Dualidad de Pontryagin

Dualidad para grupos abelianos localmente compactos

Los enteros 2-ádicos , con caracteres correspondientes seleccionados en su grupo dual de Pontryagin

En matemáticas, la dualidad de Pontryagin es una dualidad entre grupos abelianos localmente compactos que permite generalizar la transformada de Fourier a todos esos grupos, que incluyen el grupo del círculo (el grupo multiplicativo de los números complejos de módulo uno), los grupos abelianos finitos (con la topología discreta ), y el grupo aditivo de los números enteros (también con la topología discreta), los números reales y todo espacio vectorial de dimensión finita sobre los reales o un cuerpo p -ádico .

El dual de Pontryagin de un grupo abeliano localmente compacto es el grupo topológico abeliano localmente compacto formado por los homomorfismos de grupo continuos del grupo al grupo circular con la operación de multiplicación puntual y la topología de convergencia uniforme sobre conjuntos compactos. El teorema de dualidad de Pontryagin establece la dualidad de Pontryagin al afirmar que cualquier grupo abeliano localmente compacto es naturalmente isomorfo con su bidual (el dual de su dual). El teorema de inversión de Fourier es un caso especial de este teorema.

El tema recibe su nombre de Lev Pontryagin , quien sentó las bases de la teoría de los grupos abelianos localmente compactos y su dualidad durante sus primeros trabajos matemáticos en 1934. El tratamiento de Pontryagin se basó en que los grupos fueran contables en segundo lugar y compactos o discretos. Esto fue mejorado para cubrir los grupos abelianos localmente compactos generales por Egbert van Kampen en 1935 y André Weil en 1940.

Introducción

La dualidad de Pontryagin coloca en un contexto unificado una serie de observaciones sobre funciones en la línea real o en grupos abelianos finitos:

• Las funciones periódicas de valores complejos adecuadamente regulares en la línea real tienen series de Fourier y estas funciones pueden recuperarse a partir de sus series de Fourier;
• Las funciones regulares y de valores complejos en la línea real tienen transformadas de Fourier que también son funciones en la línea real y, al igual que en el caso de las funciones periódicas, estas funciones se pueden recuperar a partir de sus transformadas de Fourier; y
• Las funciones de valor complejo en un grupo abeliano finito tienen transformadas de Fourier discretas , que son funciones en el grupo dual, que es un grupo isomorfo (no canónicamente). Además, cualquier función en un grupo abeliano finito se puede recuperar a partir de su transformada de Fourier discreta.

La teoría, introducida por Lev Pontryagin y combinada con la medida de Haar introducida por John von Neumann , André Weil y otros, depende de la teoría del grupo dual de un grupo abeliano localmente compacto .

Es análogo al espacio vectorial dual de un espacio vectorial: un espacio vectorial de dimensión finita y su espacio vectorial dual no son naturalmente isomorfos, pero el álgebra de endomorfismo (álgebra matricial) de uno es isomorfa al opuesto del álgebra de endomorfismo del otro: mediante la transposición. De manera similar, un grupo y su grupo dual no son en general isomorfos, pero sus anillos de endomorfismo son opuestos entre sí: . Más categóricamente, esto no es solo un isomorfismo de álgebras de endomorfismo, sino una equivalencia contravariante de categorías; consulte § Consideraciones categóricas . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(V)\cong {{\text{End}}(V^{*})}^{\text{op}},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)\cong {\text{End}}({\widehat {G}})^{\text{op}}}$

Definición

Un grupo topológico es un grupo localmente compacto si el espacio topológico subyacente es localmente compacto y Hausdorff ; un grupo topológico es abeliano si el grupo subyacente es abeliano . Ejemplos de grupos abelianos localmente compactos incluyen grupos abelianos finitos, los números enteros (ambos para la topología discreta , que también es inducida por la métrica habitual), los números reales, el grupo circular T (ambos con su topología métrica habitual), y también los números p -ádicos (con su topología p -ádica habitual).

