En geometría , un deltaedro ( deltaedro plural ) es un poliedro cuyas caras son todas triángulos equiláteros ( congruentes ) . El nombre proviene de la letra griega mayúscula delta (Δ), que tiene la forma de un triángulo equilátero. Hay infinitos deltaedros. Según el lema del apretón de manos , cada deltaedro tiene un número par de caras. Sólo ocho deltaedros son estrictamente convexos ; estos tienen 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 y 20 caras. [1] Estos ocho deltaedros, con sus respectivos números de caras, aristas y vértices , se enumeran a continuación.
Hay ocho deltaedros estrictamente convexos : tres son poliedros regulares y sólidos platónicos , cinco son sólidos de Johnson .
En el deltaedro de 6 caras, algunos vértices tienen grado 3 y algunos grado 4. En los deltaedros de 10, 12, 14 y 16 caras, algunos vértices tienen grado 4 y algunos grado 5. Estos cinco deltaedros no regulares Pertenecen a la clase de sólidos de Johnson : poliedros estrictamente convexos no uniformes con polígonos regulares como caras.
Un deltaedro conserva su forma: incluso si sus aristas pueden girar libremente alrededor de sus vértices (de modo que los ángulos entre ellos sean fluidos), no se mueven. No todos los poliedros tienen esta propiedad: por ejemplo, si algunos de los ángulos de un cubo están relajados, éste puede deformarse en un prisma cuadrado no recto o incluso en un romboedro sin ningún ángulo recto .
No existe un deltaedro estrictamente convexo de 18 caras. [2] Sin embargo, el icosaedro de aristas contraídas da un ejemplo de un octadecaedro que puede hacerse estrictamente convexo con 18 caras triangulares irregulares o equilátero con 18 caras triangulares (regulares) que incluyen dos conjuntos de tres triángulos coplanares.
Hay infinitos casos con triángulos coplanares, lo que permite secciones convexas del mosaico triangular infinito . Si los conjuntos de triángulos coplanares se consideran una sola cara, se puede contar un conjunto más pequeño de caras, aristas y vértices. Las caras triangulares coplanares se pueden fusionar en caras rómbicas, trapezoidales, hexagonales u otras caras poligonales. Cada cara debe ser un polidiamante convexo , como por ejemplo
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Algunos pequeños ejemplos incluyen:
Hay un número infinito de deltaedros no convexos.
Se pueden generar cinco deltaedros no convexos agregando una pirámide equilátera a cada cara de un sólido platónico :
Se pueden generar otros deltaedros no convexos ensamblando varios tetraedros regulares :
Como todos los poliedros toroidales , los deltaedros toroidales no son convexos; ejemplo:
Cuando sea posible, agregar una pirámide equilátera invertida a cada cara de un poliedro da como resultado un deltaedro no convexo; ejemplo:
Como todos los poliedros que se cruzan entre sí, los deltaedros que se cruzan entre sí no son convexos; ejemplo:
