Derivados de Wirtinger

Concepto en análisis complejo

En el análisis complejo de una y varias variables complejas , las derivadas de Wirtinger (a veces también llamadas operadores de Wirtinger ^[1] ), llamadas así por Wilhelm Wirtinger , quien las introdujo en 1927 en el curso de sus estudios sobre la teoría de funciones de varias variables complejas , son operadores diferenciales parciales de primer orden que se comportan de manera muy similar a las derivadas ordinarias con respecto a una variable real , cuando se aplican a funciones holomorfas , funciones antiholomorfas o simplemente funciones diferenciables en dominios complejos . Estos operadores permiten la construcción de un cálculo diferencial para tales funciones que es completamente análogo al cálculo diferencial ordinario para funciones de variables reales . ^[2]

Notas históricas

Primeros tiempos (1899-1911): la obra de Henri Poincaré

Las derivadas de Wirtinger se utilizaron en el análisis complejo al menos desde el artículo de Poincaré (1899), como lo señalaron brevemente Cherry y Ye (2001, pág. 31) y Remmert (1991, págs. 66-67). ^[3] En el tercer párrafo de su artículo de 1899, ^[4] Henri Poincaré define por primera vez la variable compleja en y su conjugado complejo de la siguiente manera ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.}$

Luego escribe la ecuación que define las funciones que llama biarmónicas , ^[5] previamente escritas utilizando derivadas parciales respecto de las variables reales con rango de 1 a , exactamente de la siguiente manera ^[6] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{k},y_{q}}$ ${\displaystyle k,q}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0}$

Esto implica que utilizó implícitamente la definición 2 que aparece a continuación: para comprobarlo, basta comparar las ecuaciones 2 y 2' de (Poincaré 1899, p. 112). Aparentemente, este trabajo no fue advertido por los primeros investigadores en la teoría de funciones de varias variables complejas : en los trabajos de Levi-Civita (1905), Levi (1910) (y Levi 1911) y de Amoroso (1912) todos los operadores diferenciales parciales fundamentales de la teoría se expresan directamente mediante el uso de derivadas parciales respecto de las partes reales e imaginarias de las variables complejas involucradas. En el largo artículo de investigación de Osgood (1966) (publicado por primera vez en 1913), ^[7] las derivadas parciales con respecto a cada variable compleja de una función holomorfa de varias variables complejas parecen estar pensadas como derivadas formales : de hecho, cuando Osgood expresa el operador pluriarmónico ^[8] y el operador de Levi, sigue la práctica establecida de Amoroso , Levi y Levi-Civita .

La obra de Dimitrie Pompeiu en 1912 y 1913: una nueva formulación

Según Henrici (1993, p. 294), Dimitrie Pompeiu dio un nuevo paso en la definición del concepto : en el artículo (Pompeiu 1912), dada una función diferenciable de valor complejo (en el sentido del análisis real ) de una variable compleja definida en la vecindad de un punto dado , define la derivada areolar como el siguiente límite ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}\mathrel {\overset {\mathrm {def} }{=}} \lim _{r\to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} z,}$

donde es el límite de un disco de radio contenido enteramente en el dominio de definición de ie su círculo límite . ^[9] Esta es evidentemente una definición alternativa de la derivada de Wirtinger respecto de la variable conjugada compleja : ^[10] es más general, ya que, como señaló Henrici (1993, p. 294), el límite puede existir para funciones que ni siquiera son diferenciables en ^[11] Según Fichera (1969, p. 28), el primero en identificar la derivada areolar como una derivada débil en el sentido de Sobolev fue Ilia Vekua . ^[12] En su siguiente artículo, Pompeiu (1913) utiliza este concepto recientemente definido para introducir su generalización de la fórmula integral de Cauchy , la ahora llamada fórmula de Cauchy-Pompeiu . ${\displaystyle \Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g(z),}$ ${\displaystyle z=z_{0}.}$

La obra de Wilhelm Wirtinger

La primera introducción sistemática de las derivadas de Wirtinger parece deberse a Wilhelm Wirtinger en el artículo Wirtinger 1927 con el fin de simplificar los cálculos de cantidades que aparecen en la teoría de funciones de varias variables complejas : como resultado de la introducción de estos operadores diferenciales , la forma de todos los operadores diferenciales comúnmente utilizados en la teoría, como el operador de Levi y el operador de Cauchy-Riemann , se simplifica considerablemente y, en consecuencia, es más fácil de manejar. El artículo está escrito deliberadamente desde un punto de vista formal, es decir, sin dar una derivación rigurosa de las propiedades deducidas.

