ecuaciones de Friedmann

Ecuaciones en cosmología física.

Alejandro Friedmann

Las ecuaciones de Friedmann , también conocidas como ecuaciones de Friedmann-Lemaître o FL , son un conjunto de ecuaciones en cosmología física que gobiernan la expansión del espacio en modelos homogéneos e isotrópicos del universo dentro del contexto de la relatividad general . Alexander Friedmann las derivó por primera vez en 1922 a partir de las ecuaciones de campo de gravitación de Einstein para la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker y un fluido perfecto con una densidad de masa ρ y presión p dadas . ^[1] Las ecuaciones para la curvatura espacial negativa fueron dadas por Friedmann en 1924. ^[2]

Suposiciones

Las ecuaciones de Friedmann parten del supuesto simplificador de que el universo es espacialmente homogéneo e isotrópico , es decir, el principio cosmológico ; empíricamente, esto se justifica en escalas superiores al orden de 100 Mpc . El principio cosmológico implica que la métrica del universo debe ser de la forma

$${\displaystyle -\mathrm {d} s^{2}=a(t)^{2}\,{\mathrm {d} s_{3}}^{2}-c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}}$$

d s ₃ ²(a)(b)(c)kcurvatura gaussianafactor de escalaa ( t )

Las ecuaciones de Einstein ahora relacionan la evolución de este factor de escala con la presión y la energía de la materia en el universo. A partir de la métrica FLRW calculamos los símbolos de Christoffel y luego el tensor de Ricci . Con el tensor tensión-energía de un fluido perfecto, los sustituimos en las ecuaciones de campo de Einstein y las ecuaciones resultantes se describen a continuación.

Ecuaciones

Hay dos ecuaciones de Friedmann independientes para modelar un universo isotrópico homogéneo. El primero es:

$${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}},}$$

ecuaciones de campo de Einstein

$${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$$

traza⁻²

a es el factor de escala , G , Λ y c son constantes universales ( G es la constante newtoniana de gravitación , Λ es la constante cosmológica con dimensión de longitud ⁻² y c es la velocidad de la luz en el vacío ). ρ  y p son la densidad de masa volumétrica (y no la densidad de energía volumétrica) y la presión, respectivamente. k es constante en una solución particular, pero puede variar de una solución a otra.

En ecuaciones anteriores, a , ρ y p son funciones del tiempo.k/un ²es la curvatura espacial en cualquier segmento de tiempo del universo; es igual a una sexta parte del escalar espacial de curvatura de Ricci R ya que

$${\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})}$$

H ≡ȧ/aparámetro de Hubble

Vemos que en las ecuaciones de Friedmann, a ( t ) no depende del sistema de coordenadas que elegimos para los cortes espaciales. Hay dos opciones comúnmente utilizadas para a y k que describen la misma física:

• k = +1, 0 o −1 dependiendo de si la forma del universo es una 3-esfera cerrada, plana ( espacio euclidiano ) o un 3- hiperboloide abierto , respectivamente. ^[3] Si k = +1 , entonces a es el radio de curvatura del universo. Si k = 0 , entonces a puede fijarse en cualquier número positivo arbitrario en un momento determinado. Si k = −1 , entonces (en términos generales) se puede decir que i · a es el radio de curvatura del universo.
• a es el factor de escala que se considera 1 en el momento actual. k es la curvatura espacial actual (cuando a = 1 ). Si la forma del universo es hiperesférica y R _t es el radio de curvatura ( R ₀ en el presente), entonces a =R _t/R ₀. Si k es positivo, entonces el universo es hiperesférico. Si k = 0 , entonces el universo es plano . Si k es negativo, entonces el universo es hiperbólico .

Usando la primera ecuación, la segunda ecuación se puede reexpresar como

$${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),}$$

Λmasa-energía

$${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0.}$$

Estas ecuaciones a veces se simplifican reemplazando

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &\to \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}&p&\to p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}&={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\\{\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}&=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

La forma simplificada de la segunda ecuación es invariante bajo esta transformación.

