Contactar mecanica

Estudio de la deformación de sólidos que se tocan entre sí.

Tensiones en un área de contacto cargadas simultáneamente con una fuerza normal y tangencial. Las tensiones se hicieron visibles mediante fotoelasticidad .

La mecánica de contacto es el estudio de la deformación de sólidos que se tocan entre sí en uno o más puntos. ^{[1] [2]} Una distinción central en la mecánica de contactos es entre las tensiones que actúan perpendicularmente a las superficies de los cuerpos en contacto (conocidas como tensión normal ) y las tensiones de fricción que actúan tangencialmente entre las superficies ( esfuerzo cortante ). La mecánica de contacto normal o mecánica de contacto sin fricción se centra en las tensiones normales causadas por las fuerzas normales aplicadas y por la adhesión presente en superficies en estrecho contacto, incluso si están limpias y secas. La mecánica de contacto de fricción enfatiza el efecto de las fuerzas de fricción.

La mecánica de contacto forma parte de la ingeniería mecánica . La formulación física y matemática de la materia se basa en la mecánica de materiales y la mecánica continua y se centra en cálculos que involucran cuerpos elásticos , viscoelásticos y plásticos en contacto estático o dinámico . La mecánica de contactos proporciona la información necesaria para el diseño seguro y energéticamente eficiente de sistemas técnicos y para el estudio de la tribología , la rigidez de los contactos , la resistencia eléctrica de los contactos y la dureza de la indentación . Los principios de la mecánica de contactos se implementan en aplicaciones tales como contacto rueda-riel de locomotoras, dispositivos de acoplamiento , sistemas de frenado , neumáticos , cojinetes , motores de combustión , enlaces mecánicos , sellos de juntas , trabajo de metales , conformado de metales, soldadura ultrasónica , contactos eléctricos y muchos otros. Los desafíos actuales que se enfrentan en el campo pueden incluir el análisis de tensiones de los miembros de contacto y acoplamiento y la influencia de la lubricación y el diseño del material sobre la fricción y el desgaste . Las aplicaciones de la mecánica de contacto se extienden aún más al ámbito micro y nanotecnológico .

El trabajo original en mecánica de contactos se remonta a 1881 con la publicación del artículo "Sobre el contacto de sólidos elásticos" ^[3] ("Ueber die Berührung fester elastischer Körper") de Heinrich Hertz . Hertz intentaba comprender cómo las propiedades ópticas de múltiples lentes apiladas podrían cambiar con la fuerza que las mantiene unidas. La tensión de contacto hertziana se refiere a las tensiones localizadas que se desarrollan cuando dos superficies curvas entran en contacto y se deforman ligeramente bajo las cargas impuestas. Esta cantidad de deformación depende del módulo de elasticidad del material en contacto. Da la tensión de contacto en función de la fuerza de contacto normal, los radios de curvatura de ambos cuerpos y el módulo de elasticidad de ambos cuerpos. La tensión de contacto hertziana forma la base de las ecuaciones de capacidad de carga y vida a fatiga en rodamientos, engranajes y cualquier otro cuerpo donde dos superficies estén en contacto.

Historia

Cuando se presiona una esfera contra un material elástico, el área de contacto aumenta.

La mecánica de contactos clásica se asocia sobre todo con Heinrich Hertz. ^{[3] [4]} En 1882, Hertz resolvió el problema del contacto de dos cuerpos elásticos con superficies curvas. Esta solución clásica, todavía relevante, proporciona la base para los problemas modernos de la mecánica de contactos. Por ejemplo, en ingeniería mecánica y tribología , la tensión de contacto hertziana es una descripción de la tensión dentro de las piezas acopladas. La tensión de contacto hertziana suele referirse a la tensión cercana al área de contacto entre dos esferas de diferentes radios.

No fue hasta casi cien años después que Johnson , Kendall y Roberts encontraron una solución similar para el caso del contacto adhesivo . ^[5] Esta teoría fue rechazada por Boris Derjaguin y sus colaboradores ^[6] quienes propusieron una teoría diferente de la adhesión ^[7] en la década de 1970. El modelo de Derjaguin pasó a ser conocido como modelo DMT (en honor a Derjaguin, Muller y Toporov), ^[7] y el de Johnson et al. Este modelo pasó a ser conocido como modelo JKR (en honor a Johnson, Kendall y Roberts) para contacto elástico adhesivo. Este rechazo resultó ser fundamental en el desarrollo de los parámetros de Tabor ^[8] y posteriores de Maugis ^{[6] [9]} que cuantifican qué modelo de contacto (de los modelos JKR y DMT) representa mejor el contacto adhesivo para materiales específicos.

Otros avances en el campo de la mecánica de contactos a mediados del siglo XX pueden atribuirse a nombres como Bowden y Tabor . Bowden y Tabor fueron los primeros en enfatizar la importancia de la rugosidad de la superficie de los cuerpos en contacto. ^{[10] [11]} A través de la investigación de la rugosidad de la superficie, se encuentra que el área de contacto real entre los socios de fricción es menor que el área de contacto aparente. Esta comprensión también cambió drásticamente la dirección de los esfuerzos en tribología. Los trabajos de Bowden y Tabor produjeron varias teorías sobre la mecánica de contacto de superficies rugosas.

También deben mencionarse las contribuciones de Archard (1957) ^[12] al discutir trabajos pioneros en este campo. Archard concluyó que, incluso para superficies elásticas rugosas, el área de contacto es aproximadamente proporcional a la fuerza normal . Greenwood y Williamson (1966), ^[13] Bush (1975), ^[14] y Persson (2002) proporcionaron otras ideas importantes en este sentido . ^[15] Los principales hallazgos de estos trabajos fueron que la verdadera superficie de contacto en materiales rugosos es generalmente proporcional a la fuerza normal, mientras que los parámetros de los microcontactos individuales (es decir, presión, tamaño del microcontacto) dependen sólo débilmente sobre la carga.

Soluciones clásicas para contacto elástico no adhesivo.

La teoría del contacto entre cuerpos elásticos se puede utilizar para encontrar áreas de contacto y profundidades de indentación para geometrías simples. Algunas soluciones comúnmente utilizadas se enumeran a continuación. La teoría utilizada para calcular estas soluciones se analiza más adelante en el artículo. Se pueden encontrar soluciones para multitud de otras formas técnicamente relevantes, por ejemplo, el cono truncado, la esfera desgastada, perfiles rugosos, cilindros huecos, etc. en ^[16]

Contacto entre una esfera y un medio espacio.

