Dibujo infantil

Dibujo gráfico utilizado para estudiar superficies de Riemann

En matemáticas , un dessin d'enfant es un tipo de incrustación de grafos que se utiliza para estudiar superficies de Riemann y proporcionar invariantes combinatorios para la acción del grupo absoluto de Galois de los números racionales . El nombre de estas incrustaciones es la palabra francesa para "dibujo de niño"; su plural es dessins d'enfant , "dibujos de niños", o dessins d'enfants , "dibujos de niños".

Un dibujo infantil es un grafo , con sus vértices coloreados alternativamente en blanco y negro, incrustado en una superficie orientada que, en muchos casos, es simplemente un plano . Para que exista la coloración, el grafo debe ser bipartito . Se requiere que las caras de la incrustación sean discos topológicos. La superficie y la incrustación pueden describirse combinatoriamente utilizando un sistema de rotación , un orden cíclico de las aristas que rodean cada vértice del grafo que describe el orden en el que las aristas serían cruzadas por un camino que viaja en el sentido de las agujas del reloj sobre la superficie en un pequeño bucle alrededor del vértice.

Cualquier dibujo puede proporcionar a la superficie en la que se encuentra incrustado una estructura como superficie de Riemann. Es natural preguntarse qué superficies de Riemann surgen de esta manera. La respuesta la proporciona el teorema de Belyi , que establece que las superficies de Riemann que pueden describirse mediante dibujos son precisamente aquellas que pueden definirse como curvas algebraicas sobre el campo de números algebraicos . El grupo absoluto de Galois transforma estas curvas particulares entre sí y, por lo tanto, también transforma los dibujos subyacentes.

Para un tratamiento más detallado de este tema, véase Schneps (1994) o Lando & Zvonkin (2004).

Historia

Siglo XIX

Las primeras protoformas de dibujos infantiles aparecieron ya en 1856 en el cálculo icosiano de William Rowan Hamilton ; ^[1] en términos modernos, son trayectorias hamiltonianas en el gráfico icosaédrico.

Felix Klein utilizó diseños de niños modernos reconocibles y funciones de Belyi . ^[2] Klein llamó a estos diagramas Linienzüge (en alemán, plural de Linienzug "trayecto de línea", también utilizado como término para polígono ); utilizó un círculo blanco para la preimagen de 0 y un '+' para la preimagen de 1, en lugar de un círculo negro para 0 y un círculo blanco para 1 como en la notación moderna. ^[3] Utilizó estos diagramas para construir una cubierta de 11 pliegues de la esfera de Riemann por sí misma, con grupo de monodromía , siguiendo construcciones anteriores de una cubierta de 7 pliegues con monodromía conectada al cuartico de Klein . ^[4] Todos estos estaban relacionados con sus investigaciones de la geometría de la ecuación quíntica y el grupo , recopilados en sus famosas Lecciones sobre el icosaedro de 1884/88 . Las tres superficies construidas de esta manera a partir de estos tres grupos se demostraron mucho más tarde que estaban estrechamente relacionadas a través del fenómeno de la trinidad . ${\displaystyle PSL(2,11)}$ ${\displaystyle PSL(2,7)}$ ${\displaystyle A_{5}=PSL(2,5)}$

Siglo XX

Los dibujos infantiles en su forma moderna fueron redescubiertos más de un siglo después y nombrados por Alexander Grothendieck en 1984 en su Esquisse d'un Programme . ^[5] Zapponi (2003) cita a Grothendieck con respecto a su descubrimiento de la acción de Galois en los dibujos infantiles:

Este descubrimiento, técnicamente tan sencillo, me causó una gran impresión y representó un punto de inflexión decisivo en el curso de mis reflexiones, un cambio, en particular, de mi centro de interés por las matemáticas, que de repente se encontró fuertemente concentrado. No creo que un hecho matemático me haya impresionado nunca con tanta fuerza como éste, ni haya tenido un impacto psicológico comparable. Esto se debe, sin duda, a la naturaleza muy familiar y no técnica de los objetos considerados, de los que cualquier dibujo infantil garabateado en un trozo de papel (al menos si el dibujo se hace sin levantar el lápiz) es un ejemplo perfectamente explícito. A un dibujo de este tipo se asocian sutiles invariantes aritméticas, que se trastocan por completo en cuanto añadimos un trazo más.