Para un grupo abeliano localmente compacto , el dual de Pontryagin es el grupo de homomorfismos de grupo continuos de a al grupo del círculo . Es decir, El dual de Pontryagin suele estar dotado de la topología dada por la convergencia uniforme en conjuntos compactos (es decir, la topología inducida por la topología compacta-abierta en el espacio de todas las funciones continuas de a ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle {\widehat {G}}:=\operatorname {Hom} (G,T).}$$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$

Por ejemplo, $${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\ {\widehat {\mathbb {Z} }}=T,\ {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} ,\ {\widehat {T}}=\mathbb {Z} .}$$

Teorema de dualidad de Pontryagin

Teorema ^{[1] [2]}  —  Existe un isomorfismo canónico entre cualquier grupo abeliano localmente compacto y su doble dual. ${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$

Canónico significa que hay una función definida naturalmente  ; más importante aún, la función debe ser funcional en . Para el carácter del grupo , el isomorfismo canónico se define de la siguiente manera: Es decir, ${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}\colon G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}}$ ${\displaystyle x\in G}$ $${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x)(\chi )=\chi (x)\in \mathbb {T} .}$$ $${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x):(\chi \mapsto \chi (x)).}$$

En otras palabras, cada elemento del grupo se identifica con el carácter de evaluación en el dual. Esto es fuertemente análogo al isomorfismo canónico entre un espacio vectorial de dimensión finita y su dual doble , , y vale la pena mencionar que cualquier espacio vectorial es un grupo abeliano . Si es un grupo abeliano finito, entonces pero este isomorfismo no es canónico. Hacer esta afirmación precisa (en general) requiere pensar en la dualización no solo en grupos, sino también en mapas entre los grupos, para tratar la dualización como un funtor y demostrar que el funtor identidad y el funtor de dualización no son naturalmente equivalentes. También el teorema de dualidad implica que para cualquier grupo (no necesariamente finito) el funtor de dualización es un funtor exacto . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\cong V^{**}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\widehat {G}}}$

La dualidad de Pontryagin y la transformada de Fourier

Medida del cabello

Uno de los hechos más notables sobre un grupo localmente compacto es que lleva una medida natural esencialmente única , la medida de Haar , que permite medir consistentemente el "tamaño" de subconjuntos suficientemente regulares de . "Subconjunto suficientemente regular" aquí significa un conjunto de Borel ; es decir, un elemento del σ-álgebra generado por los conjuntos compactos . Más precisamente, una medida de Haar derecha en un grupo localmente compacto es una medida aditiva contable μ definida en los conjuntos de Borel de que es invariante derecha en el sentido de que para un elemento de y un subconjunto de Borel de y también satisface algunas condiciones de regularidad (explicadas en detalle en el artículo sobre la medida de Haar ). A excepción de los factores de escala positivos, una medida de Haar en es única. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (Ax)=\mu (A)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

La medida de Haar en permite definir la noción de integral para funciones de Borel ( complejas ) definidas en el grupo. En particular, se pueden considerar varios espacios L p asociados a la medida de Haar . Específicamente, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathbb {C} )\ {\Big |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\ d\mu (x)<\infty \right\}.}$$

Tenga en cuenta que, dado que dos medidas de Haar cualesquiera en son iguales hasta un factor de escala, este espacio es independiente de la elección de la medida de Haar y, por lo tanto, tal vez podría escribirse como . Sin embargo, la norma en este espacio depende de la elección de la medida de Haar, por lo que si uno quiere hablar sobre isometrías es importante realizar un seguimiento de la medida de Haar que se utiliza. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(G)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Fórmula de la transformada de Fourier y de la inversión de Fourier parayo1-funciones

El grupo dual de un grupo abeliano localmente compacto se utiliza como espacio subyacente para una versión abstracta de la transformada de Fourier . Si , entonces la transformada de Fourier es la función en definida por donde la integral es relativa a la medida de Haar en . Esto también se denota . Nótese que la transformada de Fourier depende de la elección de la medida de Haar. No es demasiado difícil demostrar que la transformada de Fourier de una función en es una función continua acotada en que se desvanece en el infinito . ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\ d\mu (x),}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\chi )}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Fórmula de inversión de Fourier para funciones ${\displaystyle L^{1}}$ - —  Para cada medida de Haar en hay una medida de Haar única en tal que siempre que y , tenemos Si es continua, entonces esta identidad se cumple para todos los . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{1}\left({\widehat {G}}\right)}$ $${\displaystyle f(x)=\int _{\widehat {G}}{\widehat {f}}(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi )\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

La transformada de Fourier inversa de una función integrable en se da por donde la integral es relativa a la medida de Haar en el grupo dual . La medida en que aparece en la fórmula de inversión de Fourier se denomina medida dual a y puede denotarse como . ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ $${\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi ),}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$