Contacto de una esfera elástica con un semiespacio elástico

Una esfera elástica de radio indenta un semiespacio elástico donde se produce la deformación total , provocando un área de contacto de radio ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

La fuerza aplicada está relacionada con el desplazamiento por ^[4] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle F={\frac {4}{3}}E^{*}R^{\frac {1}{2}}d^{\frac {3}{2}}}$

dónde

${\displaystyle {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

y , son los módulos elásticos y , los ratios de Poisson asociados a cada cuerpo. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle \nu _{1}}$ ${\displaystyle \nu _{2}}$

La distribución de la presión normal en el área de contacto en función de la distancia desde el centro del círculo es ^[1]

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

¿Dónde está la presión máxima de contacto dada por ${\displaystyle p_{0}}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {3F}{2\pi a^{2}}}={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {6F{E^{*}}^{2}}{R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

El radio del círculo está relacionado con la carga aplicada mediante la ecuación ${\displaystyle F}$

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3FR}{4E^{*}}}}$

La deformación total está relacionada con la presión máxima de contacto por ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {a^{2}}{R}}=\left({\frac {9F^{2}}{16{E^{*}}^{2}R}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

El esfuerzo cortante máximo se produce en el interior en for . ${\displaystyle z\approx 0.49a}$ ${\displaystyle \nu =0.33}$

Contacto entre dos esferas

Contacto entre dos esferas.

Contacto entre dos cilindros cruzados de igual radio.

Para el contacto entre dos esferas de radios y , el área de contacto es un círculo de radio . Las ecuaciones son las mismas que para una esfera en contacto con un semiplano excepto que el radio efectivo se define como ^[4] ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

Contacto entre dos cilindros cruzados de igual radio.

Esto equivale al contacto entre una esfera de radio y un plano . ${\displaystyle R}$

Contacto entre un cilindro rígido con extremo plano y un semiespacio elástico

Contacto entre un penetrador cilíndrico rígido y un semiespacio elástico.

Si un cilindro rígido se presiona en un semiespacio elástico, se crea una distribución de presión descrita por ^[17]

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

donde es el radio del cilindro y ${\displaystyle R}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {1}{\pi }}E^{*}{\frac {d}{R}}}$

La relación entre la profundidad de la indentación y la fuerza normal está dada por

${\displaystyle F=2RE^{*}d}$

Contacto entre un penetrador cónico rígido y un semiespacio elástico

Contacto entre un penetrador cónico rígido y un semiespacio elástico.

En el caso de la indentación de un semiespacio elástico del módulo de Young utilizando un indentador cónico rígido , la profundidad de la región de contacto y el radio de contacto están relacionados por ^[17] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \epsilon =a\tan(\theta )}$

definido como el ángulo entre el plano y la superficie lateral del cono. La profundidad total de la sangría viene dada por: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {\pi }{2}}\epsilon }$

La fuerza total es

${\displaystyle F={\frac {\pi E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}a^{2}\tan(\theta )={\frac {2E}{\pi \left(1-\nu ^{2}\right)}}{\frac {d^{2}}{\tan(\theta )}}}$

La distribución de presión está dada por

${\displaystyle p\left(r\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\ln \left({\frac {a}{r}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\cosh ^{-1}\left({\frac {a}{r}}\right)}$

La tensión tiene una singularidad logarítmica en la punta del cono.

Contacto entre dos cilindros con ejes paralelos.

Contacto entre dos cilindros con ejes paralelos.

En contacto entre dos cilindros con ejes paralelos, la fuerza es linealmente proporcional a la longitud de los cilindros L y a la profundidad de indentación d : ^[18]

${\displaystyle F\approx {\frac {\pi }{4}}E^{*}Ld}$

Los radios de curvatura están completamente ausentes de esta relación. El radio de contacto se describe mediante la relación habitual

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

con

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

como en contacto entre dos esferas. La presión máxima es igual a

${\displaystyle p_{0}=\left({\frac {E^{*}F}{\pi LR}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Contacto de rodamiento

El contacto en el caso de los rodamientos suele ser un contacto entre una superficie convexa (cilindro macho o esfera) y una superficie cóncava (cilindro o esfera hembra: orificio o copa semiesférica ).

El método de reducción de dimensionalidad

Contacto entre una esfera y un semiespacio elástico y un modelo sustituido unidimensional.

Algunos problemas de contacto se pueden resolver con el Método de Reducción de Dimensionalidad (MDR). En este método, el sistema tridimensional inicial se reemplaza por el contacto de un cuerpo con una base lineal elástica o viscoelástica (ver figura). Las propiedades de los sistemas unidimensionales coinciden exactamente con las del sistema tridimensional original, si se modifica la forma de los cuerpos y se definen los elementos de la cimentación según las reglas del MDR. ^{[19] [20]} MDR se basa en la solución a problemas de contacto axisimétricos obtenidos por primera vez por Ludwig Föppl (1941) y Gerhard Schubert (1942) ^[21]

Sin embargo, para obtener resultados analíticos exactos, se requiere que el problema de contacto sea simétrico y que los contactos sean compactos.

Teoría hertziana del contacto elástico no adhesivo.

La teoría clásica del contacto se centraba principalmente en el contacto no adhesivo en el que no se permite que se produzca ninguna fuerza de tensión dentro del área de contacto, es decir, los cuerpos en contacto pueden separarse sin fuerzas de adhesión. Se han utilizado varios enfoques analíticos y numéricos para resolver problemas de contacto que satisfacen la condición de no adherencia. Se transmiten fuerzas y momentos complejos entre los cuerpos en contacto, por lo que los problemas en la mecánica de contacto pueden volverse bastante sofisticados. Además, las tensiones de contacto suelen ser una función no lineal de la deformación. Para simplificar el procedimiento de solución, normalmente se define un marco de referencia en el que los objetos (posiblemente en movimiento entre sí) son estáticos. Interactúan a través de tracciones superficiales (o presiones/tensiones) en su interfaz.

Como ejemplo, considere dos objetos que se encuentran en alguna superficie en el plano ( , ) con el eje supuesto normal a la superficie. Uno de los cuerpos experimentará una distribución de presión normalmente dirigida y distribuciones de tracción en la superficie en el plano y sobre la región . En términos de un equilibrio de fuerzas newtoniano , las fuerzas: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p_{z}=p(x,y)=q_{z}(x,y)}$ ${\displaystyle q_{x}=q_{x}(x,y)}$ ${\displaystyle q_{y}=q_{y}(x,y)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P_{z}=\int _{S}p(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}=\int _{S}q_{x}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{y}=\int _{S}q_{y}(x,y)~\mathrm {d} A}$

debe ser igual y opuesta a las fuerzas establecidas en el otro cuerpo. Los momentos correspondientes a estas fuerzas:

${\displaystyle M_{x}=\int _{S}y~q_{z}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{y}=\int _{S}-x~q_{z}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{z}=\int _{S}[x~q_{y}(x,y)-y~q_{x}(x,y)]~\mathrm {d} A}$

También se requiere que se cancelen entre cuerpos para que queden cinemáticamente inmóviles.

