Teoría de la deformación infinitesimal

Modelo matemático para describir la deformación del material bajo tensión.

En mecánica continua , la teoría de la deformación infinitesimal es un enfoque matemático para la descripción de la deformación de un cuerpo sólido en el que se supone que los desplazamientos de las partículas materiales son mucho más pequeños (de hecho, infinitamente más pequeños) que cualquier dimensión relevante del cuerpo; de modo que se puede suponer que su geometría y las propiedades constitutivas del material (como la densidad y la rigidez ) en cada punto del espacio no cambian por la deformación.

Con esta suposición, las ecuaciones de la mecánica del continuo se simplifican considerablemente. Este enfoque también puede denominarse teoría de pequeñas deformaciones , teoría de pequeños desplazamientos o teoría de pequeños desplazamientos-gradientes . Se contrasta con la teoría de las deformaciones finitas , donde se hace el supuesto opuesto.

La teoría de la deformación infinitesimal se adopta comúnmente en ingeniería civil y mecánica para el análisis de tensiones de estructuras construidas con materiales elásticos relativamente rígidos como el hormigón y el acero , ya que un objetivo común en el diseño de dichas estructuras es minimizar su deformación bajo cargas típicas . Sin embargo, esta aproximación exige precaución en el caso de cuerpos delgados y flexibles, como varillas, placas y carcasas, que son susceptibles a rotaciones significativas, lo que hace que los resultados no sean confiables. ^[1]

Tensor de deformación infinitesimal

Para deformaciones infinitesimales de un cuerpo continuo , en las que el tensor de gradiente de desplazamiento (tensor de segundo orden) es pequeño en comparación con la unidad, es decir , es posible realizar una linealización geométrica de cualquiera de los tensores de deformación finitos utilizados en la teoría de deformaciones finitas, por ejemplo. el tensor de deformación finita de Lagrang y el tensor de deformación finita de Euler . En tal linealización, se desprecian los términos no lineales o de segundo orden del tensor de deformación finito. Así tenemos ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$

$${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} (\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$

$${\displaystyle e_{rs}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{s}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}\right)}$$

Esta linealización implica que la descripción lagrangiana y la descripción euleriana son aproximadamente iguales ya que hay poca diferencia en las coordenadas materiales y espaciales de un punto material dado en el continuo. Por lo tanto, los componentes del tensor de gradiente de desplazamiento material y los componentes del tensor de gradiente de desplazamiento espacial son aproximadamente iguales. Así tenemos

$${\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {e} \approx {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left((\nabla \mathbf {u} )^{T}+\nabla \mathbf {u} \right)}$$

$${\displaystyle E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)}$$

tensor de deformación infinitesimaltensor de deformación de Cauchytensor de deformación linealtensor de deformación pequeño ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}}$$

Además, dado que el gradiente de deformación se puede expresar como dónde está el tensor de identidad de segundo orden, tenemos ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +{\boldsymbol {I}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}+{\boldsymbol {F}}\right)-{\boldsymbol {I}}}$$

Además, de la expresión general para los tensores de deformación finita lagrangianos y eulerianos tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\frac {1}{2m}}[\{{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}+{\boldsymbol {I}}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\\\mathbf {e} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\end{aligned}}}$$

Derivación geométrica

Figura 1. Deformación geométrica bidimensional de un elemento material infinitesimal.

Considere una deformación bidimensional de un elemento material rectangular infinitesimal con dimensiones de (Figura 1), que después de la deformación, toma la forma de un rombo. De la geometría de la Figura 1 tenemos ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Para gradientes de desplazamiento muy pequeños, es decir, tenemos ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$

$${\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

La deformación normal en la dirección del elemento rectangular está definida por ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}}$$

${\displaystyle {\overline {AB}}=dx}$

$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$

De manera similar, la deformación normal en la dirección y en la dirección se convierte en ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

La deformación por corte de ingeniería , o el cambio de ángulo entre dos líneas de material originalmente ortogonales, en este caso la línea y , se define como ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

De la geometría de la Figura 1 tenemos

$${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}}$$

Para rotaciones pequeñas, es decir , y tenemos ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \ll 1}$

$${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta }$$

$${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}}$

De manera similar, para los planos - y - , tenemos ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

Se puede ver que los componentes de deformación por corte tensorial del tensor de deformación infinitesimal se pueden expresar usando la definición de deformación de ingeniería , como ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

Interpretación física

De la teoría de deformaciones finitas tenemos

$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Para deformaciones infinitesimales entonces tenemos

