Dispersión espacial

En la física de medios continuos , la dispersión espacial generalmente se describe como un fenómeno en el que los parámetros materiales como la permitividad o la conductividad dependen del vector de onda . Normalmente, se supone que dicha dependencia no existe por simplicidad; sin embargo, existe dispersión espacial en diversos grados en todos los materiales.

La razón física subyacente para la dependencia del vector de onda es a menudo que el material tiene alguna estructura espacial más pequeña que la longitud de onda de cualquier señal (como luz o sonido) que se esté considerando. Dado que las ondas no pueden resolver estas pequeñas estructuras espaciales, sólo se pueden detectar efectos indirectos (p. ej., dependencia del vector de onda). Un ejemplo de dispersión espacial es el de la luz visible que se propaga a través de un cristal como la calcita , donde el índice de refracción depende de la dirección de viaje (la orientación del vector de onda) con respecto a la estructura cristalina . En tal caso, aunque la luz no puede resolver los átomos individuales, estos, en conjunto, pueden afectar la forma en que se propaga la luz. Otro mecanismo común es que la (p. ej.) luz se acopla a una excitación del material, como un plasmón .

La dispersión espacial se puede comparar con la dispersión temporal, a esta última a menudo se la llama simplemente dispersión . La dispersión temporal representa efectos de memoria en los sistemas, comúnmente vistos en óptica y electrónica. Por otra parte, la dispersión espacial representa efectos de dispersión y normalmente sólo es significativa en escalas de longitud microscópicas. La dispersión espacial contribuye con perturbaciones relativamente pequeñas a la óptica, dando efectos débiles como la actividad óptica . La dispersión espacial y la dispersión temporal pueden ocurrir en el mismo sistema.

Origen: respuesta no local

El origen de la dispersión espacial se puede modelar como una respuesta no local, donde la respuesta a un campo de fuerza aparece en muchos lugares y puede aparecer incluso en lugares donde la fuerza es cero. Esto suele deberse a una dispersión de los efectos mediante grados de libertad microscópicos ocultos. ^[1]

Como ejemplo, considere la corriente que se impulsa en respuesta a un campo eléctrico , que varía en el espacio (x) y el tiempo (t). Leyes simplificadas como la ley de Ohm dirían que son directamente proporcionales entre sí, pero esto se rompe si el sistema tiene memoria (dispersión temporal) o dispersión (dispersión espacial). La respuesta lineal más general viene dada por: ${\displaystyle J(x,t)}$ ${\displaystyle E(x,t)}$ ${\displaystyle J=\sigma E}$

${\displaystyle J(x,t)=\int _{-\infty }^{-\infty }dx'\int _{-\infty }^{-\infty }dt'\,\sigma (x,x',t,t')E(x',t'),}$

¿Dónde está la función de conductividad no local ? ${\displaystyle \sigma (x,x',t,t')dx'\,dt'}$

Si el sistema es invariante en el tiempo ( simetría de traducción temporal ) e invariante en el espacio (simetría de traducción espacial), entonces podemos simplificarlo porque hay algún núcleo de convolución . También podemos considerar soluciones de ondas planas para y así: ${\displaystyle \sigma (x,x',t,t')=\sigma _{\rm {sym}}(x-x',t-t')}$ ${\displaystyle \sigma _{\rm {sym}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J(x,t)=\operatorname {Re} (J_{0}e^{ikx-i\omega t})}$

${\displaystyle E(x,t)=\operatorname {Re} (E_{0}e^{ikx-i\omega t})}$

lo que produce una relación notablemente simple entre las amplitudes complejas de las dos ondas planas:

${\displaystyle J_{0}={\tilde {\sigma }}(k,\omega )E_{0}.}$

donde la función viene dada por una transformada de Fourier de la función de respuesta espacio-temporal: ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}(k,\omega )}$

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}(k,\omega )=\int _{-\infty }^{-\infty }dx''\int _{-\infty }^{-\infty }dt''\,e^{-ikx''+i\omega t''}\sigma _{\rm {sym}}(x'',t'').}$

La función de conductividad tiene dispersión espacial si depende del vector de onda k . Esto ocurre si la función espacial no es una respuesta puntual ( función delta ) en xx' . ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}(k,\omega )}$ ${\displaystyle \sigma _{\rm {sym}}(x-x',t-t')}$

Dispersión espacial en electromagnetismo.

En el electromagnetismo , la dispersión espacial desempeña un papel en algunos efectos materiales como la actividad óptica y el ensanchamiento Doppler . La dispersión espacial también juega un papel importante en la comprensión de los metamateriales electromagnéticos . Lo más común es que la dispersión espacial en la permitividad ε sea de interés.

Óptica de cristal

En el interior de los cristales puede haber una combinación de dispersión espacial, dispersión temporal y anisotropía. ^[2] La relación constitutiva del vector de polarización se puede escribir como:

${\displaystyle P_{i}({\vec {k}},\omega )=\sum _{j}(\epsilon _{ij}({\vec {k}},\omega )-\epsilon _{0}\delta _{ij})E_{j}({\vec {k}},\omega ),}$

es decir, la permitividad es un tensor dependiente del vector de onda y de la frecuencia .