Supuestos de la teoría hertziana

Se hacen las siguientes suposiciones para determinar las soluciones de los problemas de contacto hertzianos :

• Las deformaciones son pequeñas y están dentro del límite elástico.
• Las superficies son continuas y no conformes (lo que implica que el área de contacto es mucho más pequeña que las dimensiones características de los cuerpos en contacto).
• Cada cuerpo puede considerarse un semiespacio elástico.
• Las superficies no tienen fricción.

Surgen complicaciones adicionales cuando se violan algunos o todos estos supuestos y estos problemas de contacto generalmente se denominan no hertzianos .

Técnicas de solución analítica.

Contacto entre dos esferas.

Los métodos de solución analítica para problemas de contacto no adhesivos se pueden clasificar en dos tipos según la geometría del área de contacto. ^[22] Un contacto conforme es aquel en el que los dos cuerpos se tocan en múltiples puntos antes de que se produzca cualquier deformación (es decir, simplemente "encajan"). Un contacto disconforme es aquel en el que las formas de los cuerpos son lo suficientemente diferentes como para que, bajo carga cero, solo se toquen en un punto (o posiblemente a lo largo de una línea). En el caso no conforme, el área de contacto es pequeña en comparación con los tamaños de los objetos y las tensiones están muy concentradas en esta área. Tal contacto se llama concentrado , en caso contrario se llama diversificado .

Un enfoque común en elasticidad lineal es superponer una serie de soluciones, cada una de las cuales corresponde a una carga puntual que actúa sobre el área de contacto. Por ejemplo, en el caso de cargar un semiplano , la solución Flamant se utiliza a menudo como punto de partida y luego se generaliza a varias formas del área de contacto. Los equilibrios de fuerza y ​​momento entre los dos cuerpos en contacto actúan como restricciones adicionales a la solución.

Contacto puntual en un semiplano (2D)

Esquema de la carga sobre un plano por la fuerza P en un punto (0, 0).

Un punto de partida para resolver problemas de contacto es comprender el efecto de una "carga puntual" aplicada a un semiplano elástico isotrópico, homogéneo y lineal, como se muestra en la figura de la derecha. El problema puede ser una tensión plana o una deformación plana . Este es un problema de valor límite de elasticidad lineal sujeto a las condiciones de contorno de tracción :

${\displaystyle \sigma _{xz}(x,0)=0~;~~\sigma _{z}(x,z)=-P\delta (x,z)}$

¿Dónde está la función delta de Dirac ? Las condiciones de contorno establecen que no hay esfuerzos cortantes en la superficie y que se aplica una fuerza normal singular P en (0, 0). La aplicación de estas condiciones a las ecuaciones rectoras de la elasticidad produce el resultado ${\displaystyle \delta (x,z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {x^{2}z}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{zz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {z^{3}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{xz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {xz^{2}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

en algún punto, , en el semiplano. El círculo que se muestra en la figura indica una superficie en la que el esfuerzo cortante máximo es constante. A partir de este campo de tensiones se pueden determinar las componentes de deformación y, por tanto, los desplazamientos de todos los puntos del material. ${\displaystyle (x,y)}$

Contacto de línea en un semiplano (2D)

Carga normal en una región

Supongamos que, en lugar de una carga puntual , se aplica una carga distribuida a la superficie, en todo el rango . El principio de superposición lineal se puede aplicar para determinar el campo de tensiones resultante como solución de las ecuaciones integrales : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a<x<b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2z}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{2}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}~;~~\sigma _{zz}=-{\frac {2z^{3}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\\[3pt]\sigma _{xz}&=-{\frac {2z^{2}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\left(x-x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\end{aligned}}}$

Carga de corte sobre una región

El mismo principio se aplica a la carga sobre la superficie en el plano de la superficie. Este tipo de tracciones tenderían a surgir como consecuencia de la fricción. La solución es similar a la anterior (tanto para cargas singulares como para cargas distribuidas ) pero ligeramente modificada: ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{3}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}~;~~\sigma _{zz}=-{\frac {2z^{2}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\\[3pt]\sigma _{xz}&=-{\frac {2z}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{2}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\end{aligned}}}$

Estos resultados pueden superponerse a los indicados anteriormente para cargas normales para hacer frente a cargas más complejas.

Contacto puntual en un medio espacio (3D)

De manera análoga a la solución de Flamant para el semiplano 2D, también se conocen soluciones fundamentales para el semiespacio 3D linealmente elástico. Estos fueron encontrados por Boussinesq para una carga normal concentrada y por Cerruti para una carga tangencial. Consulte la sección sobre esto en Elasticidad lineal .

Técnicas de solución numérica

No es necesario hacer distinciones entre contactos conformes y no conformes cuando se emplean esquemas de solución numérica para resolver problemas de contacto. Estos métodos no se basan en suposiciones adicionales dentro del proceso de solución, ya que se basan únicamente en la formulación general de las ecuaciones subyacentes. ^{[23] [24] [25] [26] [27]} Además de las ecuaciones estándar que describen la deformación y el movimiento de los cuerpos, se pueden formular dos desigualdades adicionales. El primero simplemente restringe el movimiento y la deformación de los cuerpos suponiendo que no puede ocurrir ninguna penetración. Por tanto, la brecha entre dos cuerpos solo puede ser positiva o cero. ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h\geq 0}$

donde denota contacto. El segundo supuesto en la mecánica de contactos está relacionado con el hecho de que no se permite que se produzca ninguna fuerza de tensión dentro del área de contacto (los cuerpos en contacto pueden levantarse sin fuerzas de adhesión). Esto conduce a una desigualdad que las tensiones deben obedecer en la interfaz de contacto. Está formulado para el estrés normal . ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle \sigma _{n}=\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} }$

En los lugares donde hay contacto entre las superficies, el espacio es cero, es decir , y allí la tensión normal es diferente de cero, de hecho ,. En lugares donde las superficies no están en contacto, la tensión normal es idéntica a cero; , mientras que la brecha es positiva; es decir, . Este tipo de formulación de complementariedad se puede expresar en la denominada forma de Kuhn-Tucker , a saber. ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle \sigma _{n}<0}$ ${\displaystyle \sigma _{n}=0}$ ${\displaystyle h>0}$

${\displaystyle h\geq 0\,,\quad \sigma _{n}\leq 0\,,\quad \sigma _{n}\,h=0\,.}$

Estas condiciones son válidas de forma general. La formulación matemática de la brecha depende de la cinemática de la teoría subyacente del sólido (por ejemplo, sólido lineal o no lineal en dos o tres dimensiones, modelo de viga o capa ). Reexpresando la tensión normal en términos de la presión de contacto, ; es decir, el problema de Kuhn-Tucker se puede reformular como en forma de complementariedad estándar, es decir ${\displaystyle \sigma _{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=-\sigma _{n}}$

$${\displaystyle h\geq 0\,,\quad p\geq 0\,,\quad p\,h=0\,.}$$

$${\displaystyle {h}=h_{0}+{g}+u,}$$

${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle u=\int _{\infty }^{\infty }K(x-s)p(s)ds,}$$

$${\displaystyle K(x-s)={\frac {2}{\pi E^{*}}}\ln |x-s|}$$

$${\displaystyle K(x-s)={\frac {1}{\pi E^{*}}}{\frac {1}{\sqrt {\left(x_{1}-s_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-s_{2}\right)^{2}}}}}$$