El parámetro de Hubble puede cambiar con el tiempo si otras partes de la ecuación dependen del tiempo (en particular la densidad de masa, la energía del vacío o la curvatura espacial). La evaluación del parámetro de Hubble en la actualidad arroja la constante de Hubble, que es la constante de proporcionalidad de la ley de Hubble . Aplicadas a un fluido con una ecuación de estado dada , las ecuaciones de Friedmann producen la evolución temporal y la geometría del universo en función de la densidad del fluido.

Algunos cosmólogos llaman a la segunda de estas dos ecuaciones ecuación de aceleración de Friedmann y reservan el término ecuación de Friedmann sólo para la primera ecuación.

Parámetro de densidad

El parámetro de densidad Ω se define como la relación entre la densidad real (u observada) ρ y la densidad crítica ρ _c del universo de Friedmann. La relación entre la densidad real y la densidad crítica determina la geometría general del universo; cuando son iguales, la geometría del universo es plana (euclidiana). En modelos anteriores, que no incluían un término constante cosmológica , la densidad crítica se definió inicialmente como el punto divisorio entre un Universo en expansión y uno en contracción.

Hasta la fecha, se estima que la densidad crítica es de aproximadamente cinco átomos (de hidrógeno monoatómico ) por metro cúbico, mientras que se cree que la densidad media de la materia ordinaria en el Universo es de 0,2 a 0,25 átomos por metro cúbico. ^{[4] [5]}

Distribución relativa estimada para los componentes de la densidad de energía del universo. La energía oscura domina la energía total (74%), mientras que la materia oscura (22%) constituye la mayor parte de la masa. De la materia bariónica restante (4%), sólo una décima parte es compacta. En febrero de 2015, el equipo de investigación liderado por Europa detrás de la sonda cosmológica Planck publicó nuevos datos que refinan estos valores al 4,9% de materia ordinaria, 25,9% de materia oscura y 69,1% de energía oscura.

Una densidad mucho mayor proviene de la materia oscura no identificada , aunque tanto la materia ordinaria como la oscura contribuyen a la contracción del universo. Sin embargo, la mayor parte proviene de la llamada energía oscura , que representa el término constante cosmológica. Aunque la densidad total es igual a la densidad crítica (exactamente, salvo error de medición), la energía oscura no provoca la contracción del universo, sino que puede acelerar su expansión.

Se encuentra una expresión para la densidad crítica asumiendo que Λ es cero (como lo es para todos los universos básicos de Friedmann) y estableciendo la curvatura espacial normalizada, k , igual a cero. Cuando se aplican las sustituciones a la primera de las ecuaciones de Friedmann encontramos:

$${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}=1.8788\times 10^{-26}h^{2}{\rm {kg}}\,{\rm {m}}^{-3}=2.7754\times 10^{11}h^{2}M_{\odot }\,{\rm {Mpc}}^{-3},}$$

(donde h = H ₀ /(100 km/s/Mpc) . Para H _o = 67,4 km/s/Mpc , es decir, h = 0,674 , ρ _c =8,5 × 10 ⁻²⁷  kg/m ³ ).

El parámetro de densidad (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se define entonces como:

$${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.}$$

Este término se utilizó originalmente como un medio para determinar la geometría espacial del universo, donde ρ _c es la densidad crítica para la cual la geometría espacial es plana (o euclidiana). Suponiendo una densidad de energía del vacío cero, si Ω es mayor que la unidad, las secciones espaciales del universo están cerradas; El universo eventualmente dejará de expandirse y luego colapsará. Si Ω es menor que la unidad, están abiertos; y el universo se expande para siempre. Sin embargo, también se pueden subsumir los términos de curvatura espacial y energía del vacío en una expresión más general para Ω, en cuyo caso este parámetro de densidad es exactamente igual a la unidad. Luego se trata de medir los diferentes componentes, normalmente designados mediante subíndices. Según el modelo ΛCDM , existen componentes importantes de Ω debidos a los bariones , la materia oscura fría y la energía oscura . La nave espacial WMAP ha medido que la geometría espacial del universo es casi plana. Esto significa que el universo puede aproximarse bien mediante un modelo en el que el parámetro de curvatura espacial k sea cero; sin embargo, esto no implica necesariamente que el universo sea infinito: podría ser simplemente que el universo sea mucho más grande que la parte que vemos.