Las distintas transformadas de Fourier se pueden clasificar en términos de su dominio y dominio de transformación (el grupo y el grupo dual) de la siguiente manera (tenga en cuenta que es el grupo circular ): ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Como ejemplo, supongamos que , por lo que podemos pensar en como por el emparejamiento Si es la medida de Lebesgue en el espacio euclidiano, obtenemos la transformada de Fourier ordinaria en y la medida dual necesaria para la fórmula de inversión de Fourier es . Si queremos obtener una fórmula de inversión de Fourier con la misma medida en ambos lados (es decir, dado que podemos pensar en como su propio espacio dual, podemos pedir que sea igual a ), entonces necesitamos usar ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\\{\widehat {\mu }}&=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\end{aligned}}}$$

Sin embargo, si cambiamos la forma en que nos identificamos con su grupo dual, al usar el emparejamiento , entonces la medida de Lebesgue en es igual a su propia medida dual. Esta convención minimiza el número de factores de que aparecen en varios lugares al calcular transformadas de Fourier o transformadas de Fourier inversas en el espacio euclidiano. (En efecto, limita la única al exponente en lugar de como un prefactor fuera del signo integral). Nótese que la elección de cómo identificarse con su grupo dual afecta el significado del término "función autodual", que es una función en igual a su propia transformada de Fourier: usando el emparejamiento clásico , la función es autodual. Pero usando el emparejamiento, que mantiene el prefactor como unidad, la hace autodual. Esta segunda definición para la transformada de Fourier tiene la ventaja de que asigna la identidad multiplicativa a la identidad de convolución, lo cual es útil como lo es un álgebra de convolución. Vea la siguiente sección sobre el álgebra de grupos. Además, esta forma también es necesariamente isométrica en espacios. Vea más abajo los teoremas de inversión de Fourier de Plancherel y L2. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} },}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$ ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$ ${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Álgebra de grupos

El espacio de funciones integrables en un grupo abeliano localmente compacto es un álgebra , donde la multiplicación es convolución: la convolución de dos funciones integrables y se define como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\ d\mu (y).}$$

Teorema  —  El espacio de Banach es un álgebra asociativa y conmutativa bajo convolución. ${\displaystyle L^{1}(G)}$

Esta álgebra se denomina Álgebra de grupo de . Por el teorema de Fubini-Tonelli , la convolución es submultiplicativa con respecto a la norma, lo que la convierte en un álgebra de Banach . El álgebra de Banach tiene un elemento de identidad multiplicativo si y solo si es un grupo discreto, es decir, la función que es 1 en la identidad y cero en el resto. En general, sin embargo, tiene una identidad aproximada que es una red (o secuencia generalizada) indexada en un conjunto dirigido tal que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f*e_{i}\to f.}$

La transformada de Fourier lleva la convolución a la multiplicación, es decir, es un homomorfismo de las álgebras de Banach abelianas (de norma ≤ 1): ${\displaystyle L^{1}(G)\to C_{0}\left({\widehat {G}}\right)}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi ).}$$

En particular, a cada carácter de grupo le corresponde un único funcional lineal multiplicativo en el álgebra de grupo definida por ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle f\mapsto {\widehat {f}}(\chi ).}$$

Una propiedad importante del álgebra de grupos es que estos agotan el conjunto de funcionales lineales multiplicativos no triviales (es decir, no idénticos a cero) en el álgebra de grupos; consulte la sección 34 de (Loomis 1953). Esto significa que la transformada de Fourier es un caso especial de la transformada de Gelfand .

Plancherel yyo2Teoremas de inversión de Fourier

Como hemos dicho, el grupo dual de un grupo abeliano localmente compacto es un grupo abeliano localmente compacto por derecho propio y, por lo tanto, tiene una medida de Haar, o más precisamente, toda una familia de medidas de Haar relacionadas con la escala.

