En geometría proyectiva , la dualidad o dualidad plana es una formalización de la sorprendente simetría de los papeles desempeñados por puntos y líneas en las definiciones y teoremas de los planos proyectivos . Hay dos enfoques sobre el tema de la dualidad, uno a través del lenguaje (§ Principio de dualidad) y el otro, un enfoque más funcional a través de mapeos especiales . Estos son completamente equivalentes y cualquiera de los tratamientos tiene como punto de partida la versión axiomática de las geometrías bajo consideración. En el enfoque funcional existe un mapa entre geometrías relacionadas que se llama dualidad . Un mapa así puede construirse de muchas maneras. El concepto de dualidad plana se extiende fácilmente a la dualidad espacial y más allá a la dualidad en cualquier geometría proyectiva de dimensión finita.
Un plano proyectivo C puede definirse axiomáticamente como una estructura de incidencia , en términos de un conjunto P de puntos , un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que determina qué puntos se encuentran en qué líneas. Estos conjuntos se pueden utilizar para definir una estructura dual plana .
Intercambiar el papel de "puntos" y "líneas" en
para obtener la estructura dual
donde I ∗ es la relación inversa de I . C ∗ también es un plano proyectivo, llamado plano dual de C.
Si C y C ∗ son isomorfos, entonces C se llama autodual . Los planos proyectivos PG(2, K ) para cualquier campo (o, más generalmente, para cada anillo de división (campo sesgado) isomorfo a su dual) K son autoduales. En particular, los planos desarguesianos de orden finito son siempre autoduales. Sin embargo, hay planos no desarguesianos que no son autoduales, como los planos Hall y algunos que sí lo son, como los planos Hughes .
En un plano proyectivo, un enunciado que involucra puntos, líneas e incidencia entre ellos y que se obtiene de otro enunciado intercambiando las palabras "punto" y "línea" y haciendo los ajustes gramaticales que sean necesarios, se denomina enunciado dual plano del primero. . La afirmación dual plana de "Dos puntos están en una recta única" es "Dos rectas se encuentran en un punto único". Formar el plano dual de un enunciado se conoce como dualizar el enunciado.
Si un enunciado es verdadero en un plano proyectivo C , entonces el plano dual de ese enunciado debe ser verdadero en el plano dual C ∗ . Esto se deduce ya que la dualización de cada enunciado en la prueba "en C " da un enunciado correspondiente de la prueba "en C ∗ ".
El principio de dualidad de planos dice que dualizar cualquier teorema en un plano proyectivo autodual C produce otro teorema válido en C. [1]
Los conceptos anteriores se pueden generalizar para hablar de dualidad espacial, donde los términos "puntos" y "planos" se intercambian (y las líneas siguen siendo líneas). Esto conduce al principio de dualidad espacial . [1]
Estos principios proporcionan una buena razón para preferir utilizar un término "simétrico" para la relación de incidencia. Así, en lugar de decir "un punto está sobre una línea", se debería decir "un punto incide con una línea", ya que dualizar esta última sólo implica intercambiar punto y línea ("una línea incide con un punto"). [2]
La validez del principio de dualidad de planos se deriva de la definición axiomática de plano proyectivo. Los tres axiomas de esta definición se pueden escribir de manera que sean enunciados autoduales que implican que el dual de un plano proyectivo también es un plano proyectivo. El dual de un enunciado verdadero en un plano proyectivo es, por tanto, un enunciado verdadero en el plano proyectivo dual y la implicación es que para los planos autoduales, el dual de un enunciado verdadero en ese plano también es un enunciado verdadero en ese plano. [3]
Como el plano proyectivo real , PG(2, R ) , es autodual, hay varios pares de resultados bien conocidos que son duales entre sí. Algunos de estos son:
No sólo se pueden dualizar enunciados, sino también sistemas de puntos y líneas.
Un conjunto de m puntos yn líneas se denomina configuración ( m c , n d ) si c de las n líneas pasan por cada punto y d de los m puntos se encuentran en cada línea. El dual de una configuración ( m c , n d ) es una configuración ( n d , m c ) . Así, el dual de un cuadrilátero, una configuración (4 3 , 6 2 ) de cuatro puntos y seis rectas, es un cuadrilátero, una configuración (6 2 , 4 3 ) de seis puntos y cuatro rectas. [4]
El conjunto de todos los puntos de una recta, llamado rango proyectivo, tiene como dual un lápiz de rectas , el conjunto de todas las rectas de un punto.
