Ecuación constitutiva

Relación entre dos magnitudes físicas que es específica de una sustancia.

En física e ingeniería , una ecuación constitutiva o relación constitutiva es una relación entre dos o más magnitudes físicas (especialmente magnitudes cinéticas relacionadas con magnitudes cinemáticas ) que es específica de un material o sustancia o campo , y aproxima su respuesta a estímulos externos, generalmente como campos o fuerzas aplicadas . Se combinan con otras ecuaciones que rigen las leyes físicas para resolver problemas físicos; por ejemplo, en mecánica de fluidos , el flujo de un fluido en una tubería ; en física del estado sólido , la respuesta de un cristal a un campo eléctrico; o en análisis estructural , la conexión entre tensiones o cargas aplicadas y deformaciones .

Algunas ecuaciones constitutivas son simplemente fenomenológicas ; otras se derivan de primeros principios . Una ecuación constitutiva aproximada común se expresa con frecuencia como una proporcionalidad simple utilizando un parámetro tomado como una propiedad del material, como la conductividad eléctrica o una constante de resorte . Sin embargo, a menudo es necesario tener en cuenta la dependencia direccional del material, y el parámetro escalar se generaliza a un tensor . Las relaciones constitutivas también se modifican para tener en cuenta la tasa de respuesta de los materiales y su comportamiento no lineal . ^[1] Véase el artículo Función de respuesta lineal .

Propiedades mecánicas de la materia

La primera ecuación constitutiva (ley constitutiva) fue desarrollada por Robert Hooke y se conoce como ley de Hooke . Trata el caso de materiales elásticos lineales . Después de este descubrimiento, este tipo de ecuación, a menudo llamada "relación tensión-deformación" en este ejemplo, pero también llamada "suposición constitutiva" o "ecuación de estado", se utilizó comúnmente. Walter Noll avanzó en el uso de ecuaciones constitutivas, aclarando su clasificación y el papel de los requisitos de invariancia, las restricciones y las definiciones de términos como "material", "isotrópico", "aeolotrópico", etc. La clase de "relaciones constitutivas" de la forma tasa de tensión = f (gradiente de velocidad, tensión, densidad) fue el tema de la disertación de Walter Noll en 1954 bajo la dirección de Clifford Truesdell . ^[2]

En la física moderna de la materia condensada , la ecuación constitutiva desempeña un papel importante. Véase Ecuaciones constitutivas lineales y Funciones de correlación no lineal . ^[3]

Definiciones

Deformación de sólidos

Fricción

La fricción es un fenómeno complejo. Macroscópicamente, la fuerza de fricción F entre la interfaz de dos materiales se puede modelar como proporcional a la fuerza de reacción R en un punto de contacto entre dos interfaces a través de un coeficiente de fricción adimensional μ _f , que depende del par de materiales:

${\displaystyle F=\mu _{\text{f}}R.}$

Esto se puede aplicar a la fricción estática (fricción que evita que dos objetos estacionarios se deslicen por sí solos), fricción cinética (fricción entre dos objetos que se raspan o se deslizan uno sobre el otro) o rodadura (fuerza de fricción que evita el deslizamiento pero hace que se ejerza un torque sobre un objeto redondo).

Estrés y tensión

La relación constitutiva de tensión-deformación para materiales lineales se conoce comúnmente como ley de Hooke . En su forma más simple, la ley define la constante elástica (o constante de elasticidad) k en una ecuación escalar, que establece que la fuerza de tracción/compresión es proporcional al desplazamiento extendido (o contraído) x :

${\displaystyle F_{i}=-kx_{i}}$

es decir, el material responde linealmente. De manera equivalente, en términos de la tensión σ , el módulo de Young E y la deformación ε (adimensional):

${\displaystyle \sigma =E\,\varepsilon }$

En general, las fuerzas que deforman los sólidos pueden ser normales a una superficie del material (fuerzas normales) o tangenciales (fuerzas cortantes), esto se puede describir matemáticamente utilizando el tensor de tensión :

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\rightleftharpoons \,\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\,\sigma _{kl}}$

donde C es el tensor de elasticidad y S es el tensor de flexibilidad .

Deformaciones en estado sólido

Varias clases de deformaciones en materiales elásticos son las siguientes: ^[4]

Plástico

La fuerza aplicada induce deformaciones irrecuperables en el material cuando la tensión (o deformación elástica) alcanza una magnitud crítica, denominada punto de fluencia.

Elástico

El material recupera su forma inicial después de la deformación.