^[1]

Después de la discretización, el problema de la mecánica del contacto elástico lineal se puede plantear en la forma estándar de problema de complementariedad lineal (LCP). ^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {h} &=\mathbf {h} _{0}+\mathbf {g} +\mathbf {Cp} ,\\\mathbf {h} \cdot \mathbf {p} &=0,\,\,\,\mathbf {p} \geq 0,\,\,\,\mathbf {h} \geq 0,\\\end{aligned}}}$

donde es una matriz, cuyos elementos son los llamados coeficientes de influencia que relacionan la presión de contacto y la deformación. La estricta formulación LCP del problema CM presentada anteriormente permite la aplicación directa de técnicas de solución numérica bien establecidas, como el algoritmo de pivote de Lemke . El algoritmo de Lemke tiene la ventaja de que encuentra la solución numéricamente exacta dentro de un número finito de iteraciones. La implementación de MATLAB presentada por Almqvist et al. es un ejemplo que se puede emplear para resolver el problema numéricamente. Además, Almqvist et al también han hecho público un código de ejemplo para una solución LCP de un problema de mecánica de contacto elástico lineal 2D en el intercambio de archivos MATLAB. ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Contacto entre superficies rugosas

Cuando dos cuerpos con superficies rugosas se presionan entre sí, el área de contacto verdadera formada entre los dos cuerpos, es mucho más pequeña que el área de contacto aparente o nominal . La mecánica del contacto con superficies rugosas se analiza en términos de mecánica de contacto normal e interacciones de fricción estática. ^[29] Las superficies naturales y de ingeniería suelen exhibir características de rugosidad, conocidas como asperezas, en una amplia gama de escalas de longitud hasta el nivel molecular, y las estructuras superficiales exhiben autoafinidad, también conocida como fractalidad superficial . Se reconoce que la estructura autoafín de las superficies es el origen del escalamiento lineal del área de contacto real con la presión aplicada. ^{[30] [31]} Suponiendo un modelo de corte de contactos soldados en interacciones tribológicas , esta linealidad ubicuamente observada entre el área de contacto y la presión también puede considerarse el origen de la linealidad de la relación entre la fricción estática y la fuerza normal aplicada. ^[29] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{0}}$

En contacto entre una superficie "rugosa aleatoria" y un semiespacio elástico, el área de contacto verdadera está relacionada con la fuerza normal por ^{[1] [31] [32] [33]} ${\displaystyle F}$

${\displaystyle A={\frac {\kappa }{E^{*}h'}}F}$

con igual a la raíz cuadrática media (también conocida como media cuadrática) de la pendiente de la superficie y . La presión media en la superficie de contacto real. ${\displaystyle h'}$ ${\displaystyle \kappa \approx 2}$

${\displaystyle p_{\mathrm {av} }={\frac {F}{A}}\approx {\frac {1}{2}}E^{*}h'}$

puede estimarse razonablemente como la mitad del módulo elástico efectivo multiplicado por la raíz cuadrática media de la pendiente de la superficie . ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle h'}$

Una descripción general del modelo GW

Greenwood y Williamson en 1966 (GW) ^[31] propusieron una teoría de la mecánica de contacto elástico de superficies rugosas que hoy es la base de muchas teorías en tribología (fricción, adhesión, conductancia térmica y eléctrica, desgaste, etc.). Consideraron el contacto entre un plano rígido liso y una superficie rugosa deformable nominalmente plana cubierta con asperezas de punta redonda del mismo radio R. Su teoría supone que la deformación de cada aspereza es independiente de la de sus vecinas y se describe mediante el modelo de Hertz. . Las alturas de las asperezas tienen una distribución aleatoria. La probabilidad de que la altura de la aspereza esté entre y es . Los autores calcularon el número de puntos de contacto n, el área total de contacto y la carga total P en el caso general. Dieron esas fórmulas en dos formas: en la básica y usando variables estandarizadas. Si se supone que N asperezas cubren una superficie rugosa, entonces el número esperado de contactos es ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z+dz}$ ${\displaystyle \phi (z)dz}$ ${\displaystyle A_{r}}$

${\displaystyle n=N\int _{d}^{\infty }\phi (z)dz}$

El área total esperada de contacto se puede calcular a partir de la fórmula

${\displaystyle A_{a}=N\pi R\int _{d}^{\infty }(z-d)\phi (z)dz}$

y la fuerza total esperada está dada por

${\displaystyle P={\frac {4}{3}}NE_{r}{\sqrt {R}}\int _{d}^{\infty }(z-d)^{\frac {3}{2}}\phi (z)dz}$

dónde:

R, radio de curvatura de la microasperidad,

z, altura de la microasperidad medida desde la línea del perfil,

d, cerrar la superficie,

${\displaystyle E_{r}=\left({\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}\right)^{-1}}$, módulo de elasticidad de Young compuesto,

${\displaystyle E_{i}}$, módulo de elasticidad de la superficie,

${\displaystyle \nu _{i}}$, Coeficientes de superficie de Poisson.

Greenwood y Williamson introdujeron la separación estandarizada y la distribución de altura estandarizada cuya desviación estándar es igual a uno. A continuación se presentan las fórmulas en forma estandarizada. ${\displaystyle h=d/\sigma }$ ${\displaystyle \phi ^{*}(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(h)&=\int _{h}^{\infty }(s-h)^{n}\phi ^{*}(s)ds\\n&=\eta A_{n}F_{0}(h)\\A_{a}&=\pi \eta AR\sigma F_{1}(h)\\P&={\frac {4}{3}}\eta AE_{r}{\sqrt {R}}\sigma ^{\frac {3}{2}}F_{\frac {3}{2}}(h)\end{aligned}}}$

dónde:

d es la separación,

${\displaystyle A}$es el área de contacto nominal,

${\displaystyle \eta }$es la densidad superficial de las asperezas,

${\displaystyle E^{*}}$es el módulo de Young efectivo.

