformaciones y desplazamientos). ${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!}$
  En notación de ingeniería, son:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$
• Ecuaciones constitutivas . La ecuación de la ley de Hooke es:
  $${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}}$$
  ¿ Dónde está el tensor de rigidez? Estas son 6 ecuaciones independientes que relacionan tensiones y deformaciones. El requisito de la simetría de los tensores de tensión y deformación conduce a la igualdad de muchas de las constantes elásticas, reduciendo el número de elementos diferentes a 21 ^[2] . ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}}$

Un problema de valor límite elastostático para un medio isotrópico-homogéneo es un sistema de 15 ecuaciones independientes e igual número de incógnitas (3 ecuaciones de equilibrio, 6 ecuaciones de deformación-desplazamiento y 6 ecuaciones constitutivas). Al especificar las condiciones de contorno, el problema del valor de contorno queda completamente definido. Para resolver el sistema se pueden tomar dos enfoques de acuerdo con las condiciones de frontera del problema de valores de frontera: una formulación de desplazamiento y una formulación de tensión .

Forma de coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas ( ) las ecuaciones de movimiento son ^[1] ${\displaystyle r,\theta ,z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

Forma de coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas ( ) las ecuaciones de movimiento son ^[1] ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) como se usan comúnmente en física : distancia radial r , ángulo polar θ ( theta ) y ángulo azimutal φ ( phi ). El símbolo ρ ( rho ) se utiliza a menudo en lugar de r .

El tensor de deformación en coordenadas esféricas es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

Medios (in)homogéneos isotrópicos

En medios isotrópicos , el tensor de rigidez proporciona la relación entre las tensiones (tensiones internas resultantes) y las deformaciones (deformaciones resultantes). Para un medio isotrópico, el tensor de rigidez no tiene una dirección preferida: una fuerza aplicada producirá los mismos desplazamientos (en relación con la dirección de la fuerza) sin importar la dirección en la que se aplique la fuerza. En el caso isotrópico, el tensor de rigidez se puede escribir: ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$

delta de KroneckerKmódulo de volumenmódulo de cortemódulos elásticoshomogéneo ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).}$$

Esta expresión separa la tensión en una parte escalar a la izquierda que puede estar asociada con una presión escalar, y una parte sin rastro a la derecha que puede estar asociada con fuerzas de corte. Una expresión más simple es: ^{[3] [4]}

$${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}}$$

el primer parámetro de Lamé^[5]

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)}$$

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]}$$

el coeficiente de Poissonmódulo de Young ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E}$

Elastostática

La elastostática es el estudio de la elasticidad lineal en condiciones de equilibrio, en las que todas las fuerzas sobre el cuerpo elástico suman cero y los desplazamientos no son función del tiempo. Las ecuaciones de equilibrio son entonces

$${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0.}$$

esfuerzo cortante

• ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0}$

Esta sección discutirá sólo el caso homogéneo isotrópico.

Formulación de desplazamiento

En este caso, los desplazamientos están prescritos en toda la frontera. En este enfoque, las deformaciones y tensiones se eliminan de la formulación, dejando los desplazamientos como incógnitas a resolver en las ecuaciones rectoras. Primero, las ecuaciones deformación-desplazamiento se sustituyen en las ecuaciones constitutivas (Ley de Hooke), eliminando las deformaciones como incógnitas:

$${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).}$$

${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).}$$

$${\displaystyle \lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0}$$

teorema de Schwarz

$${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0}$$

los parámetros de Laméecuaciones elastostáticasecuaciones estacionarias de Navier-Cauchy ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Derivación de ecuaciones estacionarias de Navier-Cauchy en notación de ingeniería

Primero, se considerará la dirección. Sustituyendo las ecuaciones deformación-desplazamiento en la ecuación de equilibrio en la dirección - tenemos ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \sigma _{x}=2\mu \varepsilon _{x}+\lambda (\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})=2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)}$$

$${\displaystyle \tau _{xy}=\mu \gamma _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)}$$

$${\displaystyle \tau _{xz}=\mu \gamma _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)}$$

Luego, sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación de equilibrio en la dirección - tenemos ${\displaystyle x\,\!}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)+F_{x}=0}$$

Suponiendo que y son constantes podemos reordenar y obtener: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0}$$

Siguiendo el mismo procedimiento para la -dirección y -dirección tenemos ${\displaystyle y\,\!}$ ${\displaystyle z\,\!}$

$${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0}$$

$${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0}$$

Estas últimas tres ecuaciones son las ecuaciones estacionarias de Navier-Cauchy, que también se pueden expresar en notación vectorial como

$${\displaystyle (\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {F} =0}$$

Una vez que se ha calculado el campo de desplazamiento, los desplazamientos se pueden reemplazar en las ecuaciones de deformación-desplazamiento para resolver las deformaciones, que luego se utilizan en las ecuaciones constitutivas para resolver las tensiones.