Definición formal

A pesar de su uso omnipresente, ^[13] parece que no hay ningún texto que enumere todas las propiedades de las derivadas de Wirtinger: sin embargo, referencias bastante completas son el curso corto sobre análisis complejo multidimensional de Andreotti (1976, pp. 3-5), ^[14] la monografía de Gunning y Rossi (1965, pp. 3-6), ^[15] y la monografía de Kaup y Kaup (1983, pp. 2,4) ^[16] que se utilizan como referencias generales en esta y las siguientes secciones.

Funciones de una variable compleja

Definición 1. Consideremos el plano complejo (en el sentido de expresar un número complejo para números reales y ). Las derivadas de Wirtinger se definen como los siguientes operadores diferenciales parciales lineales de primer orden: ${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{aligned}}}$

Claramente, el dominio natural de definición de estos operadores diferenciales parciales es el espacio de funciones en un dominio pero, dado que estos operadores son lineales y tienen coeficientes constantes , pueden extenderse fácilmente a cualquier espacio de funciones generalizadas . ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

Funciones denorte> 1 variables complejas

Definición 2. Consideremos el espacio euclidiano en el campo complejo. Las derivadas de Wirtinger se definen como los siguientes operadores diferenciales parciales lineales de primer orden: $${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.}$$

En cuanto a las derivadas de Wirtinger para funciones de una variable compleja, el dominio natural de definición de estos operadores diferenciales parciales es nuevamente el espacio de funciones en un dominio y nuevamente, dado que estos operadores son lineales y tienen coeficientes constantes , pueden extenderse fácilmente a cada espacio de funciones generalizadas . ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2n},}$

Relación con la diferenciación compleja

Cuando una función es compleja diferenciable en un punto, la derivada de Wirtinger concuerda con la derivada compleja . Esto se desprende de las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Para la función compleja que es compleja diferenciable ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial f/\partial z}$ ${\displaystyle df/dz}$ ${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\\&={\frac {\partial u}{\partial z}}+i{\frac {\partial v}{\partial z}}={\frac {df}{dz}}\end{aligned}}}$

donde la tercera igualdad utiliza las ecuaciones de Cauchy-Riemann . ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

La segunda derivada de Wirtinger también está relacionada con la diferenciación compleja; es equivalente a las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma compleja. ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$

Propiedades básicas

En la presente sección y en las siguientes se supone que es un vector complejo y que donde son vectores reales , con n  ≥ 1: también se supone que el subconjunto puede pensarse como un dominio en el espacio euclidiano real o en su contraparte compleja isomorfa . Todas las demostraciones son consecuencias fáciles de la definición 1 y la definición 2 y de las propiedades correspondientes de las derivadas (ordinarias o parciales ). ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Linealidad

Lema 1. Si y son números complejos , entonces para las siguientes igualdades se cumplen ${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Regla del producto

Lema 2. Si entonces se cumple la regla del producto ${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega ),}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Esta propiedad implica que las derivadas de Wirtinger son derivaciones desde el punto de vista del álgebra abstracta , exactamente como lo son las derivadas ordinarias .

Regla de la cadena

Esta propiedad toma dos formas diferentes respectivamente para funciones de una y varias variables complejas : para el caso n  > 1, para expresar la regla de la cadena en su total generalidad es necesario considerar dos dominios y dos mapas y tener requisitos de suavidad naturales. ^[17] ${\displaystyle \Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}}$ ${\displaystyle g:\Omega '\to \Omega }$ ${\displaystyle f:\Omega \to \Omega ''}$

Funciones de una variable compleja

Lema 3.1 Si y entonces se cumple la regla de la cadena ${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega ),}$ ${\displaystyle g(\Omega )\subseteq \Omega ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{aligned}}}$

