Relación Lyddane-Sachs-Teller

En física de la materia condensada , la relación Lyddane–Sachs–Teller (o relación LST ) determina la relación entre la frecuencia natural de las vibraciones longitudinales de la red óptica ( fonones ) ( ) de un cristal iónico y la frecuencia natural de la vibración transversal de la red óptica ( ) para longitudes de onda largas (vector de onda cero). ^{[1] [2] [3] [4] [5]} La relación es la de la permitividad estática a la permitividad para frecuencias en el rango visible . ^[6] ${\displaystyle \omega _{\text{LO}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{TO}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\text{st}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$

${\displaystyle {\frac {\omega _{\text{LO}}^{2}}{\omega _{\text{TO}}^{2}}}={\frac {\varepsilon _{\text{st}}}{\varepsilon _{\infty }}}}$

La relación es válida para sistemas con una sola rama óptica, como los sistemas cúbicos con dos átomos diferentes por celda unitaria. Para sistemas con muchas ramas de fonones, la relación no es necesariamente válida, ya que la permitividad para cualquier par de modos longitudinales y transversales se verá alterada por los otros modos del sistema. La relación Lyddane-Sachs-Teller recibe su nombre de los físicos RH Lyddane, Robert G. Sachs y Edward Teller .

Estructura de la banda de fonones en GaAs . La separación entre las frecuencias de fonones LO y TO cerca del punto Γ (pequeños vectores de onda) se describe mediante la relación LST. Nótese que este gráfico muestra vectores de onda mucho más altos que los considerados a continuación, y la escala no puede dejar de mostrar la hibridación de la rama TO con la luz (que estaría confinada extremadamente cerca de Γ).

Origen y limitaciones

La relación Lyddane–Sachs–Teller se aplica a vibraciones de red óptica que tienen una densidad de polarización neta asociada , de modo que pueden producir campos electromagnéticos de largo alcance (en rangos mucho mayores que las distancias entre átomos). La relación supone una vibración de red óptica polar idealizada ("activa en infrarrojos") que da una contribución a la permitividad dependiente de la frecuencia descrita por un oscilador lorentziano sin pérdidas:

${\displaystyle \varepsilon (\omega )=\varepsilon (\infty )+(\varepsilon (\infty )-\varepsilon _{st}){\frac {\omega _{\text{TO}}^{2}}{\omega ^{2}-\omega _{\text{TO}}^{2}}},}$

donde es la permitividad a altas frecuencias, es la permitividad estática de CC y es la frecuencia de oscilación "natural" de la vibración reticular teniendo en cuenta únicamente las fuerzas de restauración de corto alcance (microscópicas). ${\displaystyle \varepsilon (\infty )}$ ${\displaystyle \varepsilon _{st}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{TO}}}$

Relación de dispersión de polaritones de fonones en GaP . Las curvas rojas son las relaciones de dispersión de fonones y fotones desacoplados, las curvas negras son el resultado del acoplamiento (de arriba a abajo: polaritón superior, fonón LO, polaritón inferior). La relación LST relaciona las frecuencias de la curva roja horizontal ( ) y la intersección de la curva negra en k=0 ( ). ${\displaystyle \omega _{\text{TO}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{LO}}}$

La ecuación anterior se puede introducir en las ecuaciones de Maxwell para encontrar el conjunto completo de modos normales, incluidas todas las fuerzas restauradoras (de corto y largo alcance), que a veces se denominan polaritones de fonones . Estos modos se representan gráficamente en la figura. En cada vector de onda hay tres modos distintos:

• Se produce un modo de onda longitudinal con una dispersión esencialmente plana en la frecuencia . ${\displaystyle \omega _{\text{LO}}}$

• En este modo, el campo eléctrico es paralelo al vector de onda y no produce corrientes transversales, por lo tanto es puramente eléctrico (no hay campo magnético asociado).
• La onda longitudinal es básicamente sin dispersión y aparece como una línea plana en el gráfico a frecuencia . Esta permanece "separada" de la frecuencia de oscilación pura incluso a vectores de onda altos, porque la importancia de las fuerzas de restauración eléctrica no disminuye a vectores de onda altos. ${\displaystyle \omega _{\text{LO}}}$

• Aparecen dos modos de onda transversales (en realidad, cuatro modos, en pares con dispersión idéntica), con un comportamiento de dispersión complejo.

