Envolvente (teoría de categorías)

En teoría de categorías y campos relacionados de las matemáticas, una envolvente es una construcción que generaliza las operaciones de "completamiento exterior", como el completamiento de un espacio localmente convexo o la compactificación de Stone-Čech de un espacio topológico. Una construcción dual se denomina refinamiento .

Definición

Supongamos que es una categoría, un objeto en , y y dos clases de morfismos en . La definición ^[1] de una envolvente de en la clase con respecto a la clase consta de dos pasos. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Phi }$

Extensión.

• Un morfismo en se denomina una extensión del objeto en la clase de morfismos con respecto a la clase de morfismos , si , y para cualquier morfismo de la clase existe un morfismo único en tal que . ${\displaystyle \sigma :X\to X'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sigma \in \Omega }$ ${\displaystyle \varphi :X\to B}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi ':X'\to B}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi '\circ \sigma }$

Sobre.

• Una extensión del objeto en la clase de morfismos con respecto a la clase de morfismos se llama envolvente de en con respecto a , si para cualquier otra extensión (de en con respecto a ) hay un morfismo único en tal que . El objeto también se llama envolvente de en con respecto a . ${\displaystyle \rho :X\to E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sigma :X\to X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \upsilon :X'\to E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \rho =\upsilon \circ \sigma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Phi }$

Notaciones:

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{\Phi }^{\Omega }X,\qquad E={\text{Env}}_{\Phi }^{\Omega }X.}$

En un caso especial cuando es una clase de todos los morfismos cuyos rangos pertenecen a una clase dada de objetos , es conveniente reemplazar con en las notaciones (y en los términos): ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{\Phi }^{L}X,\qquad E={\text{Env}}_{\Phi }^{L}X.}$

De manera similar, si es una clase de todos los morfismos cuyos rangos pertenecen a una clase dada de objetos , es conveniente reemplazar con en las notaciones (y en los términos): ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{M}^{\Omega }X,\qquad E={\text{Env}}_{M}^{\Omega }X.}$

Por ejemplo, se puede hablar de una envolvente de en la clase de objetos con respecto a la clase de objetos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{M}^{L}X,\qquad E={\text{Env}}_{M}^{L}X.}$

Redes de epimorfismos y funtorialidad

Supóngase que a cada objeto de una categoría se le asigna un subconjunto en la clase de todos los epimorfismos de la categoría , comenzando por , y se cumplen los tres requisitos siguientes: ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({K})}$ ${\displaystyle {K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Epi} ^{X}}$ ${\displaystyle {K}}$ ${\displaystyle X}$

• para cada objeto el conjunto no está vacío y se dirige hacia la izquierda con respecto al preorden heredado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Epi} ^{X}}$

${\displaystyle \forall \sigma ,\sigma '\in {\mathcal {N}}^{X}\quad \exists \rho \in {\mathcal {N}}^{X}\quad \rho \to \sigma \ \&\ \rho \to \sigma ',}$

• para cada objeto el sistema covariante de morfismos generado por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{X}}$

${\displaystyle \{\iota _{\rho }^{\sigma };\ \rho ,\sigma \in {\mathcal {N}}^{X},\ \rho \to \sigma \}}$

tiene un colimite en , llamado limite local en ; ${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$

• para cada morfismo y para cada elemento hay un elemento y un morfismo ^[2] tales que ${\displaystyle \alpha :X\to Y}$ ${\displaystyle \tau \in {\mathcal {N}}^{Y}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {N}}^{X}}$ ${\displaystyle \alpha _{\sigma }^{\tau }:\operatorname {Cod} \sigma \to \operatorname {Cod} \tau }$

${\displaystyle \tau \circ \alpha =\alpha _{\sigma }^{\tau }\circ \sigma .}$

Entonces la familia de conjuntos se llama red de epimorfismos en la categoría . ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{{\mathcal {N}}^{X};\ X\in \operatorname {Ob} ({K})\}}$ ${\displaystyle {K}}$

Ejemplos.