Funciones denorte> 1 variables complejas

Lema 3.2 Si y entonces para la siguiente forma de la regla de la cadena se cumple ${\displaystyle g\in C^{1}(\Omega ',\Omega )}$ ${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ,\Omega ''),}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Conjugación

Lema 4. Si entonces para las siguientes igualdades se cumplen ${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ),}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}}$

Véase también

• Función CR
• Complejo Dolbeault
• Operador Dolbeault
• Función pluriarmónica

Notas

1. Ver referencias Fichera 1986, p. 62 y Kracht y Kreyszig 1988, pág. 10.
2. Algunas de las propiedades básicas de las derivadas de Wirtinger son las mismas que las propiedades que caracterizan a las derivadas ordinarias (o parciales) y se utilizan para la construcción del cálculo diferencial habitual .
3. La referencia a la obra Poincaré 1899 de Henri Poincaré está indicada con precisión por Cherry & Ye (2001), mientras que Reinhold Remmert no cita ninguna referencia que respalde su afirmación.
4. Véase la referencia (Poincaré 1899, págs. 111-114)
5. Estas funciones son precisamente funciones pluriarmónicas , y el operador diferencial lineal que las define, es decir, el operador de la ecuación 2 de (Poincaré 1899, p. 112), es exactamente el operador pluriarmónico n -dimensional .
6. Véase (Poincaré 1899, p. 112), ecuación 2': nótese que, a lo largo del artículo, se utiliza el símbolo para significar una diferenciación parcial con respecto a una variable dada , en lugar del símbolo ahora común ∂. ${\displaystyle d}$
7. La edición corregida de Dover (Osgood 1966) del artículo de Osgood de 1913 contiene mucha información histórica importante sobre el desarrollo temprano de la teoría de funciones de varias variables complejas y, por lo tanto, es una fuente útil.
8. Véase Osgood (1966, págs. 23-24): curiosamente, llama a este conjunto de ecuaciones ecuaciones de Cauchy-Riemann .
9. Esta es la definición dada por Henrici (1993, p. 294) en su aproximación a la obra de Pompeiu : como señala Fichera (1969, p. 27), la definición original de Pompeiu (1912) no requiere que el dominio de integración sea un círculo . Véase la entrada derivada areolar para más información.
10. Véase la sección “Definición formal” de esta entrada.
11. Véase el problema 2 en Henrici 1993, pág. 294 para un ejemplo de dicha función.
12. Véase también el excelente libro de Vekua (1962, p. 55), Teorema 1.31: Si la derivada generalizada , p > 1, entonces la función tiene casi en todas partes una derivada en el sentido de Pompeiu , siendo esta última igual a la derivada generalizada en el sentido de Sobolev ${\displaystyle \partial _{\bar {z}}w\in }$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )}$ ${\displaystyle w(z)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \partial _{\bar {z}}w}$ .
13. Con o sin la atribución del concepto a Wilhelm Wirtinger : véase, por ejemplo, la conocida monografía Hörmander 1990, p. 1,23.
14. En las lecciones de este curso, Aldo Andreotti utiliza las propiedades de las derivadas de Wirtinger para demostrar el cierre del álgebra de funciones holomorfas bajo ciertas operaciones : este propósito es común a todas las referencias citadas en esta sección.
15. Este es un trabajo clásico sobre la teoría de funciones de varias variables complejas que trata principalmente de sus aspectos teóricos de haces ; sin embargo, en las secciones introductorias se introducen las derivadas de Wirtinger y algunas otras herramientas analíticas y se describe su aplicación a la teoría.
16. En este trabajo, los autores prueban algunas de las propiedades de las derivadas de Wirtinger también para el caso general de funciones : en este único aspecto, su enfoque es diferente del adoptado por los otros autores citados en esta sección, y quizás más completo. ${\displaystyle C^{1}}$
17. Véase Kaup & Kaup 1983, p. 4 y también Gunning 1990, p. 5: Gunning considera el caso general de funciones pero sólo para p  = 1. Referencias Andreotti 1976, p. 5 y Gunning & Rossi 1965, p. 6, como ya se señaló, consideran sólo mapas holomorfos con p  = 1: sin embargo, las fórmulas resultantes son formalmente muy similares. ${\displaystyle C^{1}}$

Referencias

Referencias históricas

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Referencias científicas

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