${\displaystyle A}$y se puede determinar cuando los términos se calculan para las superficies dadas utilizando la convolución de la rugosidad de la superficie . ^[34] Varios estudios han seguido los ajustes de curva sugeridos para asumir una distribución alta de superficie gaussiana con ajustes de curva presentados por Arcoumanis et al. ^[35] y Jedynak ^[36] entre otros. Se ha observado repetidamente que las superficies de ingeniería no muestran distribuciones de altura de superficie gaussianas, por ejemplo, Peklenik. ^[37] Leighton y cols. ^[38] presentaron ajustes para superficies de camisas de cilindros de motores IC rayadas junto con un proceso para determinar los términos para cualquier superficie medida. Leighton y cols. ^[38] demostraron que los datos de ajuste gaussiano no son precisos para modelar superficies diseñadas y continuaron demostrando ^[39] que el funcionamiento temprano de las superficies da como resultado una transición gradual que cambia significativamente la topografía de la superficie, la capacidad de carga y la fricción. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$ ${\displaystyle \phi ^{*}(s)}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

Recientemente Jedynak publicó las aproximaciones exactas a y . ^[36] Están dados por las siguientes fórmulas racionales, que son aproximaciones a las integrales . Se calculan para la distribución gaussiana de asperezas, que se ha demostrado que no son realistas para superficies de ingeniería, pero que se pueden asumir cuando los resultados de fricción, capacidad de carga o área de contacto real no son críticos para el análisis. ^[38] ${\displaystyle A_{r}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

Para los coeficientes son ${\displaystyle F_{1}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.398942280401,0.159773702775,0.0389687688311,0.00364356495452]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=\left[1.653807476138,1.170419428529,0.448892964428,0.0951971709160,0.00931642803836,-6.383774657279\times 10^{-6}\right]\end{aligned}}}$

El error relativo máximo es . ${\displaystyle 9.93\times 10^{-8}\%}$

Para los coeficientes son ${\displaystyle F_{\frac {3}{2}}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.430019993662,0.101979509447,0.0229040629580,0.000688602924]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.671117125984,1.199586555505,0.46936532151,0.102632881122,0.010686348714,0.0000517200271]\end{aligned}}}$

El error relativo máximo es . El artículo ^[36] también contiene las expresiones exactas para ${\displaystyle 1.91\times 10^{-7}\%}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(h)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}h^{2}\right)-{\frac {1}{2}}h\,\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)\\F_{\frac {3}{2}}(h)&={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right){\sqrt {h}}\left(\left(h^{2}+1\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-h^{2}K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

donde erfc(z) significa la función de error complementaria y es la función de Bessel modificada de segundo tipo. ${\displaystyle K_{\nu }(z)}$

Para la situación en la que las asperezas en las dos superficies tienen una distribución de altura gaussiana y se puede suponer que los picos son esféricos, ^[31] la presión de contacto promedio es suficiente para causar fluencia cuando donde es el límite elástico uniaxial y es la dureza de indentación. ^[1] Greenwood y Williamson ^[31] definieron un parámetro adimensional llamado índice de plasticidad que podría usarse para determinar si el contacto sería elástico o plástico. ${\displaystyle p_{\text{av}}=1.1\sigma _{y}\approx 0.39\sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \Psi }$

El modelo de Greenwood-Williamson requiere el conocimiento de dos cantidades estadísticamente dependientes; la desviación estándar de la rugosidad de la superficie y la curvatura de los picos de aspereza. Mikic ha dado una definición alternativa del índice de plasticidad. ^[32] El rendimiento se produce cuando la presión es mayor que el límite elástico uniaxial. Dado que el límite elástico es proporcional a la dureza de la indentación , Mikic definió el índice de plasticidad para el contacto elástico-plástico como ${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>{\frac {2}{3}}~.}$

En esta definición se representa la microrrugosidad en un estado de plasticidad completa y sólo se necesita una cantidad estadística, la pendiente rms, que puede calcularse a partir de mediciones de superficie. Para , la superficie se comporta elásticamente durante el contacto. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi <{\frac {2}{3}}}$

Tanto en el modelo de Greenwood-Williamson como en el de Mikic se supone que la carga es proporcional al área deformada. Por tanto, el comportamiento plástico o elástico del sistema es independiente de la fuerza normal aplicada. ^[1]

Una descripción general del modelo GT

El modelo propuesto por Greenwood y Tripp (GT), ^[40] amplió el modelo GW al contacto entre dos superficies rugosas. El modelo GT es ampliamente utilizado en el campo del análisis elastohidrodinámico.

Las ecuaciones citadas con más frecuencia dadas por el modelo GT son para el área de contacto de aspereza.

${\displaystyle A_{a}=\pi ^{2}(\eta \beta \sigma )^{2}AF_{2}(\lambda ),}$

y carga llevada por asperezas

${\displaystyle P={\frac {8{\sqrt {2}}}{15}}\pi (\eta \beta \sigma )^{2}{\sqrt {\frac {\sigma }{\beta }}}E'AF_{\frac {5}{2}}(\lambda ),}$

dónde:

${\displaystyle \eta \beta \sigma }$, parámetro de rugosidad,

${\displaystyle A}$, área de contacto nominal,

${\displaystyle \lambda }$, Parámetro de la película de aceite de Stribeck, definido por primera vez por Stribeck \cite{gt} como , ${\displaystyle \lambda =h/\sigma }$

${\displaystyle E'}$, módulo elástico efectivo,

${\displaystyle F_{2},F_{\frac {5}{2}}(\lambda )}$, se introdujeron funciones estadísticas para coincidir con la supuesta distribución gaussiana de asperezas.

Leighton y cols. ^[38] presentaron ajustes para superficies de camisas de cilindros de motores IC rayadas junto con un proceso para determinar los términos para cualquier superficie medida. Leighton y cols. ^[38] demostraron que los datos de ajuste gaussiano no son precisos para modelar superficies diseñadas y continuaron demostrando ^[39] que el funcionamiento temprano de las superficies da como resultado una transición gradual que cambia significativamente la topografía de la superficie, la capacidad de carga y la fricción. ${\displaystyle F_{n}(h)}$

Jedynak presenta en primer lugar las soluciones exactas para y . ^[36] Se expresan de la siguiente manera. Se calculan para la distribución gaussiana de asperezas, que se ha demostrado que no son realistas para superficies de ingeniería, pero que se pueden asumir cuando los resultados de fricción, capacidad de carga o área de contacto real no son críticos para el análisis. ^[38] ${\displaystyle A_{a}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2}&={\frac {1}{2}}\left(h^{2}+1\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)-{\frac {h}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)\\F_{\frac {5}{2}}&={\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right)h^{\frac {3}{2}}\left(\left(2h^{2}+3\right)K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-\left(2h^{2}+5\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

donde erfc(z) significa la función de error complementaria y es la función de Bessel modificada de segundo tipo. ${\displaystyle K_{\nu }(z)}$

En el artículo ^[36] se puede encontrar una revisión exhaustiva de las aproximaciones existentes a . Las nuevas propuestas brindan las aproximaciones más precisas a y , que se informan en la literatura. Están dadas por las siguientes fórmulas racionales, que son aproximaciones muy exactas a las integrales . Están calculados para la distribución gaussiana de asperezas. ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$ ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

Para los coeficientes son ${\displaystyle F_{2}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.5,0.182536384941,0.039812283118,0.003684879001]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.960841785003,1.708677456715,0.856592986083,0.264996791567,0.049257843893,0.004640740133]\end{aligned}}}$

El error relativo máximo es . ${\displaystyle 1.68\times 10^{-7}\%}$

Para los coeficientes son ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.616634218997,0.108855827811,0.023453835635,0.000449332509]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.919948267476,1.635304362591,0.799392556572,0.240278859212,0.043178653945,0.003863334276]\end{aligned}}}$

El error relativo máximo es . ${\displaystyle 4.98\times 10^{-8}\%}$

Contacto adhesivo entre cuerpos elásticos.

