antiprisma

En geometría , un antiprisma $n$ -gonal o $n$ -antiprisma es un poliedro compuesto por dos copias directas paralelas (no imágenes especulares) de un polígono $de n$ lados , conectadas por una banda alterna de $2$ $n$ triángulos . Están representados por la notación de Conway $A$ $n$ .

Los antiprismas son una subclase de prismatoides y son un tipo (degenerado) de poliedro chato .

Los antiprismas son similares a los prismas , excepto que las bases están torcidas entre sí y que las caras laterales (que conectan las bases) son $2 n$ triángulos, en lugar de $n$ cuadriláteros .

El poliedro dual de un antiprisma $n$ -gonal es un trapezoedro $n$ -gonal .

Historia

En su libro Harmonices Mundi de 1619 , Johannes Kepler observó la existencia de la familia infinita de antiprismas. ^[2] Este ha sido considerado convencionalmente como el primer descubrimiento de estas formas, pero es posible que se conocieran antes: un bloque de impresión sin firmar para la red de un antiprisma hexagonal se ha atribuido a Hieronymus Andreae , quien murió en 1556. ^{[3 ]}

La forma alemana de la palabra "antiprisma" se utilizó para estas formas en el siglo XIX; Karl Heinze atribuye su introducción a Theodor Wittstein [delaware] . ^[4] Aunque el inglés "anti-prism" se había utilizado anteriormente para un prisma óptico utilizado para cancelar los efectos de un elemento primario óptimo, ^[5] el primer uso de "antiprism" en inglés en su sentido geométrico parece ser en principios del siglo XX en las obras de HSM Coxeter . ^[6]

Casos especiales

Antiprisma derecho

Para un antiprisma con bases regulares $n$ -gon , generalmente se considera el caso en el que estas dos copias están torcidas por un ángulo de $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}180/norte$ grados.

El eje de un polígono regular es la línea perpendicular al plano del polígono y que se encuentra en el centro del polígono.

Para un antiprisma con bases $n -gon$ regulares congruentes , torcidas por un ángulo de $180 / norte$ grados, se obtiene más regularidad si las bases tienen el mismo eje: son coaxiales ; es decir (para bases no coplanares ): si la línea que conecta los centros de las bases es perpendicular a los planos de las bases. Entonces el antiprisma se llama antiprisma recto , y sus $2 n$ caras laterales son triángulos isósceles .

Antiprisma uniforme

Un $n$ -antiprisma uniforme tiene dos $n -gonos$ regulares congruentes como caras base y $2$ $n triángulos$ equiláteros como caras laterales.

Los antiprismas uniformes forman una clase infinita de poliedros transitivos por vértices, al igual que los prismas uniformes. Para $n = 2$ , tenemos el antiprisma digonal (antiprisma degenerado), que es visualmente idéntico al tetraedro regular ; para $n = 3$ , el octaedro regular como antiprisma triangular (antiprisma no degenerado).

Los diagramas de Schlegel de estos antiprismas semirregulares son los siguientes:

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas para los vértices de un $n$ -antiprisma recto (es decir, con $n$ -bases regulares y $2 n$ caras laterales de un triángulo isósceles) son:

\left(\cos {\frac {k\pi }{n}},\sin {\frac {k\pi }{n}},(-1)^{k}h\right)

donde $0 \leq k \leq 2 norte - 1$ ;

si el $n$ -antiprisma es uniforme (es decir, si los triángulos son equiláteros), entonces:

2h^{2}=\cos {\frac {\pi }{n}}-\cos {\frac {2\pi }{n}}.

Volumen y superficie

Sea $a$ la longitud del borde de un antiprisma $n -gonal$ uniforme ; entonces el volumen es:

V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}~a^{3},

y la superficie es:

A={\frac {n}{2}}\left(\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}.

Además, el volumen de un antiprisma n-gonal recto regular con longitud lateral de sus bases $l$ y altura $h$ viene dada por:

V={\frac {nhl^{2}}{12}}\left(\csc {\frac {\pi }{n}}+2\cot {\frac {\pi }{n}}\right).

Tenga en cuenta que el volumen de un prisma $n$ -gonal recto con los mismos $l$ y $h$ es:

V_{\mathrm {prism} }={\frac {nhl^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}

Simetría

El grupo de simetría de un $n$ -antiprisma recto (es decir, con bases regulares y caras laterales isósceles) es $D n d = D n v$ de orden $4 n$ , excepto en los casos de:

$n = 2 : el$ tetraedro regular, que tiene el grupo de simetría más grande $T d$ de orden $24 = 3 \times (4 \times 2)$ , que tiene tres versiones de $D 2d$ como subgrupos;

$n = 3 : el$ octaedro regular, que tiene el grupo de simetría más grande $Oh$ de orden $48$ $= 4 \times (4 \times 3)$ , que tiene cuatro versiones de $D 3d$ como subgrupos.

El grupo de simetría contiene inversión si y sólo si $n$ es impar.

El grupo de rotación es $D n$ de orden $2 n$ , excepto en los casos de:

$n = 2$ : el tetraedro regular, que tiene el grupo de rotación más grande $T$ de orden $12 = 3 \times (2 \times 2)$ , que tiene tres versiones de $D 2$ como subgrupos;

$n = 3$ : el octaedro regular, que tiene el grupo de rotación más grande $O$ de orden $24 = 4 \times (2 \times 3)$ , que tiene cuatro versiones de $D 3$ como subgrupos.

