mapa semilineal

En álgebra lineal , particularmente en geometría proyectiva , una aplicación semilineal entre los espacios vectoriales V y W sobre un campo K es una función que es una aplicación lineal "hasta un giro", por lo tanto semilineal , donde "giro" significa " automorfismo de campo de K ". Explícitamente, es una función T  : V → W es decir:

• aditivo con respecto a la suma de vectores: ${\displaystyle T(v+v')=T(v)+T(v')}$
• existe un automorfismo de campo θ de K tal que . Si tal automorfismo existe y T es distinto de cero, es único y T se llama θ -semilineal. ${\displaystyle T(\lambda v)=\theta (\lambda )T(v)}$

Cuando el dominio y el codominio son el mismo espacio (es decir , T  : V → V ), se puede denominar transformación semilineal . Las transformadas semilineales invertibles de un espacio vectorial dado V (para todas las opciones de automorfismo de campo) forman un grupo, llamado grupo semilineal general y denotado por analogía con el grupo lineal general y extendiéndolo . El caso especial donde el campo son los números complejos y el automorfismo es la conjugación compleja , un mapa semilineal se llama mapa antilineal . ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Se utiliza una notación similar (que reemplaza los caracteres latinos por griegos) para análogos semilineales de transformadas lineales más restringidas; formalmente, el producto semidirecto de un grupo lineal con el grupo de Galois de automorfismo de campo. Por ejemplo, PΣU se utiliza para los análogos semilineales del grupo unitario especial proyectivo PSU. Sin embargo, tenga en cuenta que sólo recientemente se ha observado que estos grupos semilineales generalizados no están bien definidos, como se señala en (Bray, Holt y Roney-Dougal 2009): los grupos clásicos isomórficos G y H (subgrupos de SL) pueden tener no- Extensiones semilineales isomórficas. A nivel de productos semidirectos, esto corresponde a diferentes acciones del grupo de Galois sobre un grupo abstracto determinado, un producto semidirecto que depende de dos grupos y una acción. Si la extensión no es única, hay exactamente dos extensiones semilineales; por ejemplo, los grupos simplécticos tienen una extensión semilineal única, mientras que SU( n , q ) tiene dos extensiones si n es par y q es impar, y lo mismo ocurre con PSU.

Definición

Un mapa f  : V → W para espacios vectoriales V y W sobre campos K y L respectivamente es σ -semilineal, o simplemente semilineal , si existe un homomorfismo de campo σ  : K → L tal que para todo x , y en V y λ en K se cumple que

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$
2. ${\displaystyle f(\lambda x)=\sigma (\lambda )f(x).}$

Una incrustación dada σ de un campo K en L nos permite identificar K con un subcampo de L , haciendo que un mapa σ -semilineal sea un mapa K - lineal bajo esta identificación. Sin embargo, un mapa que es τ -semilineal para una incrustación distinta τ ≠ σ no será K -lineal con respecto a la identificación original σ , a menos que f sea idénticamente cero.

De manera más general, un mapa ψ  : M → N entre un módulo R derecho M y un módulo S izquierdo N es σ - semilineal si existe un antihomomorfismo de anillo σ : R  → S tal que para todo x , y en M y λ en R se cumple que

1. ${\displaystyle \psi (x+y)=\psi (x)+\psi (y),}$
2. ${\displaystyle \psi (x\lambda )=\sigma (\lambda )\psi (x).}$

El término semilineal se aplica a cualquier combinación de módulos izquierdo y derecho con un ajuste adecuado de las expresiones anteriores, siendo σ un homomorfismo según sea necesario. ^{[1] [2]}

El par ( ψ , σ ) se conoce como dimorfismo . ^[3]

Relacionado

Transponer

Sea un isomorfismo de anillo, un módulo derecho y un módulo derecho, y un mapa semilineal. Defina la transpuesta de como el mapeo que satisface ^[4] ${\displaystyle \sigma :R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi :M\to N}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {}^{t}\psi :N^{*}\to M^{*}}$

$${\displaystyle \langle y,\psi (x)\rangle =\sigma \left(\left\langle {}^{\text{t}}\psi (y),x\right\rangle \right)\quad {\text{ for all }}y\in N^{*},{\text{ and all }}x\in M.}$$

${\displaystyle \sigma ^{-1}}$

Propiedades

Sea un isomorfismo de anillo, un módulo derecho y un módulo derecho, y un mapa semilineal. el mapeo ${\displaystyle \sigma :R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi :M\to N}$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle M\to R:x\mapsto \sigma ^{-1}(\langle y,\psi (x)\rangle ),\quad y\in N^{*}}$$

^[5] ${\displaystyle R}$

Ejemplos

• Dejar con base estándar . Definir el mapa por ${\displaystyle K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle f\colon V\to V}$

  ${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}}$

f es semilineal (con respecto al automorfismo del campo de conjugación complejo) pero no lineal.

• Sea – el campo de orden de Galois , p la característica. Dejar . Por el sueño del estudiante de primer año se sabe que se trata de un automorfismo de campo. Para cada aplicación lineal entre espacios vectoriales V y W sobre K podemos establecer una aplicación semilineal ${\displaystyle K=\operatorname {GF} (q)}$ ${\displaystyle q=p^{i}}$ ${\displaystyle \ell ^{\theta }=\ell ^{p}}$ ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle \theta }$

  ${\displaystyle {\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}^{\theta }e_{i}\right).}$

De hecho, cada mapa lineal se puede convertir en un mapa semilineal de esa manera. Esto es parte de una observación general recogida en el siguiente resultado.