Viscoelástico

Si las contribuciones resistivas dependientes del tiempo son grandes, no se pueden despreciar. Los cauchos y los plásticos tienen esta propiedad y ciertamente no satisfacen la ley de Hooke. De hecho, se produce histéresis elástica.

Anelástico

Si el material es casi elástico, pero la fuerza aplicada induce fuerzas resistivas adicionales dependientes del tiempo (es decir, que dependen de la tasa de cambio de extensión/compresión, además de la extensión/compresión). Los metales y las cerámicas tienen esta característica, pero normalmente es despreciable, aunque no tanto cuando se produce calentamiento debido a la fricción (como vibraciones o tensiones de corte en máquinas).

Hiperelástico

La fuerza aplicada induce desplazamientos en el material siguiendo una función de densidad de energía de deformación .

Colisiones

La velocidad relativa de separación v _separación de un objeto A después de una colisión con otro objeto B está relacionada con la velocidad relativa de aproximación v _{aproximación} por el coeficiente de restitución , definido por la ley de impacto experimental de Newton : ^[5]

${\displaystyle e={\frac {|\mathbf {v} |_{\text{separation}}}{|\mathbf {v} |_{\text{approach}}}}}$

que depende de los materiales de los que están hechos A y B, ya que la colisión implica interacciones en las superficies de A y B. Por lo general, 0 ≤ e ≤ 1 , en la que e = 1 para colisiones completamente elásticas y e = 0 para colisiones completamente inelásticas . Es posible que ocurra e ≥ 1 – para colisiones superelásticas (o explosivas).

Deformación de fluidos

La ecuación de arrastre da la fuerza de arrastre D sobre un objeto de área de sección transversal A que se mueve a través de un fluido de densidad ρ a velocidad v (relativa al fluido).

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}c_{d}\rho Av^{2}}$

donde el coeficiente de arrastre (adimensional) c _d depende de la geometría del objeto y de las fuerzas de arrastre en la interfaz entre el fluido y el objeto.

Para un fluido newtoniano de viscosidad μ , la tensión de corte τ está relacionada linealmente con la tasa de deformación ( gradiente de velocidad de flujo transversal ) ∂ u /∂ y (unidades s ⁻¹ ). En un flujo de corte uniforme :

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},}$

con u ( y ) la variación de la velocidad de flujo u en la dirección transversal de flujo y . En general, para un fluido newtoniano, la relación entre los elementos τ _ij del tensor de esfuerzo cortante y la deformación del fluido está dada por

${\displaystyle \tau _{ij}=2\mu \left(e_{ij}-{\frac {1}{3}}\Delta \delta _{ij}\right)}$  con y  ${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$    ${\displaystyle \Delta =\sum _{k}e_{kk}={\text{div}}\;\mathbf {v} ,}$

donde v _i son los componentes del vector de velocidad de flujo en las direcciones de coordenadas x _i correspondientes , e _ij son los componentes del tensor de velocidad de deformación, Δ es la velocidad de deformación volumétrica (o velocidad de dilatación) y δ _ij es el delta de Kronecker . ^[6]

La ley de los gases ideales es una relación constitutiva en el sentido de que la presión p y el volumen V están relacionados con la temperatura T , a través del número de moles n de gas:

${\displaystyle pV=nRT}$

donde R es la constante del gas (J⋅K ⁻¹ ⋅mol ⁻¹ ).

Electromagnetismo

Ecuaciones constitutivas en electromagnetismo y áreas afines

Tanto en la física clásica como en la cuántica , la dinámica precisa de un sistema forma un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas , que casi siempre son demasiado complicadas para ser resueltas con exactitud, incluso a nivel de la mecánica estadística . En el contexto del electromagnetismo, esta observación se aplica no solo a la dinámica de las cargas y corrientes libres (que entran en las ecuaciones de Maxwell directamente), sino también a la dinámica de las cargas y corrientes ligadas (que entran en las ecuaciones de Maxwell a través de las relaciones constitutivas). Como resultado, se suelen utilizar varios esquemas de aproximación.

Por ejemplo, en materiales reales, se deben resolver ecuaciones de transporte complejas para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann o la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes . Por ejemplo, véase magnetohidrodinámica , dinámica de fluidos , electrohidrodinámica , superconductividad , modelado de plasma . Se ha desarrollado todo un aparato físico para tratar estas cuestiones. Véase, por ejemplo, la teoría de la respuesta lineal , las relaciones de Green-Kubo y la función de Green (teoría de muchos cuerpos) .

