En matemáticas , un rango proyectivo es un conjunto de puntos en geometría proyectiva considerados de manera unificada. Un rango proyectivo puede ser una línea proyectiva o una cónica . Un rango proyectivo es el dual de un lápiz de líneas en un punto dado. Por ejemplo, una correlación intercambia los puntos de un rango proyectivo con las líneas de un lápiz. Se dice que una proyectividad actúa de un rango a otro, aunque los dos rangos pueden coincidir como conjuntos.
Un rango proyectivo expresa la invariancia proyectiva de la relación de conjugados armónicos proyectivos . De hecho, tres puntos en una línea proyectiva determinan un cuarto por esta relación. La aplicación de una proyectividad a este cuádruple da como resultado cuatro puntos también en la relación armónica. Tal cuádruple de puntos se denomina rango armónico . En 1940, Julian Coolidge describió esta estructura e identificó a su creador: [1]
Cuando se elige una cónica para un rango proyectivo y se selecciona un punto particular E en la cónica como origen, entonces la adición de puntos puede definirse de la siguiente manera: [2]
El círculo y la hipérbola son instancias de una cónica y la suma de ángulos en cualquiera de ellos se puede generar mediante el método de "suma de puntos", siempre que los puntos estén asociados con ángulos en el círculo y ángulos hiperbólicos en la hipérbola.