En geometría , un triángulo equilátero es un triángulo en el que sus tres lados tienen la misma longitud. En la conocida geometría euclidiana , un triángulo equilátero también es equiangular ; es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí y cada uno mide 60°. También es un polígono regular , por lo que también se le conoce como triángulo regular .
Propiedades principales
Denotando la longitud común de los lados del triángulo equilátero como , podemos determinar usando el teorema de Pitágoras que:
Denotando el radio del círculo circunscrito como R , podemos determinar usando trigonometría que:
El área del triángulo es
Muchas de estas cantidades tienen relaciones simples con la altitud ("h") de cada vértice del lado opuesto:
El área es
La altura del centro desde cada lado, o apotema , es
El radio del círculo que circunscribe los tres vértices es
El radio del círculo inscrito es
En un triángulo equilátero coinciden las altitudes, las bisectrices de los ángulos, las bisectrices perpendiculares y las medianas de cada lado.
Caracterizaciones
Un triángulo que tiene los lados , , , semiperímetro , área , exradii , , (tangente a , , respectivamente), y donde y son los radios de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia incircular respectivamente, es equilátero si y sólo si cualquiera de los enunciados en el Las siguientes nueve categorías son verdaderas. Por tanto, estas son propiedades que son exclusivas de los triángulos equiláteros, y saber que cualquiera de ellas es verdadera implica directamente que tenemos un triángulo equilátero.
Cada centro de un triángulo equilátero coincide con su centroide , lo que implica que el triángulo equilátero es el único triángulo sin línea de Euler que conecte algunos de los centros. Para algunos pares de centros de triángulos, el hecho de que coincidan es suficiente para asegurar que el triángulo sea equilátero. En particular:
Seis triángulos formados al dividirse por las medianas.
Para cualquier triángulo, las tres medianas dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños.
Un triángulo es equilátero si y sólo si tres de los triángulos más pequeños tienen el mismo perímetro o el mismo inradio. [9] : Teorema 1
Un triángulo es equilátero si y sólo si los circuncentros de tres de los triángulos más pequeños están a la misma distancia del centroide. [9] : Corolario 7
Puntos en el avión
Un triángulo es equilátero si y sólo si, para cada punto del plano, con distancias , , y a los lados del triángulo y distancias , , y a sus vértices, [10] : p.178, #235.4
El teorema de Napoleón establece que, si se construyen triángulos equiláteros en los lados de cualquier triángulo, ya sea todos hacia afuera o hacia adentro, los centros de esos triángulos equiláteros forman un triángulo equilátero.
El teorema de Viviani establece que, para cualquier punto interior de un triángulo equilátero con distancias , , y desde los lados y altitud , independiente de la ubicación de . [12]
El teorema de Pompeyo establece que, si hay un punto arbitrario en el plano de un triángulo equilátero pero no en su circunferencia circunstante , entonces existe un triángulo con lados de longitudes , y . Es decir, , y satisfacen la desigualdad del triángulo de que la suma de dos de ellos es mayor que el tercero. Si está en la circunferencia entonces la suma de los dos más pequeños es igual al más largo y el triángulo ha degenerado en una recta, este caso se conoce como teorema de Van Schooten .
construcción geométrica
Un triángulo equilátero se construye fácilmente usando una regla y un compás , porque 3 es un primo de Fermat . Dibuja una línea recta, coloca la punta del compás en un extremo de la línea y traza un arco desde ese punto hasta el otro punto del segmento de línea. Repita con el otro lado de la línea. Finalmente, conecta el punto donde los dos arcos se cruzan con cada extremo del segmento de línea.
Un método alternativo es dibujar un círculo con radio , colocar la punta del compás en el círculo y dibujar otro círculo con el mismo radio. Los dos círculos se cruzarán en dos puntos. Se puede construir un triángulo equilátero tomando los dos centros de los círculos y cualquiera de los puntos de intersección.
En ambos métodos, un subproducto es la formación de vesica piscis .
La prueba de que la figura resultante es un triángulo equilátero es la primera proposición del Libro I de los Elementos de Euclides .
Derivación de la fórmula del área
La fórmula del área en términos de longitud de lado se puede derivar directamente usando el teorema de Pitágoras o usando trigonometría.
Usando el teorema de Pitágoras
El área de un triángulo es la mitad de un lado por la altura de ese lado:
Los catetos de cualquier triángulo rectángulo formado por la altura del triángulo equilátero son la mitad de la base y la hipotenusa es el lado del triángulo equilátero. La altura de un triángulo equilátero se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras
de modo que
Sustituyendo en la fórmula del área se obtiene la fórmula del área del triángulo equilátero:
Usando trigonometría
Usando trigonometría , el área de un triángulo con dos lados cualesquiera y y un ángulo entre ellos es
Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°, entonces
El seno de 60° es . Por tanto
, todos los lados de un triángulo equilátero son iguales.