Una dualidad plana es un mapa de un plano proyectivo C = ( P , L , I) a su plano dual C ∗ = ( L , P , I ∗ ) (ver § Principio de dualidad arriba) que preserva la incidencia . Es decir, una dualidad plana σ asignará puntos a líneas y líneas a puntos ( P σ = L y L σ = P ) de tal manera que si un punto Q está en una línea m (denotada por Q I m ), entonces Q Yo metro ⇔ metro σ Yo ∗ Q σ . Una dualidad plana que es un isomorfismo se llama correlación . [5] La existencia de una correlación significa que el plano proyectivo C es autodual .
El plano proyectivo C en esta definición no tiene por qué ser un plano desarguesiano . Sin embargo, si es, es decir, C = PG(2, K ) con K un anillo de división (campo sesgado), entonces una dualidad, como se define a continuación para espacios proyectivos generales , da una dualidad plana en C que satisface la definición anterior.
Una dualidad δ de un espacio proyectivo es una permutación de los subespacios de PG( n , K ) (también denotado por K P n ) con K un campo (o más generalmente un campo sesgado ( anillo de división )) que invierte la inclusión, [6] eso es:
En consecuencia, una dualidad intercambia objetos de dimensión r con objetos de dimensión n − 1 − r ( = codimensión r + 1 ). Es decir, en un espacio proyectivo de dimensión n , los puntos (dimensión 0) corresponden a hiperplanos (codimensión 1), las líneas que unen dos puntos (dimensión 1) corresponden a la intersección de dos hiperplanos (codimensión 2), y así sucesivamente.
El dual V ∗ de un espacio vectorial (derecho) de dimensión finita V sobre un campo sesgado K puede considerarse como un espacio vectorial (derecho) de la misma dimensión sobre el campo sesgado opuesto K o . Por lo tanto , existe una biyección de inversión de inclusión entre los espacios proyectivos PG( n , K ) y PG( n , Ko ) . Si K y K o son isomorfos, entonces existe una dualidad en PG( n , K ) . Por el contrario, si PG( n , K ) admite una dualidad para n > 1 , entonces K y K o son isomorfos.
Sea π una dualidad de PG( n , K ) para n > 1 . Si π se compone con el isomorfismo natural entre PG( n , K ) y PG( n , K o ) , la composición θ es una incidencia que preserva la biyección entre PG( n , K ) y PG( n , K o ) . Según el teorema fundamental de la geometría proyectiva, θ es inducido por un mapa semilineal T : V → V ∗ con isomorfismo asociado σ : K → K o , que puede verse como un antiautomorfismo de K. En la literatura clásica, π se llamaría reciprocidad en general, y si σ = id se llamaría correlación (y K sería necesariamente un campo ). Algunos autores suprimen el papel del isomorfismo natural y llaman a θ una dualidad. [8] Cuando se hace esto, se puede pensar en una dualidad como una colineación entre un par de espacios proyectivos especialmente relacionados y se le llama reciprocidad. Si esta colineación es una proyectividad , entonces se llama correlación.
Sea T w = T ( w ) el funcional lineal de V ∗ asociado con el vector w en V . Defina la forma φ : V × V → K por:
φ es una forma sesquilineal no degenerada con antiautomorfismo acompañante σ .
Cualquier dualidad de PG( n , K ) para n > 1 es inducida por una forma sesquilineal no degenerada en el espacio vectorial subyacente (con un antiautomorfismo acompañante) y viceversa.
Se pueden utilizar coordenadas homogéneas para dar una descripción algebraica de dualidades. Para simplificar esta discusión supondremos que K es un campo , pero todo se puede hacer de la misma manera cuando K es un campo sesgado siempre que se preste atención al hecho de que la multiplicación no tiene por qué ser una operación conmutativa .