$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Dividiendo por tenemos ${\displaystyle (dX)^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}}$$

Para deformaciones pequeñas asumimos que , por lo tanto el segundo término del lado izquierdo se convierte en: . ${\displaystyle dx\approx dX}$ ${\displaystyle {\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2}$

Entonces nosotros tenemos

$${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N} }$$

deformación normal ${\displaystyle N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}}$

$${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}.}$$

De manera similar, para y podemos encontrar las deformaciones normales y , respectivamente. Por lo tanto, los elementos diagonales del tensor de deformaciones infinitesimales son las deformaciones normales en las direcciones de las coordenadas. ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{22}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$

Reglas de transformación de cepas

Si elegimos un sistema de coordenadas ortonormal ( ) podemos escribir el tensor en términos de componentes con respecto a esos vectores base como ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}}$$

convención de suma de Einstein ${\displaystyle \ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{j}}$

$${\displaystyle {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}}$$

Invariantes de cepa

Ciertas operaciones sobre el tensor de deformación dan el mismo resultado independientemente del sistema de coordenadas ortonormal que se utilice para representar los componentes de la deformación. Los resultados de estas operaciones se denominan invariantes de deformación . Las invariantes de deformación más utilizadas son

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{12}^{2}-\varepsilon _{23}^{2}-\varepsilon _{31}^{2}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}}$$

Cepas principales

Se puede demostrar que es posible encontrar un sistema de coordenadas ( ) en el que las componentes del tensor de deformación sean ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}}$$

deformaciones principales ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$

Si nos dan los componentes del tensor de deformación en un sistema de coordenadas ortonormal arbitrario, podemos encontrar las deformaciones principales usando una descomposición de valores propios determinada resolviendo el sistema de ecuaciones

$${\displaystyle ({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}}$$

${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$

cepa volumétrica

La deformación volumétrica , también llamada deformación de volumen , es la variación relativa del volumen, como surge de la dilatación o la compresión ; es la primera invariante de deformación o traza del tensor:

$${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$

aV ₀a ³ ${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$

$${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$

$${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$

En el caso de corte puro, podemos ver que no hay cambio de volumen.

tensor desviador de deformaciones

El tensor de deformación infinitesimal , de manera similar al tensor de tensión de Cauchy , se puede expresar como la suma de otros dos tensores: ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$

1. un tensor de deformación medio o un tensor de deformación volumétrico o un tensor de deformación esférico , relacionado con la dilatación o el cambio de volumen; y ${\displaystyle \varepsilon _{M}\delta _{ij}}$
2. un componente desviador llamado tensor desviador de deformación , relacionado con la distorsión. ${\displaystyle \varepsilon '_{ij}}$

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon '_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}}$$

${\displaystyle \varepsilon _{M}}$

$${\displaystyle \varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}}$$

El tensor de deformación desviador se puede obtener restando el tensor de deformación medio del tensor de deformación infinitesimal:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ \varepsilon '_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}&\varepsilon '_{12}&\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{21}&\varepsilon '_{22}&\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{31}&\varepsilon '_{32}&\varepsilon '_{33}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Cepas octaédricas

Sean ( ) las direcciones de las tres deformaciones principales. Un plano octaédrico es aquel cuya normal forma ángulos iguales con las tres direcciones principales. La deformación por corte de ingeniería en un plano octaédrico se llama deformación por corte octaédrico y está dada por ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$

$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}}$$

^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}$

La deformación normal en un plano octaédrico está dada por

$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}$$

^{[ cita necesaria ]}

Cepa equivalente

Una cantidad escalar llamada deformación equivalente , o deformación equivalente de von Mises , se utiliza a menudo para describir el estado de deformación en los sólidos. En la literatura se pueden encontrar varias definiciones de deformación equivalente. Una definición que se utiliza comúnmente en la literatura sobre plasticidad es

$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}}$$

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}}$$

Ecuaciones de compatibilidad

Para los componentes de deformación prescritos, la ecuación del tensor de deformación representa un sistema de seis ecuaciones diferenciales para la determinación de tres componentes de desplazamiento , dando un sistema sobredeterminado. Por lo tanto, generalmente no existe una solución para una elección arbitraria de componentes de deformación. Por lo tanto, se imponen algunas restricciones, denominadas ecuaciones de compatibilidad , sobre los componentes de deformación. Con la suma de las tres ecuaciones de compatibilidad, el número de ecuaciones independientes se reduce a tres, igualando el número de componentes de desplazamiento desconocidos. Estas restricciones en el tensor de deformación fueron descubiertas por Saint-Venant y se denominan " ecuaciones de compatibilidad de Saint Venant ". ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle u_{i,j}+u_{j,i}=2\varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle u_{i}}$