Nota: Los $n$ -antiprismas derechos tienen bases $de n$ -gón regulares congruentes y caras laterales de triángulos isósceles congruentes, por lo tanto tienen el mismo grupo de simetría (diédrico) que el $n$ -antiprisma uniforme, para $n \geq 4$ .

Generalizaciones

En dimensiones superiores

Los antiprismas de cuatro dimensiones se pueden definir como aquellos que tienen dos poliedros duales como caras opuestas paralelas, de modo que cada cara tridimensional entre ellas proviene de dos partes duales de los poliedros: un vértice y un polígono dual, o dos aristas duales. Todo poliedro convexo tridimensional es combinatoriamente equivalente a una de las dos caras opuestas de un antiprisma tetradimensional, construido a partir de su poliedro canónico y su dual polar. ^[7] Sin embargo, existen poliedros de cuatro dimensiones que no se pueden combinar con sus duales para formar antiprismas de cinco dimensiones. ^[8]

Poliedros autocruzados

Aquí se muestran todos los antiprismas estelares y no estelares de hasta 15 lados, junto con los de un agón de 29.

Los antiprismas estelares uniformes reciben su nombre por sus bases poligonales estelares , ${p / q},$ y existen en soluciones progradas y retrógradas (cruzadas). Las formas cruzadas tienen figuras de vértices que se cruzan y se denotan mediante fracciones "invertidas": $p /(p - q)$ en lugar de $p / q$ ; ejemplo: 5/3 en lugar de 5/2.

Un antiprisma de estrella recta tiene dos caras de base de polígono de estrella o convexas regulares coaxiales congruentes y $2$ $n$ caras laterales de triángulo isósceles .

Cualquier antiprisma en estrella con bases convexas regulares o polígonos en estrella se puede convertir en un antiprisma en estrella recto (traduciendo y/o girando una de sus bases, si es necesario).

En las formas retrógradas, pero no en las formas prógradas, los triángulos que unen las bases convexas o estrelladas se cruzan con el eje de simetría rotacional. De este modo:

Los antiprismas de estrellas retrógradas con bases de polígonos convexos regulares no pueden tener todas las longitudes de borde iguales y, por lo tanto, no pueden ser uniformes. "Excepción": un antiprisma estrella retrógrado con bases de triángulos equiláteros (configuración de vértice: 3.3/2.3.3) puede ser uniforme; pero claro, tiene la apariencia de un triángulo equilátero: es un poliedro estelar degenerado.

De manera similar, algunos antiprismas de estrellas retrógradas con bases de polígonos de estrellas regulares no pueden tener todas las longitudes de borde iguales y, por lo tanto, no pueden ser uniformes. Ejemplo: un antiprisma de estrella retrógrada con bases de estrella regular de 7/5 góndolos (configuración de vértice: 3.3.3.7/5) no puede ser uniforme.

Además, se pueden construir compuestos antiprisma de estrella con bases regulares de estrella $p / q$ $-gon si p$ y $q$ tienen factores comunes. Ejemplo: un antiprisma de estrella 10/4 es el compuesto de dos antiprismas de estrella 5/2.

Ver también

Gran antiprisma , un politopo de cuatro dimensiones
Polígono sesgado , un polígono tridimensional cuyo casco convexo es un antiprisma

Referencias

^ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.3 Pirámides, prismas y antiprismas, Figura 11.3c
^ Kepler, Johannes (1619). "Libro II, Definición X". Armónicas Mundi (en latín). pag. 49.Véase también la ilustración A, de un antiprisma heptagonal.
^ Schreiber, Pedro; Fischer, Gisela ; Sternath, María Luise (julio de 2008). "Nueva luz sobre el redescubrimiento de los sólidos de Arquímedes durante el Renacimiento". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 62 (4): 457–467. JSTOR 41134285.
^ Heinze, Karl (1886). Lucke, Franz (ed.). Genetische Stereometrie (en alemán). BG Teubner. pag. 14.
^ Smyth, Piazzi (1881). "XVII. Sobre la constitución de las líneas que forman el espectro del oxígeno de baja temperatura". Transacciones de la Real Sociedad de Edimburgo . 30 (1): 419–425. doi :10.1017/s0080456800029112.
^ Coxeter, HSM (enero de 1928). "Los politopos puros de Arquímedes en seis y siete dimensiones". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 24 (1): 1–9. doi :10.1017/s0305004100011786.
^ Grünbaum, Branko (2005). "¿Son realmente aburridos los prismas y antiprismas? (Parte 3)" (PDF) . Geombinatoria . 15 (2): 69–78. SEÑOR 2298896.
^ Dobbins, Michael Gene (2017). "Antiprisma, o: reducir la equivalencia combinatoria a equivalencia proyectiva en problemas de realizabilidad para politopos". Geometría discreta y computacional . 57 (4): 966–984. doi :10.1007/s00454-017-9874-y. SEÑOR 3639611.

Otras lecturas

Antonio Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Prensa de la Universidad de California Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 2: Poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes

enlaces externos

Medios relacionados con antiprismas en Wikimedia Commons
Weisstein, Eric W. "Antiprisma". MundoMatemático .
Prismas y antiprismas no convexos
Modelos en papel de prismas y antiprismas.