Los puntos de PG ( n , K ) pueden considerarse vectores distintos de cero en el espacio vectorial ( n + 1 ) dimensional sobre K , donde identificamos dos vectores que difieren en un factor escalar. Otra forma de decirlo es que los puntos del espacio proyectivo de n dimensiones son los subespacios vectoriales unidimensionales , que pueden visualizarse como las líneas que pasan por el origen en K n +1 . [9] Además, los subespacios n - (vectoriales) dimensionales de K n +1 representan los hiperplanos dimensionales ( n − 1 ) - (geométricos) del espacio n proyectivo sobre K , es decir, PG( n , K ) .
Un vector distinto de cero u = ( u 0 , u 1 , ..., u n ) en K n +1 también determina un ( n − 1 ) - subespacio dimensional geométrico (hiperplano) H u , por
Cuando se usa un vector u para definir un hiperplano de esta manera se denotará por u H , mientras que si está designando un punto usaremos u P . Se denominan coordenadas de puntos o coordenadas de hiperplano, respectivamente (en el caso bidimensional importante, las coordenadas de hiperplano se denominan coordenadas de línea ). Algunos autores distinguen cómo se debe interpretar un vector escribiendo las coordenadas del hiperplano como vectores horizontales (filas), mientras que las coordenadas puntuales se escriben como vectores verticales (columnas). Por tanto, si u es un vector columna tendríamos u P = u mientras que u H = u T . En términos del producto escalar habitual , H u = { x P : u H ⋅ x P = 0} . Dado que K es un campo, el producto escalar es simétrico, lo que significa que u H ⋅ x P = u 0 x 0 + u 1 x 1 + ... + u n x n = x 0 u 0 + x 1 u 1 + .. . + x norte tu norte = x H ⋅ tu pag .
Una reciprocidad simple (en realidad una correlación) puede estar dada por u P ↔ u H entre puntos e hiperplanos. Esto se extiende a una reciprocidad entre la línea generada por dos puntos y la intersección de dos de esos hiperplanos, y así sucesivamente.
En concreto, en el plano proyectivo , PG(2, K ) , con K un campo, tenemos la correlación dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a , b , c ) ↔ rectas con ecuaciones ax + by + cz = 0 . En un espacio proyectivo, PG(3, K ) , una correlación viene dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a , b , c , d ) ↔ planos con ecuaciones ax + by + cz + dw = 0 . Esta correlación también mapearía una línea determinada por dos puntos ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) y ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) a la línea que es la intersección de los dos planos con ecuaciones a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 w = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 w = 0 .
La forma sesquilineal asociada a esta correlación es:
donde el antiautomorfismo acompañante σ = id . Por tanto, se trata de una forma bilineal (tenga en cuenta que K debe ser un campo). Esto se puede escribir en forma matricial (con respecto a la base estándar) como:
donde G es la matriz identidad ( n + 1) × ( n + 1) , usando la convención de que u H es un vector fila y x P es un vector columna.
La correlación viene dada por:
Esta correlación en el caso de PG(2, R ) se puede describir geométricamente utilizando el modelo del plano proyectivo real que es una "esfera unitaria con antípodas [10] identificadas", o equivalentemente, el modelo de líneas y planos que pasan por el origen. del espacio vectorial R 3 . Asociar a cualquier recta que pasa por el origen el único plano que pasa por el origen que es perpendicular (ortogonal) a la recta. Cuando en el modelo estas líneas se consideran puntos y los planos líneas del plano proyectivo PG(2, R ) , esta asociación se convierte en una correlación (en realidad una polaridad) del plano proyectivo. El modelo de esfera se obtiene intersectando las líneas y planos que pasan por el origen con una esfera unitaria centrada en el origen. Las líneas se encuentran con la esfera en puntos antípodas que luego deben identificarse para obtener un punto del plano proyectivo, y los planos se encuentran con la esfera en círculos máximos que son, por tanto, las líneas del plano proyectivo.
Que esta asociación "preserva" la incidencia se ve más fácilmente en el modelo de líneas y planos. Un punto incidente con una línea en el plano proyectivo corresponde a una línea que pasa por el origen que se encuentra en un plano que pasa por el origen en el modelo. Al aplicar la asociación, el plano se convierte en una línea que pasa por el origen perpendicular al plano al que está asociado. Esta línea imagen es perpendicular a cada línea del plano que pasa por el origen, en particular a la línea original (punto del plano proyectivo). Todas las líneas que son perpendiculares a la línea original en el origen se encuentran en el plano único que es ortogonal a la línea original, es decir, el plano de la imagen bajo la asociación. Por tanto, la línea de la imagen se encuentra en el plano de la imagen y la asociación preserva la incidencia.