Las funciones de compatibilidad sirven para asegurar una función de desplazamiento continuo de un solo valor . Si el medio elástico se visualiza como un conjunto de cubos infinitesimales en estado no deformado, después de deformar el medio, un tensor de deformación arbitrario puede no producir una situación en la que los cubos distorsionados todavía encajen entre sí sin superponerse. ${\displaystyle u_{i}}$

En notación de índice, las ecuaciones de compatibilidad se expresan como

$${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0}$$

En notación de ingeniería,

• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$

Casos especiales

Deformación plana

Estado de deformación plana en un continuo.

En los componentes de ingeniería reales, la tensión (y la deformación) son tensores tridimensionales, pero en estructuras prismáticas, como un tocho de metal largo, la longitud de la estructura es mucho mayor que las otras dos dimensiones. Las deformaciones asociadas con la longitud, es decir, la deformación normal y las deformaciones de corte (si la longitud es de 3 direcciones) están limitadas por el material cercano y son pequeñas en comparación con las deformaciones de la sección transversal . La deformación plana es entonces una aproximación aceptable. El tensor de deformación para deformación plana se escribe como: ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{13}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{23}}$

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

tensordeformación plana

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle \sigma _{33}}$ ${\displaystyle \epsilon _{33}=0}$

Deformación antiplano

La deformación antiplano es otro estado especial de deformación que puede ocurrir en un cuerpo, por ejemplo en una región cercana a una dislocación de un tornillo . El tensor de deformación para la deformación antiplano viene dado por

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$$

Relación con el tensor de rotación infinitesimal

El tensor de deformación infinitesimal se define como

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$

tensor de rotación infinitesimalel tensor de desplazamiento angular infinitesimalmatriz de rotación infinitesimalsimétrico sesgadotanto ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ ${\displaystyle |W_{ij}|\ll 1}$

El vector axial

Un tensor de segundo orden simétrico sesgado tiene tres componentes escalares independientes. Estos tres componentes se utilizan para definir un vector axial , de la siguiente manera ${\displaystyle \mathbf {w} }$

$${\displaystyle W_{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~W_{jk}}$$

símbolo de permutación ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {W}}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}}$$

vector de rotación infinitesimal

$${\displaystyle \mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} }$$

$${\displaystyle w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}}$$

${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {W}}\rVert \ll 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle |\mathbf {w} |}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

Relación entre el tensor de deformación y el vector de rotación.

Dado un campo de desplazamiento continuo de un solo valor y el tensor de deformación infinitesimal correspondiente , tenemos (ver Derivada del tensor (mecánica continua) ) ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$

${\displaystyle u_{l,ji}=u_{l,ij}}$

$${\displaystyle e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0}$$

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$$

Relación entre tensor de rotación y vector de rotación

A partir de una identidad importante con respecto a la curvatura de un tensor, sabemos que para un campo de desplazamiento continuo de un solo valor , ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {W}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .}$$

Tensor de deformación en coordenadas no cartesianas

Tensor de deformación en coordenadas cilíndricas

En coordenadas polares cilíndricas ( ), el vector de desplazamiento se puede escribir como ${\displaystyle r,\theta ,z}$

$${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}$$

^[2]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$

Tensor de deformación en coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) como se usan comúnmente en física : distancia radial r , ángulo polar θ ( theta ) y ángulo azimutal φ ( phi ). El símbolo ρ ( rho ) se utiliza a menudo en lugar de r .

En coordenadas esféricas ( ), el vector de desplazamiento se puede escribir como ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$

$${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }}$$

^[2]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}}$$

Ver también

• Deformación (mecánica)
• Compatibilidad (mecánica)
• Medidor de estrés
• galga extensométrica
• tensor de elasticidad
• Curva tensión-deformación
• ley de Hooke
• el coeficiente de Poisson
• Teoría de la deformación finita
• tasa de deformación
• Estrés aereo
• Correlación de imágenes digitales

Referencias

1. Boresi, Arthur P. (Arthur Peter), 1924- (2003). Mecánica avanzada de materiales . Schmidt, Richard J. (Richard Joseph), 1954- (6ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. pag. 62.ISBN​ 1601199228. OCLC  430194205.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
2. Masacre, William S. (2002). La teoría linealizada de la elasticidad . Nueva York: Springer Science+Business Media. doi :10.1007/978-1-4612-0093-2. ISBN 9781461266082.

enlaces externos