Cuando dos superficies sólidas se acercan, experimentan fuerzas de atracción de Van der Waals . El modelo de van der Waals de Bradley ^[41] proporciona un medio para calcular la fuerza de tracción entre dos esferas rígidas con superficies perfectamente lisas. El modelo hertziano de contacto no considera posible la adhesión. Sin embargo, a finales de la década de 1960, se observaron varias contradicciones cuando se comparó la teoría de Hertz con experimentos que implicaban el contacto entre esferas de caucho y vidrio.

Se observó ^[5] que, aunque la teoría de Hertz se aplicaba a cargas grandes, a cargas bajas

• el área de contacto era mayor que la predicha por la teoría de Hertz,
• el área de contacto tenía un valor distinto de cero incluso cuando se quitó la carga, y
• incluso se obtuvo una fuerte adherencia si las superficies de contacto estaban limpias y secas.

Esto indicó que estaban actuando fuerzas adhesivas. El modelo de Johnson-Kendall-Roberts (JKR) y el de Derjaguin-Muller-Toporov (DMT) fueron los primeros en incorporar la adhesión al contacto hertziano.

Modelo Bradley de contacto rígido.

Comúnmente se supone que la fuerza superficial entre dos planos atómicos a una distancia entre sí puede derivarse del potencial de Lennard-Jones . Con esta suposición ${\displaystyle z}$

${\displaystyle F(z)={\cfrac {16\gamma }{3z_{0}}}\left[\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-9}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-3}\right]}$

donde es la fuerza (positiva en compresión), es la energía superficial total de ambas superficies por unidad de área y es la separación en equilibrio de los dos planos atómicos. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2\gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$

El modelo de Bradley aplicó el potencial de Lennard-Jones para encontrar la fuerza de adhesión entre dos esferas rígidas. Se encuentra que la fuerza total entre las esferas es

${\displaystyle F_{a}(z)={\cfrac {16\gamma \pi R}{3}}\left[{\cfrac {1}{4}}\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-8}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-2}\right]~;~~{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

¿Dónde están los radios de las dos esferas? ${\displaystyle R_{1},R_{2}}$

Las dos esferas se separan completamente cuando se logra la fuerza de extracción, momento en el cual ${\displaystyle z=z_{0}}$

${\displaystyle F_{a}=F_{c}=-4\gamma \pi R.}$

Modelo de contacto elástico de Johnson-Kendall-Roberts (JKR)

Esquema del área de contacto para el modelo JKR.

Ensayo JKR con cordón rígido sobre material plano deformable: ciclo completo

Para incorporar el efecto de la adhesión en el contacto hertziano, Johnson, Kendall y Roberts ^[5] formularon la teoría JKR del contacto adhesivo utilizando un equilibrio entre la energía elástica almacenada y la pérdida de energía superficial . El modelo JKR considera el efecto de la presión de contacto y la adhesión sólo dentro del área de contacto. La solución general para la distribución de presión en el área de contacto en el modelo JKR es

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}+p_{0}'\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

Tenga en cuenta que en la teoría original de Hertz, el término que contiene se omitió debido a que la tensión no podía mantenerse en la zona de contacto. Para el contacto entre dos esferas ${\displaystyle p_{0}'}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {2aE^{*}}{\pi R}};\quad p_{0}'=-\left({\frac {4\gamma E^{*}}{\pi a}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

donde es el radio del área de contacto, es la fuerza aplicada, es la energía superficial total de ambas superficies por unidad de área de contacto, son los radios, los módulos de Young y las relaciones de Poisson de las dos esferas, y ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2\gamma }$ ${\displaystyle R_{i},\,E_{i},\,\nu _{i},~~i=1,2}$

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}};\quad {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

La distancia de aproximación entre las dos esferas está dada por

${\displaystyle d={\frac {\pi a}{2E^{*}}}\left(p_{0}+2p_{0}'\right)={\frac {a^{2}}{R}}}$

La ecuación de Hertz para el área de contacto entre dos esferas, modificada para tener en cuenta la energía superficial, tiene la forma

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+6\gamma \pi R+{\sqrt {12\gamma \pi RF+(6\gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

Cuando la energía superficial es cero, se recupera la ecuación de Hertz para el contacto entre dos esferas. Cuando la carga aplicada es cero, el radio de contacto es ${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{E^{*}}}}$

Se predice que la carga de tracción a la que se separan las esferas (es decir, ) será ${\displaystyle a=0}$

${\displaystyle F_{\text{c}}=-3\gamma \pi R\,}$

Esta fuerza también se llama fuerza de tracción . Tenga en cuenta que esta fuerza es independiente de los módulos de las dos esferas. Sin embargo, existe otra posible solución para el valor de con esta carga. Esta es el área de contacto crítica , dada por ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{\text{c}}}$

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{4E^{*}}}}$

Si definimos el trabajo de adhesión como

${\displaystyle \Delta \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}-\gamma _{12}}$

donde están las energías adhesivas de las dos superficies y es un término de interacción, podemos escribir el radio de contacto JKR como ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{12}}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+3\Delta \gamma \pi R+{\sqrt {6\Delta \gamma \pi RF+(3\Delta \gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

La carga de tracción en la separación es

${\displaystyle F=-{\frac {3}{2}}\Delta \gamma \pi R\,}$

y el radio de contacto crítico está dado por

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\Delta \gamma \pi }{8E^{*}}}}$

La profundidad crítica de penetración es

${\displaystyle d_{\text{c}}={\frac {a_{c}^{2}}{R}}=\left(R^{\frac {1}{2}}{\frac {9\Delta \gamma \pi }{4E^{*}}}\right)^{\frac {2}{3}}}$

Modelo de contacto elástico de Derjaguin-Muller-Toporov (DMT)

El modelo de Derjaguin-Muller-Toporov (DMT) ^{[7] [42]} es un modelo alternativo para el contacto adhesivo que supone que el perfil de contacto sigue siendo el mismo que en el contacto hertziano pero con interacciones atractivas adicionales fuera del área de contacto.

El radio de contacto entre dos esferas de la teoría DMT es

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+4\gamma \pi R\right)}$

y la fuerza de tracción es

${\displaystyle F_{c}=-4\gamma \pi R\,}$

Cuando se logra la fuerza de tracción, el área de contacto se vuelve cero y no hay singularidad en las tensiones de contacto en el borde del área de contacto.