• En estos modos, el campo eléctrico es perpendicular al vector de onda, lo que produce corrientes transversales que, a su vez, generan campos magnéticos. Como la luz también es una onda electromagnética transversal, el comportamiento se describe como un acoplamiento de los modos de vibración transversales con la luz dentro del material (en la figura, se muestra como líneas discontinuas rojas).
• En los vectores de onda altos, el modo inferior es principalmente vibracional. Este modo se aproxima a la frecuencia "desnuda" porque las fuerzas de restauración magnéticas pueden despreciarse: las corrientes transversales producen un campo magnético pequeño y el campo eléctrico inducido magnéticamente también es muy pequeño. ${\displaystyle \omega _{\text{TO}}}$
• En el caso de un vector de onda cero o bajo, el modo superior es principalmente vibracional y su frecuencia coincide con el modo longitudinal, cuya frecuencia es . Esta coincidencia es necesaria por consideraciones de simetría y se produce debido a efectos de retardo electrodinámico que hacen que la contraacción magnética transversal se comporte de manera idéntica a la contraacción eléctrica longitudinal. ^[7] ${\displaystyle \omega _{\text{LO}}}$

El modo longitudinal aparece en la frecuencia en la que la permitividad pasa por cero, es decir . Resolviendo esto para la resonancia de Lorentz descrita anteriormente se obtiene la relación Lyddane–Sachs–Teller. ^[3] ${\displaystyle \varepsilon (\omega _{\text{LO}})=0}$

Dado que la relación Lyddane-Sachs-Teller se deriva del oscilador Lorentziano sin pérdidas, puede fallar en materiales realistas donde la función de permitividad es más complicada por varias razones:

• Los fonones reales tienen pérdidas (también conocidas como amortiguación o disipación).
• Los materiales pueden tener múltiples resonancias de fonones que se suman para producir la permitividad.
• Puede haber otros grados de libertad eléctricamente activos (en particular, electrones móviles) y osciladores no lorentzianos.

En el caso de osciladores lorentzianos múltiples con pérdidas, existen relaciones generalizadas de Lyddane-Sachs-Teller disponibles. ^[8] En términos más generales, la permitividad no se puede describir como una combinación de osciladores lorentzianos, y la frecuencia del modo longitudinal solo se puede encontrar como un cero complejo en la función de permitividad. ^[8]

Cristales anarmónicos

La relación Lyddane-Sachs-Teller más general aplicable en cristales donde los fonones se ven afectados por amortiguamiento anarmónico se ha derivado en la referencia ^[9] y se lee como

${\displaystyle {\frac {|\omega _{\text{LO}}|^{2}}{|\omega _{\text{TO}}|^{2}}}={\frac {\varepsilon _{\text{st}}}{\varepsilon _{\infty }}}}$

El valor absoluto es necesario ya que las frecuencias de los fonones son ahora complejas, con una parte imaginaria que es igual a la vida útil finita del fonón y proporcional a la amortiguación anarmónica del fonón (descrita por la teoría de Klemens para los fonones ópticos).

Cristales no polares

Un corolario de la relación LST es que, para los cristales no polares, los modos fonónicos LO y TO están degenerados y, por lo tanto , . Esto es válido para los cristales puramente covalentes de los elementos del grupo IV , como el diamante (C), el silicio y el germanio. ^[10] ${\displaystyle \varepsilon _{\text{st}}=\varepsilon _{\infty }}$

Efecto de la radiación de reposo

En las frecuencias entre y hay una reflectividad del 100%. Este rango de frecuencias (banda) se denomina banda Reststrahl . El nombre deriva del alemán reststrahl que significa "rayo residual". ^[11] ${\displaystyle \omega _{\text{TO}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{LO}}}$