La ecuación biarmónica

La ecuación elastostática se puede escribir:

$${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.}$$

Tomando la divergencia de ambos lados de la ecuación elastostática y suponiendo que las fuerzas del cuerpo tienen divergencia cero (homogénea en dominio) ( ) tenemos ${\displaystyle F_{i,i}=0\,\!}$

$${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.}$$

Si observamos que los índices sumados no tienen por qué coincidir y que las derivadas parciales conmutan, se considera que los dos términos diferenciales son iguales y tenemos:

$${\displaystyle \alpha ^{2}u_{j,iij}=0}$$

$${\displaystyle u_{j,iij}=0.}$$

Tomando el Laplaciano de ambos lados de la ecuación elastostática, y suponiendo además , tenemos ${\displaystyle F_{i,kk}=0\,\!}$

$${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.}$$

De la ecuación de divergencia, el primer término de la izquierda es cero (Nota: nuevamente, los índices sumados no necesitan coincidir) y tenemos:

$${\displaystyle \beta ^{2}u_{i,kkmm}=0}$$

$${\displaystyle u_{i,kkmm}=0}$$

ecuación biarmónica ${\displaystyle \nabla ^{4}\mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$

Formulación de estrés

En este caso, las tracciones superficiales se prescriben en todas partes del límite de la superficie. En este enfoque, las deformaciones y los desplazamientos se eliminan dejando las tensiones como incógnitas a resolver en las ecuaciones rectoras. Una vez que se encuentra el campo de tensiones, las deformaciones se encuentran utilizando las ecuaciones constitutivas.

Hay seis componentes independientes del tensor de tensión que deben determinarse, sin embargo, en la formulación del desplazamiento, solo hay tres componentes del vector de desplazamiento que deben determinarse. Esto significa que hay algunas restricciones que se deben imponer al tensor de tensión para reducir el número de grados de libertad a tres. Usando las ecuaciones constitutivas, estas restricciones se derivan directamente de las restricciones correspondientes que deben cumplirse para el tensor de deformación, que también tiene seis componentes independientes. Las restricciones sobre el tensor de deformación se derivan directamente de la definición del tensor de deformación como una función del campo vectorial de desplazamiento, lo que significa que estas restricciones no introducen nuevos conceptos o información. Son las restricciones del tensor de deformación las que se entienden más fácilmente. Si el medio elástico se visualiza como un conjunto de cubos infinitesimales en estado no deformado, entonces, después de deformar el medio, un tensor de deformación arbitrario debe producir una situación en la que los cubos distorsionados aún encajen entre sí sin superponerse. En otras palabras, para una deformación dada, debe existir un campo vectorial continuo (el desplazamiento) del cual se pueda derivar ese tensor de deformación. Las restricciones sobre el tensor de deformación que se requieren para asegurar que este sea el caso fueron descubiertas por Saint Venant y se denominan " ecuaciones de compatibilidad de Saint Venant ". Se trata de 81 ecuaciones, 6 de las cuales son ecuaciones independientes no triviales, que relacionan los diferentes componentes de la deformación. Estos se expresan en notación de índice como:

$${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}}$$

Las deformaciones en esta ecuación se expresan luego en términos de tensiones utilizando las ecuaciones constitutivas, lo que produce las restricciones correspondientes sobre el tensor de tensiones. Estas restricciones sobre el tensor de tensión se conocen como ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell :

$${\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.}$$

^[6]

$${\displaystyle (1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.}$$

Una condición necesaria, pero insuficiente, para la compatibilidad en esta situación es o . ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij,kk\ell \ell }=0}$

Estas restricciones, junto con la ecuación de equilibrio (o ecuación de movimiento para elastodinámica) permiten el cálculo del campo tensor de tensión. Una vez calculado el campo de tensiones a partir de estas ecuaciones, las deformaciones se pueden obtener a partir de las ecuaciones constitutivas y el campo de desplazamientos a partir de las ecuaciones deformación-desplazamiento.

Una técnica de solución alternativa es expresar el tensor de tensión en términos de funciones de tensión que automáticamente producen una solución a la ecuación de equilibrio. Las funciones de tensión obedecen entonces a una única ecuación diferencial que corresponde a las ecuaciones de compatibilidad.