Estas teorías complejas proporcionan fórmulas detalladas para las relaciones constitutivas que describen la respuesta eléctrica de diversos materiales, como permitividades , permeabilidades , conductividades , etc.

Es necesario especificar las relaciones entre el campo de desplazamiento D y E y el campo magnético H H y B antes de realizar cálculos en electromagnetismo (es decir, aplicar las ecuaciones macroscópicas de Maxwell). Estas ecuaciones especifican la respuesta de la carga y la corriente ligadas a los campos aplicados y se denominan relaciones constitutivas.

La determinación de la relación constitutiva entre los campos auxiliares D y H y los campos E y B comienza con la definición de los propios campos auxiliares:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}}$

donde P es el campo de polarización y M es el campo de magnetización , que se definen en términos de cargas ligadas microscópicas y corriente ligada respectivamente. Antes de pasar a calcular M y P, es útil examinar los siguientes casos especiales.

Sin materiales magnéticos ni dieléctricos

En ausencia de materiales magnéticos o dieléctricos, las relaciones constitutivas son simples:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}$

donde ε ₀ y μ ₀ son dos constantes universales, llamadas permitividad del espacio libre y permeabilidad del espacio libre, respectivamente.

Materiales lineales isotrópicos

En un material lineal ( isotrópico ^{[7] ), donde} P es proporcional a E y M es proporcional a B , las relaciones constitutivas también son sencillas. En términos de la polarización P y la magnetización M son:

${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}$

donde χ _e y χ _m son las susceptibilidades eléctrica y magnética de un material dado respectivamente. En términos de D y H las relaciones constitutivas son:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,}$

donde ε y μ son constantes (que dependen del material), llamadas permitividad y permeabilidad , respectivamente, del material. Estas se relacionan con las susceptibilidades por:

${\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=\chi _{e}+1,\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=\chi _{m}+1}$

Caso general

En el caso de los materiales del mundo real, las relaciones constitutivas no son lineales, excepto aproximadamente. Calcular las relaciones constitutivas a partir de los primeros principios implica determinar cómo se crean P y M a partir de unos valores E y B dados . ^{[nota 1]} Estas relaciones pueden ser empíricas (basadas directamente en mediciones) o teóricas (basadas en la mecánica estadística , la teoría del transporte u otras herramientas de la física de la materia condensada ). El detalle empleado puede ser macroscópico o microscópico , dependiendo del nivel necesario para el problema en cuestión.

En general, las relaciones constitutivas todavía se pueden escribir:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B} }$

Pero ε y μ no son, en general, constantes simples, sino funciones de E , B , posición y tiempo, y de naturaleza tensorial. Algunos ejemplos son:

• Dispersión y absorción , donde ε y μ son funciones de la frecuencia. (La causalidad no permite que los materiales sean no dispersivos; véase, por ejemplo, las relaciones de Kramers-Kronig ). Tampoco es necesario que los campos estén en fase, lo que hace que ε y μ sean complejos . Esto también conduce a la absorción.
• No linealidad dondeε y μ son funciones de E y B.
• Anisotropía (como la birrefringencia o el dicroísmo ) que ocurre cuando ε y μ son tensores de segundo rango, $${\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j},\quad B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.}$$
• Dependencia de P y M de E y B en otras ubicaciones y tiempos. Esto podría deberse a la falta de homogeneidad espacial ; por ejemplo, en una estructura dominada , heteroestructura o un cristal líquido , o más comúnmente en la situación donde simplemente hay múltiples materiales que ocupan diferentes regiones del espacio. O podría deberse a un medio que varía en el tiempo o debido a la histéresis . En tales casos, P y M se pueden calcular como: ^{[8] [9]} en el que las funciones de permitividad y permeabilidad se reemplazan por integrales sobre las susceptibilidades eléctricas y magnéticas más generales . ^[10] En materiales homogéneos, la dependencia de otras ubicaciones se conoce como dispersión espacial . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{e}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} \right)\,\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ',t'\right)\\\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{m}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} \right)\,\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ',t'\right),\end{aligned}}}$$

Como variación de estos ejemplos, en general los materiales son bianisotrópicos donde D y B dependen tanto de E como de H , a través de las constantes de acoplamiento adicionales ξ y ζ : ^[11]

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .}$

En la práctica, algunas propiedades de los materiales tienen un impacto insignificante en circunstancias particulares, lo que permite ignorar efectos pequeños. Por ejemplo: las no linealidades ópticas pueden ignorarse para intensidades de campo bajas; la dispersión del material no es importante cuando la frecuencia está limitada a un ancho de banda estrecho ; la absorción del material puede ignorarse para longitudes de onda para las que un material es transparente; y los metales con conductividad finita a menudo se aproximan a longitudes de onda de microondas o más largas como metales perfectos con conductividad infinita (formando barreras duras con una profundidad de penetración de campo cero).

