Anillo opuesto

Concepto matemático

En matemáticas , concretamente en álgebra abstracta , lo opuesto a un anillo es otro anillo con los mismos elementos y operación de suma, pero con la multiplicación realizada en orden inverso. Más explícitamente, lo opuesto a un anillo ( R , +, ⋅ ) es el anillo ( R , +, ∗ ) cuya multiplicación ∗ está definida por a ∗ b = b ⋅ a para todo a , b en R . ^{[1] [2]} El anillo opuesto se puede utilizar para definir multimódulos , una generalización de bimódulos . También ayudan a aclarar la relación entre los módulos izquierdo y derecho (ver § Propiedades ).

Los monoides , grupos , anillos y álgebras pueden verse como categorías con un solo objeto . La construcción de la categoría opuesta generaliza el grupo opuesto , anillo opuesto, etc.

Relación con automorfismos y antiautomorfismos

En esta sección se cambia el símbolo de multiplicación en el anillo opuesto de asterisco a diamante, para evitar confundirlo con algunas operaciones unarias.

Un anillo se llama anillo autoopuesto si es isomorfo a su anillo opuesto, ^{[3] [4] [a]} cuyo nombre indica que es esencialmente lo mismo que . ${\displaystyle R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle R}$

Todos los anillos conmutativos son autoopuestos.

Definamos el antiisomorfismo.

${\displaystyle \iota :(R,\diamond )\to (R,\cdot )}$, donde para . ^[b] ${\displaystyle \iota (a)=a}$ ${\displaystyle a\in R}$

De hecho, es un antiisomorfismo, ya que . El antiisomorfismo se puede definir generalmente para semigrupos, monoides, grupos, anillos, rngs, álgebras. En el caso de anillos (y rngs) obtenemos la equivalencia general. ${\displaystyle \iota (a\diamond b)=a\diamond b=b\cdot a=\iota (b)\cdot \iota (a)}$ ${\displaystyle \iota }$

Un anillo ^[c] es autoopuesto si y sólo si tiene al menos un antiautomorfismo.

Prueba: : Seamos autoopuestos. Si es un isomorfismo, entonces , al ser una composición de antiisomorfismo e isomorfismo, es un antiisomorfismo de sí mismo, por lo tanto, antiautomorfismo. ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle f:(R,\cdot )\to (R,\diamond )}$ ${\displaystyle \iota \circ f}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

${\displaystyle \Leftarrow }$: Si es un antiautomorfismo, entonces es un isomorfismo como una composición de dos antiisomorfismos. También lo es lo opuesto. ${\displaystyle g:(R,\cdot )\to (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (\iota ^{-1}\circ g):(R,\cdot )\to (R,\diamond )}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

y

Si es autoopuesto y el grupo de automorfismos es finito, entonces el número de antiautomorfismos es igual al número de automorfismos. ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R,\cdot )}$

Prueba: Según el supuesto y la equivalencia anterior, existen antiautomorfismos. Si elegimos uno de ellos y lo denotamos por , entonces el mapa donde se ejecuta , es claramente inyectivo pero también sobreyectivo, ya que cada antiautomorfismo por algún automorfismo . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle h\mapsto q\circ h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R,\cdot )}$ ${\displaystyle g=q\circ (q^{-1}\circ g)=q\circ h}$ ${\displaystyle h}$

Se puede demostrar de manera similar que, bajo los mismos supuestos, el número de isomorfismos de a es igual al número de antiautomorfismos de . ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (R,\diamond )}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

Si algún antiautomorfismo es también un automorfismo, entonces para cada ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a,b\in (R,\cdot )}$

${\displaystyle g(a\cdot b)=g(b)\cdot g(a)=g(b\cdot a)}$

Dado que es biyectivo, para todos y , entonces el anillo es conmutativo y todos los antiautomorfismos son automorfismos. Por contraposición, si un anillo no es conmutativo (y autoopuesto), entonces ningún antiautomorfismo es un automorfismo. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Denota por el grupo de todos los automorfismos junto con todos los antiautomorfismos. Las observaciones anteriores implican que si un anillo (o rng) es no conmutativo y autoopuesto. Si es conmutativo o no autoopuesto, entonces . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \vert G\vert =2\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert }$ ${\displaystyle \vert G\vert =\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert }$

Ejemplos

El anillo no conmutativo más pequeño con unidad.