Teorema  :  Elija una medida de Haar en y sea la medida dual en como se definió anteriormente. Si es continua con soporte compacto entonces y En particular, la transformada de Fourier es una isometría de las funciones continuas de valor complejo de soporte compacto en a las funciones en (usando la norma con respecto a para funciones en y la norma con respecto a para funciones en ). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{2}\left({\widehat {G}}\right)}$ $${\displaystyle \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Dado que las funciones continuas de valor complejo de soporte compacto en son -densas, existe una extensión única de la transformada de Fourier desde ese espacio a un operador unitario y tenemos la fórmula ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right).}$$ $${\displaystyle \forall f\in L^{2}(G):\quad \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$$

Obsérvese que para los grupos localmente compactos no compactos el espacio no contiene , por lo que la transformada de Fourier de las funciones generales en "no" está dada por ningún tipo de fórmula de integración (o realmente ninguna fórmula explícita). Para definir la transformada de Fourier hay que recurrir a algún truco técnico como empezar en un subespacio denso como las funciones continuas con soporte compacto y luego extender la isometría por continuidad a todo el espacio. Esta extensión unitaria de la transformada de Fourier es lo que queremos decir con la transformada de Fourier en el espacio de funciones integrables cuadradas. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$

El grupo dual también tiene una transformada de Fourier inversa por derecho propio; se puede caracterizar como la inversa (o adjunta, ya que es unitaria) de la transformada de Fourier. Este es el contenido de la fórmula de inversión de Fourier que se presenta a continuación. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Teorema  —  El adjunto de la transformada de Fourier restringida a funciones continuas de soporte compacto es la transformada de Fourier inversa donde es la medida dual de . $${\displaystyle L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right)\to L_{\mu }^{2}(G)}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$

En este caso, el grupo dual es naturalmente isomorfo al grupo de los números enteros y la transformada de Fourier se especializa en el cálculo de coeficientes de series de Fourier de funciones periódicas. ${\displaystyle G=\mathbb {T} }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Si es un grupo finito, recuperamos la transformada de Fourier discreta . Nótese que este caso es muy fácil de demostrar directamente. ${\displaystyle G}$

Compactificación de Bohr y cuasiperiodicidad

Una aplicación importante de la dualidad de Pontryagin es la siguiente caracterización de grupos topológicos abelianos compactos:

Teorema  :  Un grupo abeliano localmente compacto es compacto si y solo si el grupo dual es discreto. A la inversa, es discreto si y solo si es compacto. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Que ser compacto implica que es discreto o que ser discreto implica que es compacto es una consecuencia elemental de la definición de la topología compacta-abierta y no necesita la dualidad de Pontryagin. Se utiliza la dualidad de Pontryagin para demostrar las recíprocas. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

La compactificación de Bohr se define para cualquier grupo topológico , independientemente de si es localmente compacto o abeliano. Un uso que se hace de la dualidad de Pontryagin entre grupos abelianos compactos y grupos abelianos discretos es caracterizar la compactificación de Bohr de un grupo topológico localmente compacto abeliano arbitrario. La compactificación de Bohr de es , donde H tiene la estructura de grupo , pero dada la topología discreta . Dado que el mapa de inclusión es continuo y un homomorfismo, el morfismo dual es un morfismo en un grupo compacto que se demuestra fácilmente que satisface la propiedad universal requerida . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {H}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ $${\displaystyle \iota :H\to {\widehat {G}}}$$ $${\displaystyle G\sim {\widehat {\widehat {G}}}\to {\widehat {H}}}$$

Consideraciones categóricas

La dualidad de Pontryagin también puede considerarse de manera provechosa de manera funcional . En lo que sigue, LCA es la categoría de grupos abelianos localmente compactos y homomorfismos de grupos continuos. La construcción del grupo dual de es un funtor contravariante LCA → LCA , representado (en el sentido de funtores representables ) por el grupo del círculo como En particular, el funtor dual doble es covariante . Una formulación categórica de la dualidad de Pontryagin establece entonces que la transformación natural entre el funtor identidad en LCA y el funtor dual doble es un isomorfismo. ^[3] Desenrollando la noción de una transformación natural, esto significa que las aplicaciones son isomorfismos para cualquier grupo abeliano localmente compacto , y estos isomorfismos son funtoriales en . Este isomorfismo es análogo al dual doble de espacios vectoriales de dimensión finita (un caso especial, para espacios vectoriales reales y complejos). ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}={\text{Hom}}(G,\mathbb {T} ).}$ ${\displaystyle G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G\to \operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (G,T),T)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Una consecuencia inmediata de esta formulación es otra formulación categórica común de la dualidad de Pontryagin: el funtor de grupo dual es una equivalencia de categorías de LCA a LCA ^op .