En cuanto al trabajo de adhesión. ${\displaystyle \Delta \gamma }$

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+2\Delta \gamma \pi R\right)}$

y

${\displaystyle F_{c}=-2\Delta \gamma \pi R\,}$

parámetro tabor

En 1977, Tabor ^[43] demostró que la aparente contradicción entre las teorías JKR y DMT podía resolverse observando que las dos teorías eran los límites extremos de una única teoría parametrizada por el parámetro Tabor ( ) definido como ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu :={\frac {d_{c}}{z_{0}}}\approx \left[{\frac {R(\Delta \gamma )^{2}}{{E^{*}}^{2}z_{0}^{3}}}\right]^{\frac {1}{3}}}$

donde es la separación de equilibrio entre las dos superficies en contacto. La teoría JKR se aplica a esferas grandes y flexibles para las cuales es grande. La teoría DMT se aplica a esferas pequeñas y rígidas con valores pequeños de . ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Posteriormente, Derjaguin y sus colaboradores ^[44], al aplicar la ley de fuerza superficial de Bradley a un semiespacio elástico, confirmaron que a medida que aumenta el parámetro Tabor, la fuerza de extracción cae del valor de Bradley al valor JKR . Posteriormente, Greenwood ^[45] realizó cálculos más detallados que revelaron la curva de carga/aproximación en forma de S que explica el efecto de salto. Feng ^[46] proporcionó un método más eficiente para realizar los cálculos y resultados adicionales. ${\displaystyle 2\pi R\Delta \gamma }$ ${\displaystyle (3/2)\pi R\Delta \gamma }$

Modelo de contacto elástico de Maugis-Dugdale

Esquema del área de contacto para el modelo Maugis-Dugdale.

^{Maugis [9]} proporcionó una mejora adicional a la idea de Tabor, quien representó la fuerza superficial en términos de una aproximación de la zona cohesiva de Dugdale, de modo que el trabajo de adhesión está dado por

${\displaystyle \Delta \gamma =\sigma _{0}~h_{0}}$

donde es la fuerza máxima predicha por el potencial de Lennard-Jones y es la separación máxima obtenida al hacer coincidir las áreas bajo las curvas de Dugdale y Lennard-Jones (ver figura adyacente). Esto significa que la fuerza de atracción es constante durante . No hay mayor penetración en compresión. El contacto perfecto ocurre en un área de radio y las fuerzas adhesivas de magnitud se extienden a un área de radio . En la región , las dos superficies están separadas por una distancia con y . La relación se define como ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+h_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle c>a}$ ${\displaystyle a<r<c}$ ${\displaystyle h(r)}$ ${\displaystyle h(a)=0}$ ${\displaystyle h(c)=h_{0}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m:={\frac {c}{a}}}$.

En la teoría de Maugis-Dugdale, ^[47] la distribución de la tracción superficial se divide en dos partes: una debido a la presión de contacto de Hertz y la otra a la tensión adhesiva de Dugdale. Se supone que en la región habrá contacto con Hertz . La contribución de la presión de Hertz a la tracción superficial viene dada por ${\displaystyle -a<r<a}$

${\displaystyle p^{H}(r)=\left({\frac {3F^{H}}{2\pi a^{2}}}\right)\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

donde la fuerza de contacto en Hertz está dada por ${\displaystyle F^{H}}$

${\displaystyle F^{H}={\frac {4E^{*}a^{3}}{3R}}}$

La penetración debida a la compresión elástica es

${\displaystyle d^{H}={\frac {a^{2}}{R}}}$

El desplazamiento vertical en es ${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle u^{H}(c)={\cfrac {1}{\pi R}}\left[a^{2}\left(2-m^{2}\right)\sin ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+a^{2}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

y la separación entre las dos superficies en es ${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle h^{H}(c)={\frac {c^{2}}{2R}}-d^{H}+u^{H}(c)}$

La distribución de la tracción superficial debida a la tensión adhesiva de Dugdale es

${\displaystyle p^{D}(r)={\begin{cases}-{\frac {\sigma _{0}}{\pi }}\cos ^{-1}\left[{\frac {2-m^{2}-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}{m^{2}\left(1-{\frac {r^{2}}{m^{2}a^{2}}}\right)}}\right]&\quad {\text{for}}\quad r\leq a\\-\sigma _{0}&\quad {\text{for}}\quad a\leq r\leq c\end{cases}}}$

La fuerza adhesiva total viene dada entonces por

${\displaystyle F^{D}=-2\sigma _{0}m^{2}a^{2}\left[\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+{\frac {1}{m^{2}}}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

La compresión debida a la adhesión de Dugdale es

${\displaystyle d^{D}=-\left({\frac {2\sigma _{0}a}{E^{*}}}\right){\sqrt {m^{2}-1}}}$

y la brecha en es ${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle h^{D}(c)=\left({\frac {4\sigma _{0}a}{\pi E^{*}}}\right)\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+1-m\right]}$

La tracción neta sobre el área de contacto está dada por y la fuerza de contacto neta es . Cuando la tracción del adhesivo cae a cero. ${\displaystyle p(r)=p^{H}(r)+p^{D}(r)}$ ${\displaystyle F=F^{H}+F^{D}}$ ${\displaystyle h(c)=h^{H}(c)+h^{D}(c)=h_{0}}$

En esta etapa se introducen valores no dimensionales de que se desafían como ${\displaystyle a,c,F,d}$

${\displaystyle {\bar {a}}=\alpha a~;~~{\bar {c}}:=\alpha c~;~~{\bar {d}}:=\alpha ^{2}Rd~;~~\alpha :=\left({\frac {4E^{*}}{3\pi \Delta \gamma R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}~;~~{\bar {A}}:=\pi c^{2}~;~~{\bar {F}}={\frac {F}{\pi \Delta \gamma R}}}$

Además, Maugis propuso un parámetro equivalente al parámetro Tabor . Este parámetro se define como ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \lambda :=\sigma _{0}\left({\frac {9R}{2\pi \Delta \gamma {E^{*}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.16\mu }$

donde la tensión cohesiva del paso es igual a la tensión teórica del potencial de Lennard-Jones ${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{th}}={\frac {16\Delta \gamma }{9{\sqrt {3}}z_{0}}}}$

Zheng y Yu ^[48] sugirieron otro valor para el estrés cohesivo del paso.