Como en el ejemplo anterior, se pueden utilizar matrices para representar dualidades. Sea π una dualidad de PG( n , K ) para n > 1 y sea φ la forma sesquilineal asociada (con antiautomorfismo acompañante σ ) en el espacio vectorial V subyacente ( n + 1 )-dimensional . Dada una base { e i } de V , podemos representar esta forma mediante:
donde G es una matriz no singular ( n + 1) × ( n + 1 ) sobre K y los vectores se escriben como vectores de columna. La notación x σ significa que el antiautomorfismo σ se aplica a cada coordenada del vector x .
Ahora defina la dualidad en términos de coordenadas de puntos mediante:
Una dualidad que es una involución (tiene orden dos) se llama polaridad . Es necesario distinguir entre polaridades de espacios proyectivos generales y aquellas que surgen de la definición ligeramente más general de dualidad plana. También es posible dar afirmaciones más precisas en el caso de una geometría finita , por lo que enfatizaremos los resultados en planos proyectivos finitos.
Si π es una dualidad de PG( n , K ) , con K un campo sesgado, entonces se define una notación común por π ( S ) = S ⊥ para un subespacio S de PG( n , K ) . Por tanto, una polaridad es una dualidad para la cual S ⊥⊥ = S para cada subespacio S de PG( n , K ) . También es común omitir la mención del espacio dual y escribir, en términos de la forma sesquilineal asociada:
Una forma sesquilineal φ es reflexiva si φ ( u , x ) = 0 implica φ ( x , u ) = 0 .
Una dualidad es una polaridad si y sólo si la forma sesquilineal (no degenerada) que la define es reflexiva. [11]
Se han clasificado las polaridades, resultado de Birkhoff & von Neumann (1936) que ha sido refutado varias veces. [11] [12] [13] Sea V un espacio vectorial (izquierdo) sobre el campo sesgado K y φ sea una forma sesquilineal reflexiva no degenerada en V con un antiautomorfismo acompañante σ . Si φ es la forma sesquilineal asociada con una polaridad, entonces:
Un punto P de PG( n , K ) es un punto absoluto (punto autoconjugado) con respecto a la polaridad ⊥ si P I P ⊥ . De manera similar, un hiperplano H es un hiperplano absoluto (hiperplano autoconjugado) si H ⊥ I H . Expresado en otros términos, un punto x es un punto absoluto de polaridad π con forma sesquilineal asociada φ si φ ( x , x ) = 0 y si φ se escribe en términos de la matriz G , x T G x σ = 0 .
Se puede describir el conjunto de puntos absolutos de cada tipo de polaridad. Nuevamente restringimos la discusión al caso de que K sea un campo. [15]
Cuando se compone consigo misma, la correlación φ ( x P ) = x H (en cualquier dimensión) produce la función identidad , por lo que es una polaridad. El conjunto de puntos absolutos de esta polaridad serían los puntos cuyas coordenadas homogéneas satisfacen la ecuación:
Los puntos que están en este conjunto de puntos dependen del campo K. Si K = R entonces el conjunto está vacío, no hay puntos absolutos (ni hiperplanos absolutos). Por otro lado, si K = C el conjunto de puntos absolutos forman una cuádrica no degenerada (una cónica en un espacio bidimensional). Si K es un campo finito de característica impar , los puntos absolutos también forman una cuádrica, pero si la característica es par, los puntos absolutos forman un hiperplano (este es un ejemplo de pseudopolaridad).
Bajo cualquier dualidad, el punto P se llama polo del hiperplano P ⊥ , y este hiperplano se llama polar del punto P. Usando esta terminología, los puntos absolutos de una polaridad son los puntos que inciden con sus polares y los hiperplanos absolutos son los hiperplanos que inciden con sus polos.
Según el teorema de Wedderburn, todo campo sesgado finito es un campo y un automorfismo de orden dos (distinto de la identidad) sólo puede existir en un campo finito cuyo orden sea un cuadrado. Estos hechos ayudan a simplificar la situación general de los planos desarguesianos finitos . Tenemos: [16]
Si π es una polaridad del plano proyectivo desarguesiano finito PG(2, q ) donde q = p e para algún primo p , entonces el número de puntos absolutos de π es q + 1 si π es ortogonal o q 3/2 + 1 si π es unitario. En el caso ortogonal, los puntos absolutos se encuentran en una cónica si p es impar o forman una línea si p = 2 . El caso unitario sólo puede ocurrir si q es un cuadrado; los puntos absolutos y las rectas absolutas forman un unital .