La dualidad intercambia las subcategorías de grupos discretos y grupos compactos . Si es un anillo y es un módulo izquierdo , el grupo dual se convertirá en un módulo derecho; de esta manera también podemos ver que los módulos izquierdos discretos serán duales de Pontryagin a módulos derechos compactos. El anillo de endomorfismos en LCA se cambia por la dualidad en su anillo opuesto (cambia la multiplicación al otro orden). Por ejemplo, si es un grupo discreto cíclico infinito, es un grupo circular: el primero tiene por lo que esto es cierto también para el segundo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)=\mathbb {Z} }$

Generalizaciones

Las generalizaciones de la dualidad de Pontryagin se construyen en dos direcciones principales: para grupos topológicos conmutativos que no son localmente compactos y para grupos topológicos no conmutativos. Las teorías en estos dos casos son muy diferentes.

Dualidades para grupos topológicos conmutativos

Cuando es un grupo topológico abeliano de Hausdorff, el grupo con la topología compacta-abierta es un grupo topológico abeliano de Hausdorff y la aplicación natural de a su doble-dual tiene sentido. Si esta aplicación es un isomorfismo, se dice que satisface la dualidad de Pontryagin (o que es un grupo reflexivo ^[4] o un grupo reflexivo ^[5] ). Esto se ha extendido en varias direcciones más allá del caso que es localmente compacto. ^[6] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

En particular, Samuel Kaplan ^{[7] [8]} demostró en 1948 y 1950 que los productos arbitrarios y los límites inversos contables de grupos abelianos localmente compactos (de Hausdorff) satisfacen la dualidad de Pontryagin. Nótese que un producto infinito de espacios no compactos localmente compactos no es localmente compacto.

Más tarde, en 1975, Rangachari Venkataraman ^[9] demostró, entre otros hechos, que cada subgrupo abierto de un grupo topológico abeliano que satisface la dualidad de Pontryagin satisface a su vez la dualidad de Pontryagin.

Más recientemente, Sergio Ardanza-Trevijano y María Jesús Chasco ^[10] han extendido los resultados de Kaplan mencionados anteriormente. Han demostrado que los límites directos e inversos de sucesiones de grupos abelianos que satisfacen la dualidad de Pontryagin también satisfacen la dualidad de Pontryagin si los grupos son metrizables o -espacios pero no necesariamente localmente compactos, siempre que las sucesiones cumplan algunas condiciones adicionales. ${\displaystyle k_{\omega }}$

Sin embargo, hay un aspecto fundamental que cambia si queremos considerar la dualidad de Pontryagin más allá del caso localmente compacto. Elena Martín-Peinador ^[11] demostró en 1995 que si es un grupo topológico abeliano de Hausdorff que satisface la dualidad de Pontryagin, y el emparejamiento de evaluación natural es (conjuntamente) continuo, ^[a] entonces es localmente compacto. Como corolario, todos los ejemplos no localmente compactos de dualidad de Pontryagin son grupos donde el emparejamiento no es (conjuntamente) continuo. ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\begin{cases}G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} \\(x,\chi )\mapsto \chi (x)\end{cases}}}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$

Otra forma de generalizar la dualidad de Pontryagin a clases más amplias de grupos topológicos conmutativos es dotar al grupo dual de una topología ligeramente diferente, a saber, la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados . Los grupos que satisfacen la identidad bajo este supuesto ^[b] se denominan grupos estereotípicos . ^[5] Esta clase también es muy amplia (y contiene grupos abelianos localmente compactos), pero es más estrecha que la clase de grupos reflexivos. ^[5] ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$

Dualidad de Pontryagin para espacios vectoriales topológicos

En 1952 Marianne F. Smith ^[12] notó que los espacios de Banach y los espacios reflexivos , al ser considerados como grupos topológicos (con la operación de grupo aditivo), satisfacen la dualidad de Pontryagin. Posteriormente BS Brudovskiĭ, ^[13] William C. Waterhouse ^[14] y K. Brauner ^{[15] demostraron que este resultado puede extenderse a la clase de todos} los espacios de barril cuasicompletos (en particular, a todos los espacios de Fréchet ). En la década de 1990 Sergei Akbarov ^[16] dio una descripción de la clase de los espacios vectoriales topológicos que satisfacen una propiedad más fuerte que la reflexividad clásica de Pontryagin, a saber, la identidad donde significa el espacio de todos los funcionales lineales continuos dotados de la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados en (y significa el dual a en el mismo sentido). Los espacios de esta clase se denominan espacios estereotípicos , y la teoría correspondiente encontró una serie de aplicaciones en el análisis funcional y la geometría, incluida la generalización de la dualidad de Pontryagin para grupos topológicos no conmutativos. $${\displaystyle (X^{\star })^{\star }\cong X}$$ ${\displaystyle X^{\star }}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X^{\star })^{\star }}$ ${\displaystyle X^{\star }}$