Parte de la teoría ya había sido desarrollada independientemente por Jones y Singerman (1978) algún tiempo antes que Grothendieck. Ellos describen la correspondencia entre aplicaciones en superficies topológicas, aplicaciones en superficies de Riemann y grupos con ciertos generadores distinguidos, pero no consideran la acción de Galois. Su noción de una aplicación corresponde a una instancia particular de un dessin d'enfant. El trabajo posterior de Bryant y Singerman (1985) extiende el tratamiento a superficies con un límite.

Superficies de Riemann y pares de Belyi

Los números complejos , junto con un punto especial designado como , forman un espacio topológico conocido como esfera de Riemann . Cualquier polinomio , y más generalmente cualquier función racional donde y son polinomios, transforma la esfera de Riemann al mapearla sobre sí misma. Consideremos, por ejemplo, ^[6] la función racional ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle f(x)=-{\frac {(x-1)^{3}(x-9)}{64x}}=1-{\frac {(x^{2}-6x-3)^{2}}{64x}}.}$$

El dibujo infantil que surge de la función racional . No está a escala. ${\displaystyle f=-(x-1)^{3}(x-9)/64x}$

En la mayoría de los puntos de la esfera de Riemann, esta transformación es un homeomorfismo local : asigna un disco pequeño centrado en cualquier punto de manera uno a uno a otro disco. Sin embargo, en ciertos puntos críticos , la asignación es más complicada y asigna un disco centrado en el punto de manera uno a uno a su imagen. El número se conoce como el grado del punto crítico y la imagen transformada de un punto crítico se conoce como un valor crítico . El ejemplo dado anteriormente, , tiene los siguientes puntos críticos y valores críticos. (También se incluyen algunos puntos de la esfera de Riemann que, aunque no son críticos en sí mismos, se asignan a uno de los valores críticos; estos se indican por tener grado uno). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

Se puede formar un dibujo infantil colocando puntos negros en las preimágenes de 0 (es decir, en 1 y 9), puntos blancos en las preimágenes de 1 (es decir, en ) y arcos en las preimágenes del segmento de línea [0, 1]. Este segmento de línea tiene cuatro preimágenes, dos a lo largo del segmento de línea de 1 a 9 y dos que forman una curva cerrada simple que se extiende desde 1 hacia sí misma, rodeando a 0; el dibujo resultante se muestra en la figura. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 3\pm 2{\sqrt {3}}}$

Transformar un dibujo infantil en un patrón de pegado para semiespacios de una superficie de Riemann incluyendo puntos en el infinito.

En la otra dirección, a partir de este dibujo, descrito como un objeto combinatorio sin especificar las ubicaciones de los puntos críticos, se puede formar una superficie compacta de Riemann y una función desde esa superficie hasta la esfera de Riemann, equivalente a la función a partir de la cual se construyó originalmente el dibujo. Para ello, se coloca un punto etiquetado dentro de cada región del dibujo (mostrados como los puntos rojos en la segunda figura) y se triangula cada región conectando este punto con los puntos negros y blancos que forman el límite de la región, conectando varias veces con el mismo punto negro o blanco si aparece varias veces en el límite de la región. Cada triángulo en la triangulación tiene tres vértices etiquetados 0 (para los puntos negros), 1 (para los puntos blancos) o . Para cada triángulo, sustituya un semiplano , ya sea el semiplano superior para un triángulo que tenga 0, 1 y en orden antihorario o el semiplano inferior para un triángulo que los tenga en orden horario, y para cada par adyacente de triángulos pegue los semiplanos correspondientes a lo largo de la porción de sus límites indicada por las etiquetas de los vértices. La superficie de Riemann resultante se puede mapear en la esfera de Riemann utilizando el mapa de identidad dentro de cada semiplano. Por lo tanto, el dessin d'enfant formado a partir de es suficiente para describirse a sí mismo hasta el biholomorfismo . Sin embargo, esta construcción identifica la superficie de Riemann solo como una variedad con estructura compleja; no construye una incrustación de esta variedad como una curva algebraica en el plano proyectivo complejo , aunque tal incrustación siempre existe. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

La misma construcción se aplica de manera más general cuando es cualquier superficie de Riemann y es una función de Belyi ; es decir, una función holomorfa de a la esfera de Riemann que tiene solo 0, 1 y como valores críticos. Un par de este tipo se conoce como par de Belyi . A partir de cualquier par de Belyi se puede formar un dessin d'enfant, dibujado en la superficie , que tiene sus puntos negros en las preimágenes de 0, sus puntos blancos en las preimágenes de 1 y sus bordes colocados a lo largo de las preimágenes del segmento de línea . A la inversa, cualquier dessin d'enfant en cualquier superficie se puede utilizar para definir instrucciones de pegado para una colección de semiespacios que juntos forman una superficie de Riemann homeomorfa a ; la asignación de cada semiespacio por la identidad a la esfera de Riemann produce una función de Belyi en , y por lo tanto conduce a un par de Belyi . Cualesquiera dos pares de Belyi que conduzcan a dessins d'enfant combinatoriamente equivalentes son biholomorfos, y el teorema de Belyi implica que, para cualquier superficie de Riemann compacta definida sobre los números algebraicos , hay una función de Belyi y un dessin d'enfant que proporciona una descripción combinatoria de ambos y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)}$ ${\displaystyle f^{-1}([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Mapas e hipermapas

La triangulación de la esfera con el grupo de triángulos (2,3,5), generada mediante el uso del dodecaedro regular para construir un dibujo limpio.

La triangulación del plano hiperbólico con el grupo de triángulos (2,3,7) generado como la cubierta universal de la cuártica de Klein

Un vértice en un dibujo tiene un grado de teoría de grafos , el número de aristas incidentes, que es igual a su grado como punto crítico de la función de Belyi. En el ejemplo anterior, todos los puntos blancos tienen grado dos; los dibujos con la propiedad de que cada punto blanco tiene dos aristas se conocen como limpios , y sus funciones de Belyi correspondientes se llaman puras . Cuando esto sucede, uno puede describir el dibujo mediante un grafo incrustado más simple, uno que tenga solo los puntos negros como sus vértices y que tenga una arista para cada punto blanco con puntos finales en los dos vecinos negros del punto blanco. Por ejemplo, el dibujo que se muestra en la figura podría dibujarse de manera más simple de esta manera como un par de puntos negros con una arista entre ellos y un bucle propio en uno de los puntos. Es común dibujar solo los puntos negros de un dibujo limpio y dejar los puntos blancos sin marcar; uno puede recuperar el dibujo completo agregando un punto blanco en el punto medio de cada arista del mapa.

Por lo tanto, cualquier incrustación de un gráfico en una superficie en la que cada cara es un disco (es decir, un mapa topológico) da lugar a un dessin al tratar los vértices del gráfico como puntos negros de un dessin y colocar puntos blancos en el punto medio de cada borde del gráfico incrustado. Si un mapa corresponde a una función de Belyi , su mapa dual (el dessin formado a partir de las preimágenes del segmento de línea ) corresponde al inverso multiplicativo . ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [1,\infty ]}$ ${\displaystyle 1/f}$

Un dibujo que no está limpio se puede transformar en un dibujo limpio en la misma superficie, recoloreando todos sus puntos como negros y agregando nuevos puntos blancos en cada uno de sus bordes. La transformación correspondiente de pares de Belyi es reemplazar una función de Belyi por la función de Belyi pura . Se pueden calcular los puntos críticos de directamente a partir de esta fórmula: , , y . Por lo tanto, es la preimagen debajo del punto medio del segmento de línea , y los bordes del dibujo formado a partir de subdividen los bordes del dibujo formado a partir de . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma =4\beta (1-\beta )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(0)=\beta ^{-1}(0)\cup \beta ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(\infty )=\beta ^{-1}(\infty )}$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)=\beta ^{-1}({\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta }$

Bajo la interpretación de un dibujo limpio como un mapa, un dibujo arbitrario es un hipermapa : es decir, un dibujo de un hipergrafo en el que los puntos negros representan vértices y los puntos blancos representan hiperaristas.

Mapas regulares y grupos de triángulos

Los cinco sólidos platónicos (el tetraedro regular , el cubo , el octaedro , el dodecaedro y el icosaedro ), vistos como superficies bidimensionales, tienen la propiedad de que cualquier bandera (un triple de vértice, arista y cara que se encuentran entre sí) puede transformarse en cualquier otra bandera mediante una simetría de la superficie. De manera más general, una función incrustada en una superficie con la misma propiedad, es decir, que cualquier bandera puede transformarse en cualquier otra bandera mediante una simetría, se denomina función regular .