La primera ecuación de Friedmann se ve a menudo en términos de los valores actuales de los parámetros de densidad, es decir ^[6]

$${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }.}$$

Ω _0,Ra = 1Ω _0,MoscurabariónicaΩ _{0, k} = 1 − Ω ₀Ω _0,Λ

Soluciones útiles

Las ecuaciones de Friedmann se pueden resolver exactamente en presencia de un fluido perfecto con ecuación de estado.

$${\displaystyle p=w\rho c^{2},}$$

ppresiónρw

En el caso espacialmente plano ( k = 0 ), la solución para el factor de escala es

$${\displaystyle a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}}$$

a ₀ww = 0dominado por la materia

$${\displaystyle a(t)\propto t^{2/3}}$$

dominado por la radiaciónw =1/3

$${\displaystyle a(t)\propto t^{1/2}}$$

Tenga en cuenta que esta solución no es válida para el dominio de la constante cosmológica, que corresponde a w = −1 . En este caso la densidad de energía es constante y el factor de escala crece exponencialmente.

Las soluciones para otros valores de k se pueden encontrar en Tersic, Balsa. "Apuntes de conferencias sobre astrofísica" . Consultado el 24 de febrero de 2022 .

Mezclas

Si la materia es una mezcla de dos o más fluidos que no interactúan, cada uno con tal ecuación de estado, entonces

$${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+{\frac {p_{f}}{c^{2}}}\right)\,}$$

f

$${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+w_{f}\rho _{f}\right)\,}$$

$${\displaystyle {\rho }_{f}\propto a^{-3\left(1+w_{f}\right)}\,.}$$

Por ejemplo, se puede formar una combinación lineal de tales términos.

$${\displaystyle \rho =Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}\,}$$

Aw = 0a = 1Bw =1/3a = 1Cw = −1

$${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\,}$$

a

Derivación detallada

Para hacer las soluciones más explícitas, podemos derivar las relaciones completas de la primera ecuación de Friedmann:

$${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\dot {a}}{a}}\\[6px]H^{2}&=H_{0}^{2}\left(\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }\right)\\[6pt]H&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\dot {a}}{a}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\mathrm {d} a&=\mathrm {d} tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}}$$

Reorganizar y cambiar para usar variables a ′ y t ′ para la integración

$${\displaystyle tH_{0}=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a'^{2}}}}}$$

Se pueden encontrar soluciones para la dependencia del factor de escala con respecto al tiempo para universos dominados por cada componente. En cada uno también hemos asumido que Ω _{0, k} ≈ 0 , lo que es lo mismo que suponer que la fuente dominante de densidad de energía es aproximadamente 1.

Para universos dominados por la materia, donde Ω _0,M ≫ Ω _0,R y Ω _{0, Λ} , así como Ω _0,M ≈ 1 :

$${\displaystyle {\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}&=\left.\left({\tfrac {2}{3}}{a'}^{3/2}\right)\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left({\tfrac {3}{2}}tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}\right)^{2/3}&=a(t)\end{aligned}}}$$

a ∝ t ^2/3

Para universos dominados por la radiación, donde Ω _0,R ≫ Ω _0,M y Ω _0,Λ , así como Ω _0,R ≈ 1 :

$${\displaystyle {\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}&=\left.{\frac {a'^{2}}{2}}\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left(2tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}\right)^{1/2}&=a(t)\end{aligned}}}$$

Para universos dominados por Λ , donde Ω _{0, Λ} ≫ Ω _0,R y Ω _0,M , así como Ω _{0, Λ} ≈ 1 , y donde ahora cambiaremos nuestros límites de integración de _ti a t y también a _yo a un :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(t-t_{i}\right)H_{0}&=\int _{a_{i}}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,\Lambda }a'^{2})}}}\\[6px]\left(t-t_{i}\right)H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}&={\bigl .}\ln |a'|\,{\bigr |}_{a_{i}}^{a}\\[6px]a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)&=a(t)\end{aligned}}}$$

La solución del universo dominado por Λ es de particular interés porque la segunda derivada con respecto al tiempo es positiva, distinta de cero; en otras palabras, implica una expansión acelerada del universo, lo que convierte a ρ _Λ en un candidato para la energía oscura :

$${\displaystyle {\begin{aligned}a(t)&=a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\\[6px]{\frac {\mathrm {d} ^{2}a(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}&=a_{i}{H_{0}}^{2}\,\Omega _{0,\Lambda }\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\end{aligned}}}$$

Cuando por construcción a _i > 0 , nuestras suposiciones fueron Ω _{0, Λ} ≈ 1 y H ₀ se midió como positivo, lo que obligó a que la aceleración fuera mayor que cero.