Dualidades para grupos topológicos no conmutativos

Para grupos localmente compactos no conmutativos, la construcción clásica de Pontryagin deja de funcionar por varias razones, en particular, porque los caracteres no siempre separan los puntos de , y las representaciones irreducibles de no siempre son unidimensionales. Al mismo tiempo, no está claro cómo introducir la multiplicación en el conjunto de representaciones unitarias irreducibles de , e incluso no está claro si este conjunto es una buena opción para el papel del objeto dual para . Por lo tanto, el problema de construir la dualidad en esta situación requiere un replanteamiento completo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Las teorías construidas hasta la fecha se dividen en dos grupos principales: las teorías en las que el objeto dual tiene la misma naturaleza que el objeto fuente (como en la propia dualidad de Pontryagin), y las teorías en las que el objeto fuente y su dual difieren entre sí tan radicalmente que es imposible contarlos como objetos de una misma clase.

Las teorías de segundo tipo fueron históricamente las primeras: poco después del trabajo de Pontryagin, Tadao Tannaka (1938) y Mark Kerin (1949) construyeron una teoría de dualidad para grupos compactos arbitrarios conocida ahora como la dualidad de Tannaka-Krein . ^{[17] [18]} En esta teoría, el objeto dual para un grupo no es un grupo sino una categoría de sus representaciones . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (G)}$

Dualidad para grupos finitos.

Las teorías del primer tipo aparecieron más tarde y el ejemplo clave para ellas fue la teoría de dualidad para grupos finitos. ^{[19] [20]} En esta teoría la categoría de grupos finitos está incorporada por la operación de tomar el álgebra de grupos (sobre ) en la categoría de álgebras de Hopf de dimensión finita , de modo que el funtor de dualidad de Pontryagin se convierte en la operación de tomar el espacio vectorial dual (que es un funtor de dualidad en la categoría de álgebras de Hopf de dimensión finita). ^[20] ${\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle H\mapsto H^{*}}$

En 1973 Leonid I. Vainerman , George I. Kac, Michel Enock y Jean-Marie Schwartz construyeron una teoría general de este tipo para todos los grupos localmente compactos. ^[21] A partir de la década de 1980 se retomó la investigación en esta área tras el descubrimiento de los grupos cuánticos , a los que comenzaron a transferirse activamente las teorías construidas. ^[22] Estas teorías están formuladas en el lenguaje de las C*-álgebras , o álgebras de Von Neumann , y una de sus variantes es la reciente teoría de los grupos cuánticos localmente compactos . ^{[23] [22]}

Uno de los inconvenientes de estas teorías generales, sin embargo, es que en ellas los objetos que generalizan el concepto de grupo no son álgebras de Hopf en el sentido algebraico habitual. ^[20] Esta deficiencia puede corregirse (para algunas clases de grupos) en el marco de las teorías de dualidad construidas sobre la base de la noción de envolvente del álgebra topológica. ^[24]

Véase también

• Teorema de Peter-Weyl
• La dualidad de Cartier
• Espacio estereotipado

Notas

1. La continuidad conjunta significa aquí que la función es continua como función entre espacios topológicos, donde está dotada de la topología del producto cartesiano. Este resultado no se cumple si se supone que la función es continua por separado, o continua en el sentido estereotipado . ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$
2. Donde el segundo grupo dual es dual en el mismo sentido. ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Citas

1. Hewitt y Ross 1963, (24.2)
2. Morris 1977, Capítulo 4
3. Roeder 1974
4. Onishchik 1984
5. Akbarov y Shavgulidze 2003
6. Chasco, Dikranjan y Martín-Peinador 2012
7. Kaplan 1948
8. Kaplan 1950
9. Venkataraman 1975
10. Ardanza-Trevijano y Chasco 2005
11. Martín-Peinador 1995
12. Smith 1952
13. Brudovskiĭ 1967
14. Waterhouse 1968
15. Brauner 1973
16. Akbarov 2003
17. Hewitt y Ross 1970
18. Kirillov 1976
19. Kirillov 1976, 12.3
20. Akbarov 2009
21. Enock y Schwartz 1992
22. Timmermann 2008
23. Kustermans y Vaes 2000
24. Akbarov 2009, 2017a, 2017b

Referencias

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