Si se utiliza una función regular para generar un dibujo limpio, y la función resultante se utiliza para generar una superficie de Riemann triangulada, entonces los bordes de los triángulos se encuentran a lo largo de las líneas de simetría de la superficie, y las reflexiones a través de esas líneas generan un grupo de simetría llamado grupo de triángulos , para el cual los triángulos forman los dominios fundamentales. Por ejemplo, la figura muestra el conjunto de triángulos generados de esta manera a partir de un dodecaedro regular. Cuando la función regular se encuentra en una superficie cuyo género es mayor que uno, la cobertura universal de la superficie es el plano hiperbólico , y el grupo de triángulos en el plano hiperbólico formado a partir de la triangulación levantada es un grupo fuchsiano (cocompacto) que representa un conjunto discreto de isometrías del plano hiperbólico. En este caso, la superficie de partida es el cociente del plano hiperbólico por un subgrupo de índice finito Γ en este grupo.

Por el contrario, dada una superficie de Riemann que es un cociente de un teselado (un teselado de la esfera, plano euclidiano o plano hiperbólico por triángulos con ángulos , , y , el dessin asociado es el grafo de Cayley dado por los generadores de orden dos y orden tres del grupo, o equivalentemente, el teselado de la misma superficie por -gonos que se encuentran tres por vértice. Los vértices de este teselado dan puntos negros del dessin, los centros de los bordes dan puntos blancos y los centros de las caras dan los puntos sobre el infinito. ${\displaystyle (2,3,n)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{n}}}$ ${\displaystyle n}$

Árboles y polinomios de Shabat

El dessin d'enfant correspondiente al monomio sextico . ${\displaystyle p(x)=x^{6}}$

Los polinomios de Chebyshev y los correspondientes dibujos de niños, gráficos de trayectorias coloreados alternativamente .

Los grafos bipartitos más simples son los árboles . Cualquier incrustación de un árbol tiene una sola región y, por lo tanto, por la fórmula de Euler se encuentra en una superficie esférica. El par de Belyi correspondiente forma una transformación de la esfera de Riemann que, si uno coloca el polo en , puede representarse como un polinomio . A la inversa, cualquier polinomio con 0 y 1 como sus valores críticos finitos forma una función de Belyi desde la esfera de Riemann hasta sí misma, que tiene un único punto crítico de valor infinito y corresponde a un dessin d'enfant que es un árbol. El grado del polinomio es igual al número de aristas en el árbol correspondiente. Una función de Belyi polinómica de este tipo se conoce como polinomio de Shabat , ^[8] en honor a George Shabat. ${\displaystyle \infty }$

Por ejemplo, tomemos como el monomio que tiene solo un punto crítico finito y un valor crítico, ambos cero . Aunque 1 no es un valor crítico para , aún es posible interpretarlo como una función de Belyi desde la esfera de Riemann hacia sí misma porque todos sus valores críticos se encuentran en el conjunto . El dibujo infantil correspondiente es una estrella que tiene un vértice central negro conectado a hojas blancas (un grafo bipartito completo ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x)=x^{d}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K_{1,d}}$

En términos más generales, un polinomio que tiene dos valores críticos puede denominarse polinomio de Shabat. Un polinomio de este tipo puede normalizarse en una función de Belyi, con sus valores críticos en 0 y 1, mediante la fórmula, pero puede ser más conveniente dejarlo en su forma no normalizada. ^[9] ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ $${\displaystyle q(x)={\frac {p(x)-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}},}$$ ${\displaystyle p}$

Una familia importante de ejemplos de polinomios de Shabat son los polinomios de Chebyshev de primera clase, , que tienen −1 y 1 como valores críticos. Los dibujos correspondientes toman la forma de grafos de trayectoria , que alternan entre vértices blancos y negros, con aristas en la trayectoria. Debido a la conexión entre los polinomios de Shabat y los polinomios de Chebyshev, los propios polinomios de Shabat a veces se denominan polinomios de Chebyshev generalizados. ^{[9] [10]} ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$

En general, a distintos árboles les corresponderán distintos polinomios de Shabat, al igual que a distintas incrustaciones o coloraciones del mismo árbol. Hasta la normalización y las transformaciones lineales de su argumento, el polinomio de Shabat se determina de forma única a partir de una coloración de un árbol incrustado, pero no siempre es sencillo encontrar un polinomio de Shabat que tenga un árbol incrustado dado como su dibujo infantil.