Ejemplo con NaCl

Las constantes dieléctricas estáticas y de alta frecuencia del NaCl son y , y la frecuencia del fonón TO es THz. Utilizando la relación LST, podemos calcular que ^[12] ${\displaystyle \varepsilon _{\text{st}}=5.9}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }=2.25}$ ${\displaystyle \nu _{\text{TO}}}$ ${\displaystyle 4.9}$

${\displaystyle \nu _{\text{LO}}={\sqrt {\varepsilon _{\text{st}}/\varepsilon _{\infty }}}\times \nu _{\text{TO}}=7.9}$Tesis

Métodos experimentales

Espectroscopia Raman

Una de las formas de determinar experimentalmente y es a través de la espectroscopia Raman . ^{[13] [14]} Como se mencionó anteriormente, las frecuencias de fonón utilizadas en la relación LST son las correspondientes a las ramas TO y LO evaluadas en el punto gamma ( ) de la zona de Brillouin . Este es también el punto donde el acoplamiento fotón-fonón ocurre con mayor frecuencia para el desplazamiento de Stokes medido en Raman. Por lo tanto, estarán presentes dos picos en el espectro Raman , cada uno correspondiente a la frecuencia de fonón TO y LO. ${\displaystyle \omega _{\text{TO}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{LO}}}$ ${\displaystyle k=0}$

Véase también

• Efecto de la radiación de reposo

Citas

1. Klingshirn 2012, pág. 86.
2. Lyddane, Sachs y Teller 1941.
3. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 548.
4. Fox 2010, pág. 209.
5. Kittel 2004, pág. 414.
6. Robinson 1973, pág. 363.
7. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 551.
8. Chang y otros 1968.
9. Casella y Zaccone 2021.
10. Fox 2010, pág. 277.
11. Fox 2010, pág. 277-278.
12. Fox 2010, pág. 280.
13. Fox 2010, págs. 287-289.
14. Irmer, Wenzel y Monecke 1996, págs. 85-95.

Referencias

Libros de texto

• Kittel, Charles (2004). Introducción a la física del estado sólido (8.ª ed.). Wiley. ISBN 978-0471415268.
• Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Física del estado sólido (1.ª ed.). Holt, Rinehart y Winston . ISBN 978-0030839931.
• Klingshirn, Claus F. (2012). Óptica semiconductora (4 ed.). Saltador. ISBN 978-364228362-8.
• Fox, Mark (2010). Propiedades ópticas de los sólidos (2.ª edición). Oxford University Press . ISBN 978-0199573370.
• Robinson, LC (1973). Principios físicos de la radiación infrarroja lejana, volumen 10 (1.ª edición). Elsevier. ISBN 978-0080859880.

Artículos

• Irmer, G.; Wenzel, M.; Monecke, J. (1996). "La dependencia de la temperatura de los fonones LO(T) y TO(T) en GaAs e InP". Physica Status Solidi B . 195 (1): 85–95. Bibcode :1996PSSBR.195...85I. doi :10.1002/pssb.2221950110. ISSN  0370-1972.
• Lyddane, R.; Sachs, R.; Teller, E. (1941). "Sobre las vibraciones polares de los haluros alcalinos". Physical Review . 59 (8): 673–676. Bibcode :1941PhRv...59..673L. doi :10.1103/PhysRev.59.673.
• Chang, IF; Mitra, SS; Plendl, JN; Mansur, LC (1968). "Fonones longitudinales de longitud de onda larga de cristales multimodo". Physica Status Solidi B . 28 (2): 663–673. Código Bibliográfico :1968PSSBR..28..663C. doi :10.1002/pssb.19680280224.
• Casella, L.; Zaccone, A. (2021). "Teoría del modo suave de las transiciones de fase ferroeléctricas en la fase de baja temperatura". Journal of Physics: Condensed Matter . 33 : 165401. arXiv : 2103.10262 . doi :10.1088/1361-648X/abdb68.