Ecuación de Friedmann reescalada

Colocar

$${\displaystyle {\tilde {a}}={\frac {a}{a_{0}}},\quad \rho _{c}={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}},\quad \Omega ={\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {c} }}},\quad t={\frac {\tilde {t}}{H_{0}}},\quad \Omega _{\mathrm {k} }=-{\frac {kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}},}$$

a ₀H ₀factor de escalaparámetro de Hubble

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{\mathrm {k} }}$$

$${\displaystyle U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {-\Omega {\tilde {a}}^{2}}{2}}.}$$

Para cualquier forma del potencial efectivo U _eff ( ã ) , existe una ecuación de estado p = p ( ρ ) que lo producirá.

En la cultura popular

Varios estudiantes de la Universidad de Tsinghua ( alma mater del líder del PCC Xi Jinping ) que participaron en las protestas por el COVID-19 de 2022 en China llevaban pancartas con ecuaciones de Friedmann garabateadas, interpretadas por algunos como un juego de palabras "hombre libre". Otros han interpretado el uso de las ecuaciones como un llamado a “abrir” China y detener su política de Covid Cero, ya que las ecuaciones de Friedmann se relacionan con la expansión o “apertura” del universo. ^[7]

Ver también

• Matemáticas de la relatividad general.
• Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein.
• Inflación cálida

Notas

1. Friedman, A (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. (en alemán). 10 (1): 377–386. Código bibliográfico : 1922ZPhy...10..377F. doi :10.1007/BF01332580. S2CID  125190902. (Traducción al inglés: Friedman, A (1999). "Sobre la curvatura del espacio". Relatividad general y gravitación . 31 (12): 1991–2000. Bibcode :1999GReGr..31.1991F. doi :10.1023/A:1026751225741. S2CID  122950995.). El manuscrito ruso original de este artículo se conserva en el archivo de Ehrenfest.
2. Friedman, A (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativor Krümmung des Raumes". Z. Phys. (en alemán). 21 (1): 326–332. Código bibliográfico : 1924ZPhy...21..326F. doi :10.1007/BF01328280. S2CID  120551579. (Traducción al inglés: Friedmann, A (1999). "Sobre la posibilidad de un mundo con curvatura negativa constante del espacio". Relatividad general y gravitación . 31 (12): 2001–2008. Bibcode :1999GReGr..31.2001F. doi : 10.1023/A: 1026755309811  .)
3. Ray A d'Inverno, Presentación de la relatividad de Einstein , ISBN 0-19-859686-3 . 
4. Rees, M., Just Six Numbers, (2000) Orion Books, Londres, pág. 81, pág. 82 ^{[ se necesita aclaración ]}
5. "Universo 101". NASA . Consultado el 9 de septiembre de 2015 . La densidad real de los átomos equivale aproximadamente a 1 protón por 4 metros cúbicos.
6. Nemiroff, Robert J .; Patla, Bijunath (2008). "Aventuras en la cosmología de Friedmann: una expansión detallada de las ecuaciones cosmológicas de Friedmann". Revista Estadounidense de Física . 76 (3): 265–276. arXiv : astro-ph/0703739 . Código Bib : 2008AmJPh..76..265N. doi : 10.1119/1.2830536. S2CID  51782808.
7. "Las protestas de China: el papel en blanco se convierte en el símbolo de raras manifestaciones". Noticias de la BBC . 28 de noviembre de 2022.

Otras lecturas

• Liebscher, Dierck-Ekkehard (2005). "Expansión". Cosmología . Berlín: Springer. págs. 53–77. ISBN 3-540-23261-3.