El anillo más pequeño tiene ocho elementos y es el único anillo no conmutativo entre 11 anillos con unidad de orden 8, hasta isomorfismo. ^[5] Tiene el grupo aditivo . ^{[3] : 76} Obviamente es antiisomorfo a , como siempre es el caso, pero también es isomorfo a . A continuación se muestran las tablas de suma y multiplicación en , ^[d] y de multiplicación en el anillo opuesto, que es una tabla transpuesta. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{3}}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Para demostrar que los dos anillos son isomorfos, tome un mapa dado por la tabla ${\displaystyle f:R^{\text{op}}\to R}$

El mapa intercambia elementos en sólo dos pares: y . Cambie el nombre en consecuencia de los elementos de la tabla de multiplicar para (argumentos y valores). A continuación, reorganice las filas y columnas para que los argumentos vuelvan al orden ascendente. La tabla se convierte exactamente en la tabla de multiplicar de . Cambios similares en la tabla del grupo aditivo producen la misma tabla, por lo que es un automorfismo de este grupo y, dado que , de hecho es un isomorfismo de anillo. ${\displaystyle 3\leftrightarrow 4}$ ${\displaystyle 5\leftrightarrow 7}$ ${\displaystyle \diamond }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=1}$

El mapa es involutivo, es decir , entonces = y es un isomorfismo de a igualmente bien. ${\displaystyle f\circ f={\text{id}}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$

Entonces, la permutación puede reinterpretarse para definir isomorfismo y luego es un antiautomorfismo dado por la misma permutación . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:(R,\cdot )\rightarrow (R,\diamond )}$ ${\displaystyle q=\iota \circ f}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle q=(3,4)(5,7)}$

El anillo tiene exactamente dos automorfismos: identidad y , es decir . Entonces su grupo completo tiene cuatro elementos, dos de ellos antiautomorfismos. Uno es y el segundo, denotado por , se puede calcular. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{R}}$ ${\displaystyle p=(3,5)(4,7)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R)=\{\operatorname {id} _{R},p\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=q\circ p=(3,4)(5,7)(3,5)(4,7)=(3,7)(4,5)}$

${\displaystyle G=\{\operatorname {id} _{R},p,q,r\}=\{\operatorname {id} _{R},(3,5)(4,7),(3,4)(5,7),(3,7)(4,5)\}}$

No hay ningún elemento de orden 4, por lo que el grupo no es cíclico y debe ser el grupo (el grupo de Klein ), que se puede confirmar mediante cálculo. El "grupo de simetría" de este anillo es isomorfo al grupo de simetría del rectángulo. ${\displaystyle \mathrm {D} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {K} _{4}}$

Anillo no conmutativo con 27 elementos.

El anillo de las matrices triangulares superiores de 2 × 2 sobre el campo con 3 elementos tiene 27 elementos y es un anillo no conmutativo. Es único hasta el isomorfismo, es decir, todos los anillos no conmutativos con unidad y 27 elementos son isomorfos. ^{[5] [6]} El anillo no conmutativo más grande que figura en el "Libro de los Anillos" tiene 27 elementos y también es isomorfo. En esta sección se utiliza la notación de "El Libro" para los elementos de . Se deben tener en cuenta dos cosas: que el elemento denotado por es la unidad de y que no es la unidad. ^{[4] : 369} El grupo aditivo de es . ^{[4] : 330} El grupo de todos los automorfismos tiene 6 elementos: ${\displaystyle {\text{F}}_{3}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 18}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{3}^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (S)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=\operatorname {id} _{S}\\h_{2}&=(1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\h_{3}&=(1,25,13)(2,14,26)(4,19,16)(5,17,20)(7,22,10)(8,11,23)=h_{2}^{-1}=h_{2}^{2}\\h_{4}&=(4,16)(5,17)(7,22)(8,23)(13,25)(14,26)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{5}&=(1,13)(2,26)(4,19)(8,11)(10,22)(17,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{6}&=(1,25)(2,14)(5,20)(7,10)(11,23)(16,19)(3,15)(6,21)(12,24).\end{aligned}}}$

Como es autoopuesto, también tiene 6 antiautomorfismos. Un isomorfismo es , que se puede verificar usando las tablas de operaciones en "El Libro", como en el primer ejemplo, cambiando el nombre y reorganizando. Esta vez los cambios se deben realizar en las tablas de operaciones originales de . El resultado es la tabla de multiplicar y la tabla de suma permanece sin cambios. Por tanto, un antiautomorfismo ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:(S,\cdot )\to (S,\diamond )}$ ${\displaystyle f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}$ ${\displaystyle S=(S,\cdot )}$ ${\displaystyle S^{\operatorname {op} }=(S,\diamond )}$

${\displaystyle q_{1}=\iota \circ f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}$

está dado por la misma permutación. Los otros cinco se pueden calcular (en la notación multiplicativa se puede eliminar el símbolo de composición): ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=q_{1}h_{2}=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&\quad \cdot (1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\&=[(1,14,13,2,25,26)(1,13,25)(2,26,14)][(4,20,16,17,19,5)(4,16,19)(5,20,17)]\\&\quad \cdot [(7,8,10,23,22,11)(7,10,22)(8,23,11)](3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(13,26)(14,25)(4,17)(5,16)(19,20)(7,23)(8,22)(10,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(4,17)(5,16)(7,23)(8,22)(10,11)(13,26)(14,25)(19,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\q_{3}&=q_{1}h_{3}=(1,26,25,2,13,14)(4,5,19,17,16,20)(7,11,22,23,10,8)(3,15)(6,21)(12,24)=q_{1}^{-1}\\q_{4}&=q_{1}h_{4}=(1,14)(2,25)(4,17)(5,19)(7,11)(8,22)(10,23)(13,26)(16,20)\\q_{5}&=q_{1}h_{5}=(1,2)(4,5)(7,8)(10,11)(13,14)(16,17)(19,20)(22,23)(25,26)\\q_{6}&=q_{1}h_{6}=(1,26)(2,13)(4,20)(5,16)(7,23)(8,10)(11,22)(14,25)(17,19)\end{aligned}}}$

${\displaystyle G=\{h_{1},h_{2},h_{3},h_{4},h_{5},h_{6},q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},q_{5},q_{6}\}.}$
El grupo tiene 7 elementos de orden 2 (3 automorfismos y 4 antiautomorfismos) y puede identificarse como el grupo diédrico ^[e] (ver Lista de grupos pequeños ). En analogía geométrica, el anillo tiene el "grupo de simetría" isomorfo al grupo de simetría del antiprisma 3 , ^[f] que es el grupo de puntos en la notación de Schoenflies o, en resumen, en la notación de Hermann-Mauguin para el espacio tridimensional. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{6}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathrm {3d} }}$ ${\displaystyle {\overline {3}}m}$

Los anillos no autoopuestos más pequeños con unidad.

Todos los anillos con unidad de órdenes que van del 9 al 15 son conmutativos, ^[5] por lo que son autoopuestos. Los anillos, que no son autoopuestos, aparecen por primera vez entre los anillos de orden 16. Hay 4 anillos diferentes no autoopuestos del número total de 50 anillos con unidad ^[7] que tienen 16 elementos (37 ^[8] conmutativo y 13 ^[5] no conmutativo). ^[6] Pueden estar acoplados en dos pares de anillos opuestos entre sí en un par, y necesariamente con el mismo grupo aditivo, ya que un antiisomorfismo de anillos es un isomorfismo de sus grupos aditivos.

Un par de anillos ^{[3] : 330} y tiene el grupo aditivo ^{[3] : 262} y el otro par ^{[3] : 535} y , ^{[3] : 541} el grupo . ^{[3] : 433} Sus tablas de operaciones no se presentan en este artículo, ya que se pueden encontrar en la fuente citada, y se puede comprobar que son opuestas, pero no isomorfas. Lo mismo ocurre con el par y , sin embargo, el anillo ^{[3] : 335} que figura en "El Libro de los Anillos" no es igual sino sólo isomorfo a . Los 13 − 4 = 9 anillos no conmutativos restantes son autoopuestos. ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}=R_{1}^{\text{op}}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$ ${\displaystyle R_{4}=R_{3}^{\text{op}}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{4}}$ ${\displaystyle R_{3}^{\text{op}}=R_{4}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{2}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

Álgebra libre con dos generadores

El álgebra libre sobre un campo con generadores tiene multiplicación a partir de la multiplicación de palabras. Por ejemplo, ${\displaystyle k\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)\cdot (xyxy+1)=&{\text{ }}2x^{2}yx^{2}yxy+2x^{2}yx\\&+3yxyxyxy+3yxy.\end{aligned}}}$

Entonces el álgebra opuesta tiene la multiplicación dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)*(xyxy+1)&=(xyxy+1)\cdot (2x^{2}yx+3yxy)\\&=2xyxyx^{2}yx+3xyxy^{2}xy+2x^{2}yx+3yxy,\end{aligned}}}$

que no son elementos iguales.