El grupo absoluto de Galois y sus invariantes

Dos dibujos conjugados de niños

El polinomio puede convertirse en un polinomio de Shabat eligiendo ^[11] Las dos opciones de conducen a dos funciones Belyi y . Estas funciones, aunque están estrechamente relacionadas entre sí, no son equivalentes, ya que se describen mediante los dos árboles no isomorfos que se muestran en la figura. $${\displaystyle p(x)=x^{3}(x^{2}-2x+a)^{2}\,}$$ $${\displaystyle a={\frac {34\pm 6{\sqrt {21}}}{7}}.}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

Sin embargo, como estos polinomios se definen sobre el cuerpo de números algebraicos , pueden transformarse mediante la acción del grupo absoluto de Galois de los números racionales. Un elemento de que se transforma en se transformará en y viceversa, y por lo tanto también se puede decir que transforma cada uno de los dos árboles que se muestran en la figura en el otro árbol. De manera más general, debido al hecho de que los valores críticos de cualquier función de Belyi son los racionales puros 0, 1 y , estos valores críticos no cambian por la acción de Galois, por lo que esta acción lleva pares de Belyi a otros pares de Belyi. Se puede definir una acción de sobre cualquier dessin d'enfant por la acción correspondiente sobre pares de Belyi; esta acción, por ejemplo, permuta los dos árboles que se muestran en la figura. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\sqrt {21}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {21}}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Debido al teorema de Belyi, la acción de sobre los dibujos es fiel (es decir, cada dos elementos de definen diferentes permutaciones sobre el conjunto de dibujos), ^[12] por lo que el estudio de los dibujos infantiles puede decirnos mucho sobre sí mismo. En este sentido, es de gran interés entender qué dibujos pueden transformarse entre sí por la acción de y cuáles no. Por ejemplo, se puede observar que los dos árboles mostrados tienen las mismas secuencias de grados para sus nodos negros y blancos: ambos tienen un nodo negro de grado tres, dos nodos negros de grado dos, dos nodos blancos de grado dos y tres nodos blancos de grado uno. Esta igualdad no es una coincidencia: siempre que se transforma un dibujo en otro, ambos tendrán la misma secuencia de grados. La secuencia de grados es un invariante conocido de la acción de Galois, pero no el único invariante. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

El estabilizador de un dibujo es el subgrupo de que consiste en elementos del grupo que dejan el dibujo inalterado. Debido a la correspondencia de Galois entre subgrupos de y cuerpos de números algebraicos, el estabilizador corresponde a un cuerpo, el cuerpo de módulos del dibujo . Una órbita de un dibujo es el conjunto de todos los demás dibujos en los que puede transformarse; debido al grado invariante, las órbitas son necesariamente finitas y los estabilizadores son de índice finito . Se puede definir de manera similar el estabilizador de una órbita (el subgrupo que fija todos los elementos de la órbita) y el cuerpo correspondiente de módulos de la órbita, otro invariante del dibujo. El estabilizador de la órbita es el subgrupo normal máximo de contenido en el estabilizador del dibujo, y el cuerpo de módulos de la órbita corresponde a la extensión normal más pequeña de que contiene el cuerpo de módulos del dibujo. Por ejemplo, para los dos dessins conjugados considerados en esta sección, el campo de módulos de la órbita es . Las dos funciones de Belyi y de este ejemplo están definidas sobre el campo de módulos, pero existen dessins para los cuales el campo de definición de la función de Belyi debe ser mayor que el campo de módulos. ^[13] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

Notas

1. Hamilton (1856). Véase también Jones (1995).
2. Klein (1879).
3. Le Bruyn (2008).
4. Klein (1878–1879a); Klein (1878-1879b).
5. Grothendieck (1984)
6. Este ejemplo fue sugerido por Lando y Zvonkin (2004), pp. 109-110.
7. Lando y Zvonkin (2004), págs. 120-121.
8. Girondo y González-Diez (2012) p. 252
9. Lando y Zvonkin (2004), pág. 82.
10. Jones, G. y Streit, M. "Grupos de Galois, grupos de monodromía y grupos cartográficos", pág. 43 en Schneps & Lochak (2007) pp. 25–66. Zbl  0898.14012
11. Lando y Zvonkin (2004), págs. 90 y 91. Para los fines de este ejemplo, ignore la solución parásita . ${\displaystyle a={\tfrac {25}{21}}}$
12. actúa fielmente incluso cuando se limita a diseños que son árboles; véase Lando y Zvonkin (2004), Teorema 2.4.15, págs. 125-126. ${\displaystyle \Gamma }$
13. Lando y Zvonkin (2004), págs. 122-123.

Referencias

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