1. Para cada espacio vectorial topológico localmente convexo y para cada entorno cerrado, convexo y equilibrado de cero, consideremos su núcleo y el espacio cociente dotado de la topología normada con la bola unidad , y sea la compleción de (obviamente, es un espacio de Banach , y se llama espacio de Banach cociente de por ). El sistema de aplicaciones naturales es una red de epimorfismos en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {Ker} U=\bigcap _{\varepsilon >0}\varepsilon \cdot U}$ ${\displaystyle X/\operatorname {Ker} U}$ ${\displaystyle U+\operatorname {Ker} U}$ ${\displaystyle X/U=(X/\operatorname {Ker} U)^{\blacktriangledown }}$ ${\displaystyle X/\operatorname {Ker} U}$ ${\displaystyle X/U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X\to X/U}$ ${\displaystyle {\text{LCS}}}$
2. Para cada álgebra topológica localmente convexa y para cada vecindad submultiplicativa cerrada convexa equilibrada de cero , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$

${\displaystyle U\cdot U\subseteq U}$,

Consideremos de nuevo su núcleo y el álgebra cociente dotada de la topología normada con la bola unidad , y sea la compleción de (obviamente, es un álgebra de Banach , y se llama álgebra de Banach cociente de por ). El sistema de aplicaciones naturales es una red de epimorfismos en la categoría de álgebras topológicas localmente convexas. ${\displaystyle \operatorname {Ker} U=\bigcap _{\varepsilon >0}\varepsilon \cdot U}$ ${\displaystyle A/\operatorname {Ker} U}$ ${\displaystyle U+\operatorname {Ker} U}$ ${\displaystyle A/U=(A/\operatorname {Ker} U)^{\blacktriangledown }}$ ${\displaystyle A/\operatorname {Ker} U}$ ${\displaystyle A/U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\to A/U}$ ${\displaystyle {\text{LCS}}}$

Teorema. ^[3] Sea una red de epimorfismos en una categoría que genera una clase de morfismos en su interior: ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {K}}$ ${\displaystyle \varPhi }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq \varPhi \subseteq \operatorname {Mor} ({K})\circ {\mathcal {N}}.}$

Entonces, para cualquier clase de epimorfismos en , que contiene todos los límites locales , ${\displaystyle \varOmega }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}}$

${\displaystyle \{\varprojlim {\mathcal {N}}^{X};\ X\in \operatorname {Ob} (K)\}\subseteq \varOmega \subseteq \operatorname {Epi} (K),}$

Se cumple lo siguiente:

(i) para cada objeto en el límite local hay una envolvente ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {K}}$ ${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}}$ con respecto a : ${\displaystyle \operatorname {env} _{\varPhi }^{\varOmega }X}$ ${\displaystyle \varOmega }$ ${\displaystyle \varPhi }$

${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}=\operatorname {env} _{\varPhi }^{\varOmega }X,}$

(ii) la envolvente puede definirse como un funtor. ${\displaystyle \operatorname {Env} _{\varPhi }^{\varOmega }}$

Teorema. ^[4] Sea una red de epimorfismos en una categoría que genera una clase de morfismos en su interior: ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {K}}$ ${\displaystyle \varPhi }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq \varPhi \subseteq \operatorname {Mor} ({K})\circ {\mathcal {N}}.}$

Entonces, para cualquier clase monomórficamente complementable de epimorfismos en tal que sea co-bien-potenciada ^[5] en la envolvente se puede definir como un funtor. ${\displaystyle \varOmega }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varOmega }$ ${\displaystyle \operatorname {Env} _{\varPhi }^{\varOmega }}$

Teorema. ^[6] Supongamos que una categoría y una clase de objetos tienen las siguientes propiedades: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

(i) es co-completo , ${\displaystyle K}$

(ii) tiene descomposición nodal , ${\displaystyle K}$

(iii) es co-bien potenciado en la clase , ^[7] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Epi} }$

(iv) va desde : ${\displaystyle \operatorname {Mor} (K,L)}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \forall X\in \operatorname {Ob} (K)\quad \exists \varphi \in \operatorname {Mor} (K)\quad \operatorname {Dom} \varphi =X\quad \&\quad \operatorname {Cod} \varphi \in L}$,

(v) difiere morfismos en el exterior: para dos morfismos paralelos diferentes hay un morfismo tal que , ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha \neq \beta :X\to Y}$ ${\displaystyle \varphi :Y\to Z\in L}$ ${\displaystyle \varphi \circ \alpha \neq \varphi \circ \beta }$

(vi) está cerrado respecto del paso a los límites, ${\displaystyle L}$

(vii) está cerrado con respecto al paso del codominio de un morfismo a su imagen nodal : si , entonces . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {Cod} \alpha \in L}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} _{\infty }\alpha \in L}$

Entonces la envolvente puede definirse como un funtor. ${\displaystyle \operatorname {Env} _{L}^{L}}$

Ejemplos

En la siguiente lista, todos los sobres se pueden definir como funtores.