Soluciones para casos elastostáticos

Solución de Thomson: fuerza puntual en un medio isotrópico infinito

La solución más importante de la ecuación elastostática o de Navier-Cauchy es la de una fuerza que actúa en un punto de un medio isotrópico infinito. Esta solución fue encontrada por William Thomson (más tarde Lord Kelvin) en 1848 (Thomson 1848). Esta solución es análoga a la ley de Coulomb en electrostática . Se da una derivación en Landau & Lifshitz. ^{[7] : §8} Definición

$${\displaystyle a=1-2\nu }$$

$${\displaystyle b=2(1-\nu )=a+1}$$

${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle u_{i}=G_{ik}F_{k}}$$

de Greencoordenadas cartesianas ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle G_{ik}}$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]}$$

También puede escribirse de forma compacta como:

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]}$$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

En coordenadas cilíndricas ( ) se puede escribir como: ${\displaystyle \rho ,\phi ,z\,\!}$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}}&0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

r

Es particularmente útil escribir el desplazamiento en coordenadas cilíndricas para una fuerza puntual dirigida a lo largo del eje z. Definiendo y como vectores unitarios en las direcciones y respectivamente se obtiene: ${\displaystyle F_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]}$$

Se puede observar que existe una componente del desplazamiento en la dirección de la fuerza, que disminuye, como ocurre con el potencial en electrostática, como 1/ r para r grande . También hay un componente adicional dirigido por ρ.

Solución de Boussinesq-Cerruti: fuerza puntual en el origen de un semiespacio isotrópico infinito

Otra solución útil es la de una fuerza puntual que actúa sobre la superficie de un semiespacio infinito. Fue derivada por Boussinesq ^[8] para la fuerza normal y Cerruti para la fuerza tangencial y en Landau & Lifshitz se proporciona una derivación. ^{[7] : §8} En este caso, la solución se escribe nuevamente como un tensor de Green que tiende a cero en el infinito, y la componente del tensor de tensión normal a la superficie desaparece. Esta solución se puede escribir en coordenadas cartesianas como [recuerde: y , = relación de Poisson]: ${\displaystyle a=(1-2\nu )}$ ${\displaystyle b=2(1-\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}{\begin{bmatrix}{\frac {b}{r}}+{\frac {x^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ax^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {xy}{r^{3}}}-{\frac {axy}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}\\{\frac {yx}{r^{3}}}-{\frac {ayx}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {y^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ay^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {yz}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}\\{\frac {zx}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}&{\frac {zy}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {z^{2}}{r^{3}}}\end{bmatrix}}}$$

Otras soluciones

• Fuerza puntual dentro de un semiespacio isotrópico infinito. ^[9]
• Fuerza puntual sobre una superficie de un semiespacio isotrópico. ^[6]
• Contacto de dos cuerpos elásticos: la solución de Hertz (ver código Matlab). ^[10] Véase también la página sobre Mecánica de contacto .

Elastodinámica en términos de desplazamientos.

La elastodinámica es el estudio de las ondas elásticas e implica elasticidad lineal con variación en el tiempo. Una onda elástica es un tipo de onda mecánica que se propaga en materiales elásticos o viscoelásticos . La elasticidad del material proporciona la fuerza restauradora de la ola. Cuando se producen en la Tierra como consecuencia de un terremoto u otra perturbación, las ondas elásticas suelen denominarse ondas sísmicas .

La ecuación del momento lineal es simplemente la ecuación de equilibrio con un término inercial adicional:

$${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.}$$

Si el material se rige por la ley de Hooke anisotrópica (con el tensor de rigidez homogéneo en todo el material), se obtiene la ecuación de desplazamiento de la elastodinámica :

$${\displaystyle \left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.}$$

Si el material es isotrópico y homogéneo, se obtiene la ecuación (general o transitoria) de Navier-Cauchy :

$${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{or}}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.}$$

La ecuación de onda elastodinámica también se puede expresar como

$${\displaystyle \left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}$$

$${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}$$

operador diferencial acústicoel delta de Kronecker ${\displaystyle \delta _{kl}}$

En medios isotrópicos , el tensor de rigidez tiene la forma

$${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$

módulo de volumenmódulo de cortemódulos elásticos ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})}$$

Para ondas planas , el operador diferencial anterior se convierte en el operador algebraico acústico :

$${\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})}$$

$${\displaystyle \alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho }$$

valores propiosvectores propioslongitudinalescortantes . Onda sísmica ${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$

Elastodinámica en términos de tensiones.

La eliminación de desplazamientos y deformaciones de las ecuaciones rectoras conduce a la ecuación de elastodinámica de Ignaczak ^[11]

$${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

En el caso de la isotropía local, esto se reduce a

$${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

Las principales características de esta formulación incluyen: (1) evita gradientes de cumplimiento pero introduce gradientes de densidad de masa; (2) es derivable de un principio variacional; (3) es ventajoso para manejar problemas de valores de frontera inicial de tracción, (4) permite una clasificación tensorial de ondas elásticas, (5) ofrece una variedad de aplicaciones en problemas de propagación de ondas elásticas; (6) se puede extender a la dinámica de sólidos clásicos o micropolares con campos interactivos de diversos tipos (termoelásticos, porosos saturados de fluido, piezoelectroelásticos...), así como a medios no lineales.

Medios homogéneos anisotrópicos.

Para medios anisotrópicos, el tensor de rigidez es más complicado. La simetría del tensor de tensión significa que hay como máximo 6 elementos diferentes de tensión. De manera similar, existen como máximo 6 elementos diferentes del tensor de deformación . Por tanto, el tensor de rigidez de cuarto orden puede escribirse como una matriz (un tensor de segundo orden). La notación de Voigt es el mapeo estándar para índices tensoriales, ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}$$

Con esta notación, se puede escribir la matriz de elasticidad para cualquier medio linealmente elástico como:

$${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Como se muestra, la matriz es simétrica, esto es el resultado de la existencia de una función de densidad de energía de deformación que satisface . Por lo tanto, hay como máximo 21 elementos diferentes . ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$

El caso especial isotrópico tiene 2 elementos independientes:

$${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.}$$

El caso anisotrópico más simple, el de la simetría cúbica, tiene 3 elementos independientes:

$${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.}$$

El caso de la isotropía transversal , también llamada anisotropía polar, (con un solo eje (los 3 ejes) de simetría) tiene 5 elementos independientes:

$${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Cuando la isotropía transversal es débil (es decir, cercana a la isotropía), es conveniente una parametrización alternativa que utilice parámetros de Thomsen para las fórmulas de velocidades de onda.

El caso de la ortotropía (la simetría de un ladrillo) tiene 9 elementos independientes:

$${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Elastodinámica

La ecuación de onda elastodinámica para medios anisotrópicos se puede expresar como

$${\displaystyle (\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}$$

$${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}$$

operador diferencial acústicoel delta de Kronecker ${\displaystyle \delta _{kl}}$

Ondas planas y ecuación de Christoffel.

Una onda plana tiene la forma

$${\displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}}$$

operador algebraico acústico. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}\,\!}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$

$${\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.}$$

condición de propagaciónecuación de Christoffel

$${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}}$$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}$

Ver también

• El método de Castigliano.
• Ecuación del impulso de Cauchy
• Teorema de Clapeyron (elasticidad)
• Contactar mecanica
• Deformación
• Elasticidad (física)
• GRADELA
• ley de Hooke
• Teoría de la deformación infinitesimal
• solución michell
• Plasticidad (física)
• problema de signorini
• Sistema de resorte
• Estrés (mecánica)
• Funciones de estrés

Referencias

1. Slaughter, WS, (2002), La teoría linealizada de la elasticidad , Birkhauser.
2. Belen'kii; Salaev (1988). "Efectos de deformación en cristales de capas". Uspekhi Fizicheskikh Nauk . 155 (5): 89-127. doi : 10.3367/UFNr.0155.198805c.0089 .
3. Aki, Keiiti ; Richards, Paul G. (2002). Sismología cuantitativa (2 ed.). Sausalito, California: Libros de ciencias universitarias.
4. Mecánica continua para ingenieros 2001 Mase, Ec. 5.12-2
5. Sommerfeld, Arnold (1964). Mecánica de Cuerpos Deformables . Nueva York: Academic Press.
6. tribonet (16 de febrero de 2017). "Deformación elástica". Tribología . Consultado el 16 de febrero de 2017 .
7. Landau, LD ; Lifshitz, EM (1986). Teoría de la elasticidad (3ª ed.). Oxford, Inglaterra: Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2633-X.
8. Boussinesq, José (1885). Aplicación de potencias al estudio del equilibrio y movimiento de sólidos elásticos. París, Francia: Gauthier-Villars.
9. Mindlin, RD (1936). "Fuerza en un punto del interior de un sólido semiinfinito". Física . 7 (5): 195-202. Código bibliográfico : 1936Physi...7..195M. doi : 10.1063/1.1745385. Archivado desde el original el 23 de septiembre de 2017.
10. Hertz, Heinrich (1882). "Contacto entre cuerpos sólidos elásticos". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 92 .
11. Ostoja-Starzewski, M. , (2018), Ecuación de elastodinámica de Ignaczak , Matemáticas y Mecánica de Sólidos. doi :10.1177/1081286518757284