Considerando las ecuaciones de Maxwell , se pueden encontrar los modos normales de onda plana dentro de tales cristales. Estos ocurren cuando se satisface la siguiente relación para un vector de campo eléctrico distinto de cero : ^[2] ${\displaystyle {\vec {E}}}$

${\displaystyle \omega ^{2}\mu _{0}\epsilon ({\vec {k}},\omega ){\vec {E}}-({\vec {k}}\cdot {\vec {k}}){\vec {E}}+({\vec {k}}\cdot {\vec {E}}){\vec {k}}=0.}$

La dispersión espacial puede dar lugar a fenómenos extraños, como la existencia de múltiples modos en la misma frecuencia y dirección del vector de onda, pero con diferentes magnitudes del vector de onda. ${\displaystyle \epsilon ({\vec {k}},\omega )}$

Cerca de las superficies y límites de los cristales, ya no es válido describir la respuesta del sistema en términos de vectores de onda. Para obtener una descripción completa es necesario volver a una función de respuesta no local completa (sin simetría traslacional); sin embargo, el efecto final a veces puede describirse mediante "condiciones de contorno adicionales" (ABC).

En medios isotrópicos

En materiales que no tienen una estructura cristalina relevante, la dispersión espacial puede ser importante.

Aunque la simetría exige que la permitividad sea isotrópica para un vector de onda cero, esta restricción no se aplica para un vector de onda distinto de cero. La permitividad no isotrópica para el vector de onda distinto de cero conduce a efectos como la actividad óptica en soluciones de moléculas quirales. En materiales isotrópicos sin actividad óptica, el tensor de permitividad se puede descomponer en componentes transversales y longitudinales, refiriéndose a la respuesta a campos eléctricos perpendiculares o paralelos al vector de onda. ^[1]

Para frecuencias cercanas a una línea de absorción (p. ej., un excitón ), la dispersión espacial puede desempeñar un papel importante. ^[1]

Amortiguación Landau

En física del plasma, una onda puede ser amortiguada sin colisión por partículas en el plasma cuya velocidad coincide con la velocidad de fase de la onda. Esto normalmente se representa como una pérdida espacialmente dispersiva en la permitividad del plasma.

Ambigüedad de permitividad-permeabilidad a frecuencia distinta de cero

En frecuencias distintas de cero, es posible representar todas las magnetizaciones como polarizaciones variables en el tiempo . Además, dado que los campos eléctrico y magnético están directamente relacionados por , la magnetización inducida por un campo magnético puede representarse como una polarización inducida por el campo eléctrico, aunque con una relación altamente dispersiva. ${\displaystyle \nabla \times E=-\partial B/\partial t}$

Lo que esto significa es que a una frecuencia distinta de cero, cualquier contribución a la permeabilidad μ puede representarse alternativamente mediante una contribución espacialmente dispersiva a la permitividad ε . Los valores de permeabilidad y permitividad son diferentes en esta representación alternativa; sin embargo, esto no conduce a diferencias observables en cantidades reales como el campo eléctrico, la densidad de flujo magnético, los momentos magnéticos y la corriente.

Como resultado, es más común en frecuencias ópticas establecer μ como la permeabilidad al vacío μ ₀ y considerar solo una permitividad dispersiva ε . ^[1] Existe cierta discusión sobre si esto es apropiado en metamateriales donde se utilizan aproximaciones medias efectivas para μ , y se debate sobre la realidad de la "permeabilidad negativa" observada en metamateriales de índice negativo . ^[3]

Dispersión espacial en acústica.

En acústica , especialmente en sólidos, la dispersión espacial puede ser significativa para longitudes de onda comparables al espaciado de la red, que normalmente ocurre a frecuencias muy altas ( gigahercios y superiores).

En los sólidos, la diferencia en la propagación de los modos acústicos transversales y los modos acústicos longitudinales del sonido se debe a una dispersión espacial en el tensor de elasticidad que relaciona la tensión y la deformación. Para las vibraciones polares ( fonones ópticos ), la distinción entre modos longitudinales y transversales puede verse como una dispersión espacial en las fuerzas restauradoras, del grado de libertad no mecánico "oculto" que es el campo electromagnético.

Muchos efectos de ondas electromagnéticas provenientes de la dispersión espacial encuentran un análogo en las ondas acústicas . Por ejemplo, existe actividad acústica (la rotación del plano de polarización de las ondas sonoras transversales) en materiales quirales , ^[4] análoga a la actividad óptica.

Referencias

1. LD Landau ; EM Lifshitz ; LP Pitaevskii (1984). Electrodinámica de Medios Continuos . vol. 8 (2ª ed.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-7506-2634-7.
2. Agranovich y Ginzburg. Óptica cristalina con dispersión espacial y excitones [2 ed.]. 978-3-662-02408-9, 978-3-662-02406-5
3. Agranovich, Vladimir M.; Gartstein, Yu.N. (2006). "REVISIONES DE PROBLEMAS DE ACTUALIDAD: Dispersión espacial y refracción negativa de la luz". Física-Uspekhi . 49 (10): 1029. Código bibliográfico : 2006PhyU...49.1029A. doi :10.1070/PU2006v049n10ABEH006067. S2CID  119408077.
4. Portigal, DL; Burstein, E. (1968). "Actividad acústica y otros efectos de dispersión espacial de primer orden en cristales". Revisión física . 170 (3): 673–678. Código bibliográfico : 1968PhRv..170..673P. doi : 10.1103/PhysRev.170.673. ISSN  0031-899X.