Algunos materiales creados por el hombre, como los metamateriales y los cristales fotónicos, están diseñados para tener permitividad y permeabilidad personalizadas.

Cálculo de relaciones constitutivas

El cálculo teórico de las ecuaciones constitutivas de un material es una tarea común, importante y a veces difícil en la física teórica de la materia condensada y la ciencia de los materiales . En general, las ecuaciones constitutivas se determinan teóricamente calculando cómo responde una molécula a los campos locales a través de la fuerza de Lorentz . También puede ser necesario modelar otras fuerzas, como las vibraciones reticulares en los cristales o las fuerzas de enlace. La inclusión de todas las fuerzas conduce a cambios en la molécula que se utilizan para calcular P y M como una función de los campos locales.

Los campos locales difieren de los campos aplicados debido a los campos producidos por la polarización y magnetización del material cercano; un efecto que también necesita ser modelado. Además, los materiales reales no son medios continuos ; los campos locales de los materiales reales varían enormemente en la escala atómica. Los campos necesitan ser promediados sobre un volumen adecuado para formar una aproximación continua.

Estas aproximaciones del continuo a menudo requieren algún tipo de análisis mecánico cuántico, como la teoría cuántica de campos aplicada a la física de la materia condensada . Véase, por ejemplo, la teoría del funcional de la densidad , las relaciones de Green-Kubo y la función de Green .

Un conjunto diferente de métodos de homogeneización (que evolucionan a partir de una tradición en el tratamiento de materiales como conglomerados y laminados ) se basan en la aproximación de un material no homogéneo por un medio efectivo ^{homogéneo [12] [13]} (válido para excitaciones con longitudes de onda mucho mayores que la escala de la no homogeneidad). ^{[14] [15] [16] [17]}

El modelado teórico de las propiedades de aproximación continua de muchos materiales reales a menudo también se basa en mediciones experimentales. ^[18] Por ejemplo, ε de un aislante a bajas frecuencias se puede medir convirtiéndolo en un condensador de placas paralelas , y ε en frecuencias ópticas de luz a menudo se mide mediante elipsometría .

Propiedades termoeléctricas y electromagnéticas de la materia.

Estas ecuaciones constitutivas se utilizan a menudo en cristalografía , un campo de la física del estado sólido . ^[19]

Fotónica

Índice de refracción

El índice de refracción (absoluto) de un medio n (adimensional) es una propiedad inherentemente importante de la óptica geométrica y física definida como la relación entre la velocidad luminal en el vacío c ₀ y la del medio c :

${\displaystyle n={\frac {c_{0}}{c}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}}$

donde ε es la permitividad y ε _r la permitividad relativa del medio, asimismo μ es la permeabilidad y μ _r son la permeabilidad relativa del medio. La permitividad del vacío es ε ₀ y la permeabilidad del vacío es μ ₀ . En general, n (también ε _r ) son números complejos .

El índice de refracción relativo se define como la relación entre los dos índices de refracción. El absoluto se aplica a un material, el relativo se aplica a cada par posible de interfaces.

${\displaystyle n_{AB}={\frac {n_{A}}{n_{B}}}}$

Velocidad de la luzEn materia

Como consecuencia de la definición, la velocidad de la luz en la materia es

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}}$

para casos especiales de vacío; ε = ε ₀ y μ = μ ₀ ,

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$

Efecto piezoóptico

El efecto piezoóptico relaciona las tensiones en los sólidos σ con la impermeabilidad dieléctrica a , que están acopladas por un tensor de cuarto rango llamado coeficiente piezoóptico Π (unidades K ⁻¹ ):

${\displaystyle a_{ij}=\Pi _{ijpq}\sigma _{pq}}$

Fenómenos del transporte

Definiciones

Leyes definitivas

Existen varias leyes que describen el transporte de materia, o sus propiedades, de forma casi idéntica. En todos los casos, en palabras, se leen así:

El flujo (densidad) es proporcional a un gradiente , la constante de proporcionalidad es la característica del material.

En general, la constante debe reemplazarse por un tensor de segundo rango, para tener en cuenta las dependencias direccionales del material.