• Sea un anillo no conmutativo, un módulo izquierdo y un elemento invertible de . Defina el mapa , entonces , y es un automorfismo interno de . Por tanto, la homotecia no tiene por qué ser una aplicación lineal, sino semilineal. ^[6] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varphi \colon M\to M\colon x\mapsto \alpha x}$ ${\displaystyle \varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma (\lambda )\varphi (u)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$ ${\displaystyle \sigma }$

Grupo semilineal general

Dado un espacio vectorial V , el conjunto de todas las transformaciones semilineales invertibles V → V (sobre todos los automorfismos de campo) es el grupo ΓL( V ).

Dado un espacio vectorial V sobre K , ΓL( V ) se descompone como el producto semidirecto

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Aut} (K),}$

donde Aut( K ) son los automorfismos de K . De manera similar, las transformadas semilineales de otros grupos lineales se pueden definir como el producto semidirecto con el grupo de automorfismo, o más intrínsecamente como el grupo de aplicaciones semilineales de un espacio vectorial que conserva algunas propiedades.

Identificamos Aut( K ) con un subgrupo de ΓL( V ) fijando una base B para V y definiendo las funciones semilineales:

${\displaystyle \sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

para cualquier . Denotaremos este subgrupo por Aut( K ) _B . También vemos que GL( V ) actúa regularmente sobre estos complementos a GL(V) en ΓL( V ), ya que corresponden a un cambio de base . ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (K)}$

Prueba

Todo mapa lineal es semilineal, por lo tanto . Fijar una base B de V. Ahora, dado cualquier mapa semilineal f con respecto a un automorfismo de campo σ ∈ Aut( K ) , entonces defina g  : V → V por ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)\leq \operatorname {\Gamma L} (V)}$

${\displaystyle g\left(\sum _{b\in B}\ell _{b}b\right):=\sum _{b\in B}f\left(\ell _{b}^{\sigma ^{-1}}b\right)=\sum _{b\in B}\ell _{b}f(b)}$

Como f ( B ) también es una base de V , se deduce que g es simplemente un intercambio de bases de V y, por lo tanto, lineal e invertible: g ∈ GL( V ) .

Colocar . Para cada uno en V , ${\displaystyle h:=fg^{-1}}$ ${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\ell _{b}b}$

${\displaystyle hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

por lo tanto, h está en el subgrupo Aut( K ) en relación con la base fija B. Esta factorización es exclusiva de la base fija B. Además, GL( V ) está normalizado por la acción de Aut( K ) _B , por lo que ΓL( V ) = GL( V ) ⋊ Aut( K ) .

Aplicaciones

Geometría proyectiva

Los grupos amplían los grupos clásicos típicos en GL ( V ). La importancia de considerar tales mapas se deriva de la consideración de la geometría proyectiva . La acción inducida de sobre el espacio proyectivo asociado P( V ) produce la ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$grupo semilineal proyectivo , denotado, que extiende elgrupo lineal proyectivo, PGL(V). ${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (V)}$

La geometría proyectiva de un espacio vectorial V , denotada PG( V ), es la red de todos los subespacios de V. Aunque el mapa semilineal típico no es un mapa lineal, se deduce que todo mapa semilineal induce un mapa que preserva el orden . Es decir, todo mapa semilineal induce una proyectividad . Lo contrario de esta observación (a excepción de la línea proyectiva) es el teorema fundamental de la geometría proyectiva . Por tanto, los mapas semilineales son útiles porque definen el grupo de automorfismos de la geometría proyectiva de un espacio vectorial. ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle f\colon \operatorname {PG} (V)\to \operatorname {PG} (W)}$

grupo mathieu

El grupo PΓL(3,4) se puede utilizar para construir el grupo M ₂₄ de Mathieu , que es uno de los grupos simples esporádicos ; PΓL(3,4) es un subgrupo máximo de M ₂₄ y hay muchas formas de extenderlo al grupo de Mathieu completo.

Ver también

• mapa antilineal
• Espacio vectorial conjugado complejo

Referencias

1. Ian R. Porteous (1995), Clifford Algebras y los grupos clásicos , Cambridge University Press
2. Bourbaki (1989), Álgebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, pág. 223
3. Bourbaki (1989), Álgebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, pág. 223
4. Bourbaki (1989), Álgebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, pág. 236
5. Bourbaki (1989), Álgebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, pág. 236
6. Bourbaki (1989), Álgebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, pág. 223

• Asmus, EF; Key, JD (1994), Diseños y sus códigos , Cambridge University Press , pág. 93, ISBN 0-521-45839-0
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1970]. Álgebra I Capítulos 1-3 [ Álgebra: Capítulos 1 a 3 ] (PDF) . Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC  18588156.
• Bray, John N.; Holt, Derek F.; Roney-Dougal, Colva M. (2009), "Ciertos grupos clásicos no están bien definidos", Journal of Group Theory , 12 (2): 171–180, doi : 10.1515/jgt.2008.069 , ISSN  1433-5883, SEÑOR  2502211
• Faure, Claude-Alain; Frölicher, Alfred (2000), Geometría proyectiva moderna , Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6525-9
• Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), Geometría lineal , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 49 (1ª ed.), Springer-Verlag Nueva York
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

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