1. La completitud de un espacio vectorial topológico localmente convexo es una envolvente de en la categoría de todos los espacios localmente convexos con respecto a la clase de espacios de Banach : ^[8] . Obviamente, es el límite inverso de los espacios de Banach cocientes (definidos anteriormente): ${\displaystyle X^{\blacktriangledown }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{LCS}}}$ ${\displaystyle {\text{Ban}}}$ ${\displaystyle X^{\blacktriangledown }={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{LCS}}X}$ ${\displaystyle X^{\blacktriangledown }}$ ${\displaystyle X/U}$

${\displaystyle X^{\blacktriangledown }=\lim _{0\gets U}X/U.}$

2. La compactificación de Stone-Čech de un espacio topológico de Tikhonov es una envolvente de en la categoría de todos los espacios de Tikhonov en la clase de espacios compactos con respecto a la misma clase : ^[8] ${\displaystyle \beta :X\to \beta X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Tikh}}}$ ${\displaystyle {\text{Com}}}$ ${\displaystyle {\text{Com}}}$ ${\displaystyle \beta X={\text{Env}}_{\text{Com}}^{\text{Com}}X.}$

3. La envolvente de Arens-Michael ^{[9] [10] [11] [12]} de un álgebra topológica localmente convexa con una multiplicación continua separada es una envolvente de en la categoría de todas las álgebras topológicas (localmente convexas) (con multiplicaciones continuas separadas) en la clase con respecto a la clase de álgebras de Banach: . El álgebra es el límite inverso de las álgebras de Banach cocientes (definidas anteriormente): ${\displaystyle A^{\text{AM}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{TopAlg}}}$ ${\displaystyle {\text{TopAlg}}}$ ${\displaystyle {\text{Ban}}}$ ${\displaystyle A^{\text{AM}}={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{TopAlg}}A}$ ${\displaystyle A^{\text{AM}}}$ ${\displaystyle A/U}$

${\displaystyle A^{\text{AM}}=\lim _{0\gets U}A/U.}$

4. La envolvente holomorfa ^[13] de un álgebra estereotípica es una envolvente de en la categoría de todas las álgebras estereotípicas en la clase de todos los epimorfismos densos ^[14] con respecto a la clase de todas las álgebras de Banach: ${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {O}}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{SteAlg}}}$ ${\displaystyle {\text{DEpi}}}$ ${\displaystyle {\text{SteAlg}}}$ ${\displaystyle {\text{Ban}}}$ ${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {O}}A={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{DEpi}}A.}$

5. La envolvente suave ^[15] de un álgebra estereotípica es una envolvente de en la categoría de todas las álgebras estereotípicas involutivas en la clase de todos los epimorfismos densos ^[14] con respecto a la clase de todos los homomorfismos diferenciales en varias C*-álgebras con elementos nilpotentes autoadjuntos unidos: ${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {E}}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$ ${\displaystyle {\text{DEpi}}}$ ${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$ ${\displaystyle {\text{DiffMor}}}$ ${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {E}}A={\text{Env}}_{\text{DiffMor}}^{\text{DEpi}}A.}$

6. La envolvente continua ^{[16] [17]} de un álgebra estereotípica es una envolvente de en la categoría de todas las álgebras estereotípicas involutivas en la clase de todos los epimorfismos densos ^[14] con respecto a la clase de todas las C*-álgebras: ${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {C}}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$ ${\displaystyle {\text{DEpi}}}$ ${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$ ${\displaystyle {\text{C}}^{*}}$ ${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {C}}A={\text{Env}}_{{\text{C}}^{*}}^{\text{DEpi}}A.}$

Aplicaciones

Las envolventes aparecen como funtores estándar en varios campos de las matemáticas. Aparte de los ejemplos dados anteriormente,

• La transformada de Gelfand de un álgebra estereotípica involutiva conmutativa es una envolvente continua de ; ^{[18] [19]} ${\displaystyle G_{A}:A\to C({\text{Spec}}A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

• Para cada grupo abeliano localmente compacto, la transformada de Fourier es una envolvente continua del álgebra de grupos estereotípicos de medidas con soporte compacto en . ^[18] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{A}:C^{\star }(G)\to C({\widehat {G}})}$ ${\displaystyle C^{\star }(G)}$ ${\displaystyle G}$