En el caso del plano proyectivo general donde dualidad significa dualidad plana , las definiciones de polaridad, elementos absolutos, polo y polar siguen siendo las mismas.
Sea P un plano proyectivo de orden n . Los argumentos de conteo pueden establecer que para una polaridad π de P : [16]
El número de puntos (líneas) no absolutas que inciden con una línea (punto) no absoluta es par.
Además, [17]
La polaridad π tiene al menos n + 1 puntos absolutos y si n no es un cuadrado, exactamente n + 1 puntos absolutos. Si π tiene exactamente n + 1 puntos absolutos entonces;
Seib [18] dio un límite superior para el número de puntos absolutos en el caso de que n sea un cuadrado y un argumento puramente combinatorio puede establecer: [19]
Una polaridad π en un plano proyectivo de orden cuadrado n = s 2 tiene como máximo s 3 + 1 puntos absolutos. Además, si el número de puntos absolutos es s 3 + 1 , entonces los puntos absolutos y las líneas absolutas forman un unital (es decir, cada línea del plano corta este conjunto de puntos absolutos en 1 o s + 1 puntos). [20]
Un método que puede utilizarse para construir una polaridad del plano proyectivo real tiene, como punto de partida, una construcción de una dualidad parcial en el plano euclidiano .
En el plano euclidiano, fije un círculo C con centro O y radio r . Para cada punto P distinto de O, defina un punto imagen Q de modo que OP ⋅ OQ = r 2 . La aplicación definida por P → Q se llama inversión con respecto al círculo C. La recta p que pasa por Q que es perpendicular a la recta OP se llama polar [21] del punto P con respecto al círculo C.
Sea q una recta que no pasa por O. Coloque una perpendicular de O a q , encontrando q en el punto P (este es el punto de q más cercano a O ). La imagen Q de P bajo inversión con respecto a C se llama polo [21] de q . Si un punto M está en una línea q (que no pasa por O ), entonces el polo de q se encuentra en la polar de M y viceversa. El proceso de conservación de la incidencia, en el que puntos y líneas se transforman en sus polares y polos con respecto a C se llama reciprocidad . [22]
Para convertir este proceso en una correlación, el plano euclidiano (que no es un plano proyectivo) debe expandirse al plano euclidiano extendido agregando una línea en el infinito y puntos en el infinito que se encuentran en esta línea. En este plano expandido, definimos la polar del punto O como la línea en el infinito (y O es el polo de la línea en el infinito), y los polos de las líneas que pasan por O son los puntos del infinito donde, si una línea tiene pendiente s (≠ 0) su polo es el punto infinito asociado a la clase de rectas paralelas con pendiente −1/ s . El polo del eje x es el punto de infinidad de las líneas verticales y el polo del eje y es el punto de infinidad de las líneas horizontales.
La construcción de una correlación basada en la inversión en un círculo dada anteriormente se puede generalizar utilizando la inversión en una sección cónica (en el plano real extendido). Las correlaciones construidas de esta manera son de orden dos, es decir, polaridades.
Describiremos esta polaridad algebraicamente siguiendo la construcción anterior en el caso de que C sea el círculo unitario (es decir, r = 1 ) centrado en el origen.
Un punto afín P , distinto del origen, con coordenadas cartesianas ( a , b ) tiene como inverso en la circunferencia unitaria el punto Q con coordenadas,
La recta que pasa por Q y que es perpendicular a la recta OP tiene ecuación ax + by = 1 .
Al cambiar a coordenadas homogéneas usando la incrustación ( a , b ) ↦ ( a , b , 1) , la extensión al plano proyectivo real se obtiene permitiendo que la última coordenada sea 0. Recordando que las coordenadas de los puntos se escriben como vectores de columna y líneas coordenadas como vectores fila, podemos expresar esta polaridad mediante:
tal que
O, usando la notación alternativa, π (( x , y , z ) P ) = ( x , y , − z ) L . La matriz de la forma sesquilineal asociada (con respecto a la base estándar) es:
Los puntos absolutos de esta polaridad vienen dados por las soluciones de:
donde PT = ( x , y , z ) . Tenga en cuenta que restringido al plano euclidiano (es decir, establecido z = 1 ), este es solo el círculo unitario, el círculo de inversión.
La teoría de los polos y polares de una cónica en un plano proyectivo se puede desarrollar sin el uso de coordenadas y otros conceptos métricos.
Sea C una cónica en PG(2, F ) donde F es un campo que no tiene la característica dos, y sea P un punto de este plano que no está en C . Dos rectas secantes distintas a la cónica, digamos AB y JK , determinan cuatro puntos de la cónica ( A , B , J , K ) que forman un cuadrilátero . El punto P es un vértice del triángulo diagonal de este cuadrilátero. La polar de P con respecto a C es el lado del triángulo diagonal opuesto a P. [23]
La teoría de los conjugados armónicos proyectivos de puntos en una línea también se puede utilizar para definir esta relación. Usando la misma notación que arriba;
Si una recta variable que pasa por el punto P es secante de la cónica C , los conjugados armónicos de P con respecto a los dos puntos de C en la secante se encuentran todos en la polar de P. [24]
Hay varias propiedades que tienen las polaridades en un plano proyectivo. [25]
Dada una polaridad π , un punto P se encuentra en la recta q , la polar del punto Q si y sólo si Q se encuentra en p , la polar de P.
Los puntos P y Q que están en esta relación se llaman puntos conjugados respecto de π . Los puntos absolutos se denominan autoconjugados de acuerdo con esta definición, ya que inciden con sus propios polares. Las líneas conjugadas se definen dualmente.
La recta que une dos puntos autoconjugados no puede ser una recta autoconjugada.
Una línea no puede contener más de dos puntos autoconjugados.
Una polaridad induce una involución de puntos conjugados en cualquier recta que no sea autoconjugada.
Un triángulo en el que cada vértice es el polo del lado opuesto se llama triángulo autopolar .
Una correlación que asigna los tres vértices de un triángulo a sus lados opuestos respectivamente es una polaridad y este triángulo es autopolar con respecto a esta polaridad.
El principio de dualidad se debe a Joseph Diaz Gergonne (1771-1859), un defensor del entonces emergente campo de la geometría analítica y fundador y editor de la primera revista dedicada enteramente a las matemáticas, Annales de mathématiques pures et appliquées . Gergonne y Charles Julien Brianchon (1785-1864) desarrollaron el concepto de dualidad plana. Gergonne acuñó los términos "dualidad" y "polar" (pero "polo" se debe a F.-J. Servois ) y adoptó el estilo de escribir declaraciones duales una al lado de la otra en su diario.
Jean-Victor Poncelet (1788-1867), autor del primer texto sobre geometría proyectiva , Traité des propriétés projectives des figures , fue un geómetra sintético que desarrolló sistemáticamente la teoría de los polos y las polares con respecto a una cónica. Poncelet sostenía que el principio de dualidad era consecuencia de la teoría de los polos y las polares.
A Julius Plücker (1801-1868) se le atribuye la extensión del concepto de dualidad a espacios proyectivos tridimensionales y superiores.
Poncelet y Gergonne comenzaron como rivales serios pero amistosos que presentaban sus diferentes puntos de vista y técnicas en artículos que aparecían en Annales de Gergonne . El antagonismo creció sobre la cuestión de la prioridad al reclamar el principio de dualidad como propio. Un joven Plücker se vio atrapado en esta disputa cuando un artículo que había enviado a Gergonne estaba tan editado cuando se publicó que Poncelet fue engañado haciéndole creer que Plücker lo había plagiado. El vitriólico ataque de Poncelet fue contrarrestado por Plücker con el apoyo de Gergonne y, finalmente, la responsabilidad recayó en Gergonne. [26] De esta disputa, Pierre Samuel [27] ha bromeado que dado que ambos hombres estaban en el ejército francés y Poncelet era un general mientras que Gergonne era un simple capitán, la opinión de Poncelet prevaleció, al menos entre sus contemporáneos franceses.
Weisstein, Eric W. "Principio de dualidad". MundoMatemático .