Álgebra de cuaterniones

El álgebra de cuaterniones ^[9] sobre un campo es un álgebra de división definida por tres generadores con las relaciones ${\displaystyle H(a,b)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a,b\in F^{\times }}$ ${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle i^{2}=a,\ j^{2}=b,\ k=ij=-ji}$

Todos los elementos son de la forma ${\displaystyle x\in H(a,b)}$

${\displaystyle x=x_{0}+x_{i}i+x_{j}j+x_{k}k}$, dónde ${\displaystyle x_{0},x_{i},x_{j},x_{k}\in F}$

Por ejemplo, si , entonces es el álgebra de cuaterniones habitual. ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle H(-1,-1)}$

Si se denota la multiplicación de , tiene la tabla de multiplicar ${\displaystyle H(a,b)}$ ${\displaystyle \cdot }$

Entonces el álgebra opuesta con la multiplicación denotada tiene la tabla ${\displaystyle H(a,b)^{\text{op}}}$ ${\displaystyle *}$

Anillo conmutativo

Un anillo conmutativo es isomorfo a su anillo opuesto ya que para todos y en . Incluso son iguales , ya que sus operaciones son iguales, es decir . ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (R,*)=R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x*y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (R,*)=(R,\cdot )}$ ${\displaystyle *=\cdot }$

Propiedades

• Dos anillos R ₁ y R ₂ son isomorfos si y sólo si sus correspondientes anillos opuestos son isomorfos.
• El opuesto del opuesto de un anillo R es idéntico a R , es decir ( R ^op ) ^op = R.
• Un anillo y su anillo opuesto son antiisomorfos .
• Un anillo es conmutativo si y sólo si su operación coincide con su operación opuesta. ^[2]
• Los ideales izquierdos de un anillo son los ideales derechos de su opuesto. ^[10]
• El anillo opuesto de un anillo de división es un anillo de división. ^[11]
• Un módulo izquierdo sobre un anillo es un módulo derecho sobre su opuesto y viceversa. ^[12]

Notas

1. Los anillos auto opuestos en "El Libro de los Anillos" están etiquetados como "autoconversación", que es un nombre diferente, pero el significado es claro.
2. Aunque ι es la función de identidad en el conjunto R , no es la identidad como morfismo, ya que ( R , ⋅) y ( R , ⋄) son dos objetos diferentes (si R no es conmutativo) y el morfismo de identidad solo puede ser de un objeto a sí mismo. Por lo tanto, ι no puede denotarse como id _R , cuando R se entiende como una abreviatura de ( R , ⋄) . Si ( R , ⋅) es conmutativo, entonces ( R , ⋄) = ( R , ⋅) y ι = id _{( R ,⋅)} = id _{( R ,⋄)} = id _R .
3. En esta equivalencia (y en la siguiente igualdad) el anillo puede ser bastante general, es decir, con o sin unidad, no conmutativo o conmutativo, finito o infinito.
4. Las tablas de operaciones difieren de las de la fuente. Fueron modificados de la siguiente manera. La unidad 4 pasó a llamarse 1 y 1 a 4 en la tabla de suma y multiplicación, y las filas y columnas se reorganizaron para colocar la unidad 1 junto a 0 para mayor claridad. Por tanto, los dos anillos son isomorfos.
5. El símbolo D _n pretende abreviar Dih _n , el grupo diédrico con 2 n elementos, es decir, se utiliza una convención geométrica.
6. El nombre antiprisma de 3 se entiende aquí como el antiprisma de 3 gonales recto que no es uniforme, es decir, sus caras laterales no son triángulos equiláteros. Si fueran equiláteros, el antiprisma sería el octaedro regular que tiene el grupo de simetría mayor que D _3d .

Citas

1. Berrick y Keating (2000), pág. 19
2. Bourbaki 1989, pág. 101.
3. Nöbauer, Christof (23 de octubre de 2000). "El Libro de los Anillos".
4. Nöbauer, Christof (26 de octubre de 2000). "El Libro de los Anillos, Parte II". Archivado desde el original el 24 de agosto de 2007.
5. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A127708 (Número de anillos no conmutativos con 1)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
6. Nöbauer, Christof (5 de abril de 2002). "Número de anillos en grupos de orden de potencia principal". Archivado desde el original el 2 de octubre de 2006.
7. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A037291 (Número de anillos con 1)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
8. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A127707 (Número de anillos conmutativos con 1)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
9. Milne. Teoría de campos de clases . pag. 120.
10. Bourbaki 1989, pag. 103.
11. Bourbaki 1989, pag. 114.
12. Bourbaki 1989, pag. 192.

Referencias

• Berrick, AJ; Keating, YO (2000). Introducción a los anillos y módulos con la teoría K a la vista. Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. vol. 65. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-63274-4.
• Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra I. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC  18588156.

Ver también

• grupo opuesto
• Categoría opuesta