Véase también

• Definición de ecuación (química física)
• Ecuación gobernante
• Principio de objetividad material
• Reología

Notas

1. Las cargas y corrientes libres responden a los campos a través de la ley de fuerza de Lorentz y esta respuesta se calcula a un nivel fundamental utilizando la mecánica. La respuesta de las cargas y corrientes ligadas se aborda utilizando métodos más generales incluidos en las nociones de magnetización y polarización. Dependiendo del problema, se puede optar por no tener ninguna carga libre.

Referencias

1. Clifford Truesdell y Walter Noll; Stuart S. Antman, editor (2004). Las teorías de campo no lineales de la mecánica. Springer. pág. 4. ISBN 3-540-02779-3. {{cite book}}: |author=tiene nombre genérico ( ayuda )CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Véase el relato de Truesdell en Truesdell The naturalization and apotheosis of Walter Noll . Véase también el relato de Noll y el tratado clásico de ambos autores: Clifford Truesdell & Walter Noll – Stuart S. Antman (editor) (2004). "Prefacio" (publicado originalmente como Volumen III/3 de la famosa Enciclopedia de Física en 1965) . The Non-linear Field Theories of Mechanics (3.ª ed.). Springer. p. xiii. ISBN 3-540-02779-3. {{cite book}}: |author=tiene nombre genérico ( ayuda )
3. Jørgen Rammer (2007). Teoría cuántica de campos de estados de no equilibrio. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87499-1.
4. Enciclopedia de física (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
5. Principios esenciales de física, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2.ª edición, 1978, John Murray, ISBN 0 7195 3382 1 
6. Kay, JM (1985). Mecánica de fluidos y procesos de transferencia . Cambridge University Press. págs. 10 y 122-124. ISBN 9780521316248.
7. La generalización a materiales no isotrópicos es sencilla: simplemente reemplace las constantes con cantidades tensoriales .
8. Halevi, Peter (1992). Dispersión espacial en sólidos y plasmas . Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-87405-4.
9. Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
10. Tenga en cuenta que el término "susceptibilidad magnética" utilizado aquí se expresa en términos de B y es diferente de la definición estándar en términos de H.
11. TG Mackay; A Lakhtakia (2010). Anisotropía electromagnética y bianisotropía: una guía de campo. World Scientific. Archivado desde el original el 13 de octubre de 2010. Consultado el 22 de mayo de 2012 .
12. Aspnes, DE , "Efectos de campo local y teoría del medio efectivo: una perspectiva microscópica", Am. J. Phys. 50 , págs. 704–709 (1982).
13. Habib Ammari; Hyeonbae Kang (2006). Problemas inversos, análisis multiescala y teoría del medio efectivo: taller en Seúl, Problemas inversos, análisis multiescala y homogeneización, 22-24 de junio de 2005, Universidad Nacional de Seúl, Seúl, Corea. Providence RI: American Mathematical Society. p. 282. ISBN 0-8218-3968-3.
14. OC Zienkiewicz; Robert Leroy Taylor; JZ Zhu; Perumal Nithiarasu (2005). El método de elementos finitos (sexta edición). Oxford, Reino Unido: Butterworth-Heinemann. pág. 550 y siguientes. ISBN 0-7506-6321-9.
15. N. Bakhvalov y G. Panasenko, Homogeneización: procesos de promediado en medios periódicos (Kluwer: Dordrecht, 1989); VV Jikov, SM Kozlov y OA Oleinik, Homogeneización de operadores diferenciales y funcionales integrales (Springer: Berlín, 1994).
16. Vitaliy Lomakin; Steinberg BZ; Heyman E; Felsen LB (2003). "Homogeneización multirresolución de formulaciones de campo y red para placas dieléctricas laminadas multiescala" (PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 51 (10): 2761 y siguientes. Bibcode :2003ITAP...51.2761L. doi :10.1109/TAP.2003.816356. Archivado desde el original (PDF) el 14 de mayo de 2012.
17. AC Gilbert (Ronald R Coifman, editor) (mayo de 2000). Temas de análisis y sus aplicaciones: tesis seleccionadas. Singapur: World Scientific Publishing Company. pág. 155. ISBN 981-02-4094-5. {{cite book}}: |author=tiene nombre genérico ( ayuda )
18. Edward D. Palik; Ghosh G (1998). Manual de constantes ópticas de sólidos. Londres, Reino Unido: Academic Press. p. 1114. ISBN 0-12-544422-2.
19. "2. Propiedades físicas como tensores". www.mx.iucr.org . Archivado desde el original el 19 de abril de 2018 . Consultado el 19 de abril de 2018 .