${\displaystyle \sigma _{0}=\exp \left(-{\frac {223}{420}}\right)\cdot {\frac {\Delta \gamma }{z_{0}}}\approx 0.588{\frac {\Delta \gamma }{z_{0}}}}$

para igualar el potencial de Lennard-Jones, lo que conduce a

${\displaystyle \lambda \approx 0.663\mu }$

Entonces la fuerza neta de contacto se puede expresar como

${\displaystyle {\bar {F}}={\bar {a}}^{3}-\lambda {\bar {a}}^{2}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}+m^{2}\sec ^{-1}m\right]}$

y la compresión elástica como

${\displaystyle {\bar {d}}={\bar {a}}^{2}-{\frac {4}{3}}~\lambda {\bar {a}}{\sqrt {m^{2}-1}}}$

La ecuación para la brecha de cohesión entre los dos cuerpos toma la forma

${\displaystyle {\frac {\lambda {\bar {a}}^{2}}{2}}\left[\left(m^{2}-2\right)\sec ^{-1}m+{\sqrt {m^{2}-1}}\right]+{\frac {4\lambda {\bar {a}}}{3}}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\sec ^{-1}m-m+1\right]=1}$

Esta ecuación se puede resolver para obtener valores de para varios valores de y . Para valores grandes de , se obtiene el modelo JKR. Para valores pequeños del modelo DMT se recupera. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m\rightarrow 1}$ ${\displaystyle \lambda }$

Modelo Carpick-Ogletree-Salmerón (COS)

El modelo de Maugis-Dugdale sólo puede resolverse de forma iterativa si no se conoce a priori el valor de. La solución aproximada de Carpick-Ogletree-Salmeron ^[49] simplifica el proceso utilizando la siguiente relación para determinar el radio de contacto : ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=a_{0}(\beta )\left({\frac {\beta +{\sqrt {1-F/F_{c}(\beta )}}}{1+\beta }}\right)^{\frac {2}{3}}}$

donde es el área de contacto con carga cero y es un parámetro de transición que está relacionado con ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda \approx -0.924\ln(1-1.02\beta )}$

El caso corresponde exactamente a la teoría JKR mientras que corresponde a la teoría DMT. Para casos intermedios, el modelo COS se corresponde estrechamente con la solución de Maugis-Dugdale para . ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle 0<\beta <1}$ ${\displaystyle 0.1<\lambda <5}$

Influencia de la forma de contacto.

Incluso en presencia de superficies perfectamente lisas, la geometría puede entrar en juego en forma de forma macroscópica de la zona de contacto. Cuando un punzón rígido con una cara plana pero de forma extraña se separa con cuidado de su contraparte blanda, su desprendimiento no ocurre instantáneamente sino que los frentes de desprendimiento comienzan en las esquinas puntiagudas y viajan hacia adentro, hasta que se alcanza la configuración final que para formas macroscópicamente isotrópicas es casi circular. El principal parámetro que determina la fuerza adhesiva de los contactos planos es el tamaño lineal máximo del contacto. ^[50] El proceso de desprendimiento se puede observar experimentalmente en la película. ^[51]

Ver también

• Adhesivo  : material no metálico utilizado para unir varios materiales.
• Unión adhesiva  : técnica de unión utilizada en fabricación y reparación.
• Ferrocarril de adhesión  : ferrocarril que depende de la adhesión para mover trenes.
• Fuerzas de la superficie adhesiva  – Propiedad molecular
• Capacidad de carga  : capacidad del suelo para soportar cargas.
• Colisión  : caso en el que dos o más cuerpos entran en contacto físico entre sí en un corto período de tiempo.
• Dinámica de contacto  : movimiento de sistemas multicuerpo.
• Resistencia de contacto  : resistencia eléctrica atribuida a las interfaces de contacto (ECR)
• Adhesión dispersiva  : adhesión entre materiales debido a interacciones intermoleculares.
• Generador electrostático  : dispositivo que genera carga eléctrica en un electrodo de alto voltaje.
• Cemento modificado energéticamente  : clase de cementos procesados ​​mecánicamente para transformar la reactividad.
• Mecánica de contacto por fricción  – Estudio de la deformación de cuerpos en presencia de efectos de fricción.
• Accionamiento por fricción  : transmisión de potencia mecánica por fricción entre componentes.
• Galling  : forma de desgaste causada por la adhesión entre superficies deslizantes.
• Goniómetro  – Instrumento de medición de ángulos
• Mecánica no suave  : enfoque de modelado en mecánica
• Envoltura de plástico  : película plástica delgada que se utiliza para sellar alimentos.
• Laminado (metalurgia)  – Proceso de conformado de metales
• Choque (mecánica)  : aceleración repentina y transitoria
• Problema de Signorini  – Problema de elastostática en elasticidad lineal.
• Tensión superficial  : tendencia de una superficie líquida a encogerse para reducir el área superficial.
• Tribología  : ciencia e ingeniería de superficies que interactúan en movimiento relativo.
• Contacto unilateral  : restricción mecánica que impide la penetración entre dos cuerpos.
• Humectación  : capacidad de un líquido para mantener contacto con una superficie sólida.

Referencias

Ver también: Mecánica de contacto para la yema del dedo hemielíptica blanda

1. Johnson, KL (1985). Contacta con Mecánica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-25576-9.
2. Popov, VL (2010). Mecánica de contacto y fricción: principios físicos y aplicaciones . Springer Berlín Heidelberg. pag. 362.ISBN​ 978-3-642-10803-7.
3. H. Hertz, 1881, Über die berührung fester elastischer Körper, Journal für die reine und angewandte Mathematik 92, págs.156-171. (Para la versión en inglés, consulte: Hertz, H., 1896. On the contact of elastic solids, en: Miscellaneous Papers, Chapter V, pp.146-162 . Por Hertz, H. y Lenard P., traducido por Jones, DE y Schott GA, Londres: Macmillan.
4. Hertz, HR, 1882, Über die Berührung fester elastischer Körper und Über die Härte, Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbefleisscs , Berlín: Verein zur Beförderung des Gewerbefleisses, págs. 449-463 (para la versión en inglés, consulte: Hertz, H ., 1896. Sobre el contacto de sólidos elásticos rígidos y sobre la dureza, en: Miscellaneous Papers, Chapter VI, pp.163-183 por Hertz, H. y Lenard P., traducido por Jones, DE y Schott GA, Londres: Macmillan.
5. Johnson, KL; Kendall, K.; Roberts, AD (8 de septiembre de 1971). "Energía superficial y contacto de sólidos elásticos". Actas de la Royal Society de Londres. A. Ciencias Matemáticas y Físicas . 324 (1558). La Sociedad de la Realeza: 301–313. Código Bib : 1971RSPSA.324..301J. doi : 10.1098/rspa.1971.0141 . ISSN  0080-4630. S2CID  137730057.
6. Maugis, D. (3 de febrero de 2000). Contacto, Adhesión y Ruptura de Sólidos Elásticos . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 3-540-66113-1.
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enlaces externos

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• [2]: Una rutina de MATLAB para resolver el problema de mecánica de contacto elástico lineal titulado; "Una solución LCP del problema de la mecánica del contacto elástico lineal" se proporciona en el intercambio de archivos de MATLAB Central.
• [3]: Calculadora de mecánica de contacto.
• [4]: cálculos detallados y fórmulas de la teoría JKR para dos esferas.
• [5]: Un código Matlab para el análisis de contactos de Hertz (incluye casos lineales, puntuales y elípticos).
• [6]: Modelos de adhesión JKR, MD y DMT (rutinas Matlab).