El método de Castigliano

Teoremas que describen materiales elásticos

El método de Castigliano , llamado así por Carlo Alberto Castigliano , es un método para determinar los desplazamientos de un sistema elástico lineal basado en las derivadas parciales de la energía . Es conocido por sus dos teoremas. El concepto básico puede ser fácil de entender recordando que un cambio en la energía es igual a la fuerza causante multiplicada por el desplazamiento resultante. Por lo tanto, la fuerza causante es igual al cambio en la energía dividido por el desplazamiento resultante. Alternativamente, el desplazamiento resultante es igual al cambio en la energía dividido por la fuerza causante. Se necesitan derivadas parciales para relacionar las fuerzas causantes y los desplazamientos resultantes con el cambio en la energía.

• Primer teorema de Castigliano – para fuerzas en una estructura elástica

  El método de Castigliano para calcular fuerzas es una aplicación de su primer teorema, que establece:

  Si la energía de deformación de una estructura elástica se puede expresar como una función del desplazamiento generalizado q _{i ,} entonces la derivada parcial de la energía de deformación con respecto al desplazamiento generalizado da la fuerza generalizada Q _i .

  En forma de ecuación, donde U es la energía de deformación. $${\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}}$$

  Si la curva de fuerza-desplazamiento no es lineal, entonces se debe utilizar la energía de deformación complementaria en lugar de la energía de deformación. ^[1]
• Segundo teorema de Castigliano – para desplazamientos en una estructura linealmente elástica.

  El método de Castigliano para calcular desplazamientos es una aplicación de su segundo teorema, que establece:

  Si la energía de deformación de una estructura elástica lineal se puede expresar como una función de la fuerza generalizada Q _i , entonces la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a la fuerza generalizada da el desplazamiento generalizado q _i en la dirección de Q _i .

  Como se mencionó anteriormente, esto también se puede expresar como:

  $${\displaystyle q_{i}={\frac {\partial U}{\partial Q_{i}}}.}$$

Ejemplos

Para una viga en voladizo delgada y recta con una carga P en el extremo, el desplazamiento en el extremo se puede encontrar mediante el segundo teorema de Castigliano: ${\displaystyle \delta }$

Viga en voladizo con carga puntual en el extremo libre

$${\displaystyle \delta ={\frac {\partial U}{\partial P}}}$$ $${\displaystyle \delta ={\frac {\partial }{\partial P}}\int _{0}^{L}{{\frac {M^{2}(x)}{2EI}}dx}={\frac {\partial }{\partial P}}\int _{0}^{L}{{\frac {(Px)^{2}}{2EI}}dx}}$$donde es el módulo de Young , es el segundo momento del área de la sección transversal y es la expresión para el momento interno en un punto a distancia del extremo. La integral se evalúa como: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M(x)=Px}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &=\int _{0}^{L}{{\frac {Px^{2}}{EI}}dx}\\&={\frac {PL^{3}}{3EI}}.\end{aligned}}}$$

El resultado es la fórmula estándar dada para vigas en voladizo bajo cargas en los extremos.

Los teoremas de Castigliano se aplican si la energía de deformación es finita. Esto es cierto si . ^[2] Es el orden de la energía (= la derivada más alta de la energía), , es el índice del delta de Dirac (fuerza simple, ) y es la dimensión del espacio. A las ecuaciones de segundo orden, , pertenecen dos deltas de Dirac, , fuerza y ​​, dislocación y a las ecuaciones de cuarto orden, , cuatro deltas de Dirac, fuerza, momento, flexión, dislocación. ${\displaystyle m-i>n/2}$ ${\displaystyle m=1,2}$ ${\displaystyle i=0,1,2,3}$ ${\displaystyle i=0}$ ${\displaystyle n=1,2,3}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle i=0}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle i=0}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle i=2}$ ${\displaystyle i=3}$

Ejemplo: Si una placa, , se carga con una única fuerza, , la desigualdad no es válida, , tampoco en , . Tampoco se aplica a una membrana (Laplace), , o a una placa de Reissner-Mindlin, . En general, los teoremas de Castigliano no se aplican a los problemas y . La excepción es la placa de Kirchhoff, , ya que . Pero un momento, , hace que la energía de una placa de Kirchhoff se desborde, . En los problemas, la energía de deformación es finita si . ${\displaystyle m=1,n=2}$ ${\displaystyle i=0}$ ${\displaystyle 1-0\ngtr 2/2}$ ${\displaystyle 3-D}$ ${\displaystyle m=1,n=3,1-0\ngtr 3/2}$ ${\displaystyle m=1,n=2,i=0}$ ${\displaystyle m=1,n=2,i=0}$ ${\displaystyle 2-D}$ ${\displaystyle 3-D}$ ${\displaystyle m=2,n=2,i=0}$ ${\displaystyle 2-0>2/2}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle 2-1\ngtr 2/2}$ ${\displaystyle 1-D}$ ${\displaystyle m-i>1/2}$

El teorema de Menabrea está sujeto a la misma restricción. Necesita que 2 sea válido. Es el orden de la reacción de apoyo, fuerza única , momento . Excepto para una placa de Kirchhoff y (fuerza única como reacción de apoyo), generalmente no es válido en y porque la presencia de apoyos puntuales da como resultado una energía infinitamente grande. ${\displaystyle m-i>n/}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=0}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle i=0}$ ${\displaystyle 2-D}$ ${\displaystyle 3-D}$

Enlaces externos

• Carlos Alberto Castigliano
• El método de Castigliano: algunos ejemplos (en alemán)

Referencias

1. Historia de la resistencia de los materiales, Stephen P. Timoshenko, 1993, Dover Publications, Nueva York
2. Estática y funciones de influencia desde una perspectiva moderna, Hartmann, Jahn, Capítulo 1.35 Teorema de incrustación de Sobolev, 2.ª ed. 2021, Springer, pág. 71