Otras propiedades
Un triángulo equilátero es el triángulo más simétrico, tiene 3 ejes de reflexión y simetría rotacional de orden 3 alrededor de su centro, cuyo grupo de simetría es el grupo diédrico de orden 6 ,. El triángulo equilátero de lados enteros es el único triángulo con lados enteros y tres ángulos racionales medidos en grados. [13] Es el único triángulo agudo que es semejante a su triángulo órtico (con vértices a los pies de las altitudes ), [14] : p. 19 y el único triángulo cuya inelipse de Steiner es un círculo (específicamente, el incírculo). El triángulo de mayor área de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero, y el triángulo de menor área de todos los circunscritos a un círculo dado también es equilátero. [15] Es el único polígono regular aparte del cuadrado que puede inscribirse dentro de cualquier otro polígono regular.
Por la desigualdad de Euler , el triángulo equilátero tiene la relación más pequeña entre el circunradio y el inradio de cualquier triángulo, con [16] : p.198
Dado un punto en el interior de un triángulo equilátero, la relación entre la suma de sus distancias a los vértices y la suma de sus distancias a los lados es mayor o igual a 2, siendo la igualdad cuando es el centroide. En ningún otro triángulo hay un punto para el cual esta relación sea tan pequeña como 2. [17] Esta es la desigualdad de Erdős-Mordell ; una variante más fuerte es la desigualdad de Barrow , que reemplaza las distancias perpendiculares a los lados con las distancias desde a los puntos donde las bisectrices de los ángulos de , y cruzan los lados ( , y siendo los vértices). Hay muchas otras desigualdades triangulares que se cumplen con igualdad si y sólo si el triángulo es equilátero.
Para cualquier punto del plano, con distancias , y desde los vértices , y respectivamente, [18]
Para cualquier punto del plano, con distancias , , y desde los vértices, [19]
donde es el radio circunscrito y es la distancia entre el punto y el centroide del triángulo equilátero.
Para cualquier punto en el círculo inscrito de un triángulo equilátero, con distancias , y desde los vértices, [20]
Para cualquier punto en el arco menor del círculo circunstante, con distancias , y desde , y , respectivamente [12]
Además, si el punto del lado se divide en segmentos y tiene longitud y longitud , entonces [12] : 172
, que también es igual a si y
cuál es la ecuación óptica .
Para un triángulo equilátero:
La razón entre su área y el área del círculo, es la más grande de cualquier triángulo. [21] : Teorema 4.1
La relación entre su área y el cuadrado de su perímetro es mayor que la de cualquier triángulo no equilátero. [11]
Si un segmento divide un triángulo equilátero en dos regiones con perímetros iguales y con áreas y , entonces [10] : p.151, #J26
Si un triángulo se coloca en el plano complejo con vértices complejos , y , entonces, para cualquiera de las raíces cúbicas no reales de 1, el triángulo es equilátero si y solo si [22] : Lema 2
En tres dimensiones, los triángulos equiláteros forman caras de poliedros regulares y uniformes . Tres de los cinco sólidos platónicos están compuestos por triángulos equiláteros: el tetraedro , el octaedro y el icosaedro . [24] : p.238 En particular, el tetraedro, que tiene cuatro triángulos equiláteros como caras, puede considerarse el análogo tridimensional del triángulo . Todos los sólidos platónicos pueden inscribirse en tetraedros, así como también estar inscritos dentro de tetraedros. Los triángulos equiláteros también forman antiprismas uniformes , así como antiprismas estelares uniformes en el espacio tridimensional. Para los antiprismas, dos copias paralelas (no reflejadas) de polígonos regulares están conectadas mediante bandas alternas de triángulos equiláteros. [25] Específicamente para los antiprismas estelares, existen soluciones progradas y retrógradas (cruzadas) que unen polígonos estelares paralelos reflejados y no reflejados . [26] [27] El octaedro platónico es también un antiprisma triangular , que es el primer miembro verdadero de la familia infinita de antiprismas (el tetraedro, como antiprisma digonal, a veces se considera el primero). [24] : p.240
Como generalización, el triángulo equilátero pertenece a la familia infinita de - simplex , con . [28]
En la cultura y la sociedad
Los triángulos equiláteros han aparecido con frecuencia en construcciones hechas por el hombre:
La forma se encuentra en la arquitectura moderna, como la sección transversal del Arco Gateway . [29]
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