En el análisis armónico abstracto, la noción de envolvente juega un papel clave en las generalizaciones de la teoría de dualidad de Pontryagin ^[20] a las clases de grupos no conmutativos: las envolventes holomorfas, suaves y continuas de las álgebras estereotípicas (en los ejemplos dados anteriormente) conducen respectivamente a las construcciones de las dualidades holomorfas, suaves y continuas en grandes disciplinas geométricas – geometría compleja , geometría diferencial y topología – para ciertas clases de grupos topológicos (no necesariamente conmutativos) considerados en estas disciplinas ( grupos algebraicos afines y algunas clases de grupos de Lie y grupos de Moore). ^{[21] [18] [20] [22]}

Véase también

• Refinamiento

Notas

1. Akbarov 2016, pág. 42.
2. significa el codominio del morfismo . ${\displaystyle \operatorname {Cod} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$
3. Akbarov 2016, Teorema 3.37.
4. Akbarov 2016, Teorema 3.38.
5. Se dice que una categoría es co-bien potenciada en una clase de morfismos , si para cada objeto la categoría de todos los morfismos en marcha es esqueléticamente pequeña. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varOmega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varOmega ^{X}}$ ${\displaystyle \varOmega }$ ${\displaystyle X}$
6. Akbarov 2016, Teorema 3.60.
7. Se dice que una categoría es co-bien potenciada en la clase de epimorfismos , si para cada objeto la categoría de todos los morfismos en ir desde es esqueléticamente pequeña. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Epi} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Epi} ^{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Epi} }$ ${\displaystyle X}$
8. Akbarov 2016, pág. 50.
9. Helemskii 1993, pág. 264.
10. Pirkovskii 2008.
11. Akbarov 2009, pág. 542.
12. Akbarov 2010, pág. 275.
13. Akbarov 2016, pág. 170.
14. Un morfismo (es decir, un homomorfismo unital continuo) de álgebras estereotípicas se denomina denso si su conjunto de valores es denso en . ${\displaystyle \varphi :A\to B}$ ${\displaystyle \varphi (A)}$ ${\displaystyle B}$
15. Akbarov 2017b, pág. 741.
16. Akbarov 2016, pág. 179.
17. Akbarov 2017b, pág. 673.
18. Akbarov 2016.
19. Akbarov 2013.
20. Akbarov 2017b.
21. Akbarov 2009.
22. Kuznetsova 2013.

Referencias

• Helemskii, A.Ya. (1993). Álgebras de Banach y localmente convexas . Oxford Science Publications. Clarendon Press .
• Pirkovskii, A.Yu. (2008). "Envolventes de Arens-Michael, epimorfismos homológicos y álgebras relativamente cuasi-libres" (PDF) . Trans. Moscú Math. Soc . 69 : 27–104. doi : 10.1090/S0077-1554-08-00169-6 .
• Akbarov, SS (2009). "Funciones holomorfas de tipo exponencial y dualidad para grupos de Stein con componente algebraico conectado de identidad". Revista de Ciencias Matemáticas . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . doi :10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID  115153766.
• Akbarov, SS (2010). Álgebras estereotípicas y dualidad para grupos de Stein (Tesis). Universidad Estatal de Moscú.
• Akbarov, SS (2016). "Envolventes y refinamientos en categorías, con aplicaciones al análisis funcional". Dissertationes Mathematicae . 513 : 1–188. arXiv : 1110.2013 . doi :10.4064/dm702-12-2015. S2CID  118895911.
• Akbarov, SS (2017a). "Envolventes continuas y suaves de álgebras topológicas. Parte 1". Revista de Ciencias Matemáticas . 227 (5): 531–668. arXiv : 1303.2424 . doi :10.1007/s10958-017-3599-6. S2CID  126018582.
• Akbarov, SS (2017b). "Envolventes continuas y suaves de álgebras topológicas. Parte 2". Revista de Ciencias Matemáticas . 227 (6): 669–789. arXiv : 1303.2424 . doi :10.1007/s10958-017-3600-4. S2CID  128246373.
• Akbarov, SS (2013). "La transformada de Gelfand como una envolvente C*". Notas matemáticas . 94 (5–6): 814–815. doi :10.1134/S000143461311014X. S2CID  121354607.
• Kuznetsova, Y. (2013). "Una dualidad para los grupos de Moore". Journal of Operator Theory . 69 (2): 101–130. arXiv : 0907.1409 . Código Bibliográfico :2009arXiv0907.1409K. doi :10.7900/jot.2011mar17.1920. S2CID  115177410.