tetraedro truncado

Sólido de Arquímedes de 8 caras.

En geometría , el tetraedro truncado es un sólido de Arquímedes . Tiene 4 caras hexagonales regulares , 4 caras de triángulos equiláteros , 12 vértices y 18 aristas (de dos tipos). Se puede construir truncando los 4 vértices de un tetraedro regular .

Construcción

El tetraedro truncado se puede construir a partir de un tetraedro regular cortando todos sus vértices, proceso conocido como truncamiento . ^[1] El poliedro resultante tiene 4 triángulos equiláteros y 4 hexágonos regulares, 18 aristas y 12 vértices. ^[2] Un poliedro de Goldberg es aquel cuyas caras son 12 pentágonos y algún múltiplo de 10 hexágonos. Hay tres clases de poliedro de Goldberg, una de ellas se construye truncando todos los vértices repetidamente, y el tetraedro truncado es una de ellas, denotado como . ${\displaystyle \mathrm {G} _{\mathrm {III} }(1,1)}$

Propiedades

Dada la longitud del borde . El área de superficie de un tetraedro truncado es la suma del área de 4 hexágonos regulares y el área de 4 triángulos equiláteros, y su volumen es: ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=7{\sqrt {3}}a^{2}&&\approx 12.124a^{2},\\V&={\tfrac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}&&\approx 2.711a^{3}.\end{aligned}}}$$

El ángulo diédrico de un tetraedro truncado entre un triángulo y un hexágono es de aproximadamente 109,47 °, y el ángulo entre caras hexagonales adyacentes es de aproximadamente 70,53 °. ^[3]

Se cree que el empaquetamiento más denso del tetraedro truncado es , según lo informado por dos grupos independientes que utilizan métodos de Monte Carlo por Damasceno, Engel y Glotzer (2012) y Jiao y Torquato (2013) . ^{[4] [5]} Aunque no existe prueba matemática de que este sea el mejor empaquetamiento posible para el tetraedro truncado, la alta proximidad a la unidad y la independencia de los hallazgos hacen que sea poco probable que se encuentre un empaquetamiento aún más denso. Si el truncamiento de las esquinas es ligeramente menor que el de un tetraedro truncado, esta nueva forma se puede utilizar para llenar el espacio por completo. ^[4] ${\textstyle \Phi ={\frac {207}{208}}}$Error de harvtxt: sin destino: CITEREFJiaoTorquato2013 ( ayuda )

Modelo 3D de un tetraedro truncado

El tetraedro truncado es un sólido de Arquímedes , lo que significa que es un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. ^[6] El tetraedro truncado tiene la misma simetría de grupo tridimensional que el tetraedro regular, la simetría tetraédrica . ^[7] Las caras poligonales que se encuentran en cada vértice son un triángulo equilátero y dos hexágonos regulares, y la figura del vértice se denota como . Su poliedro dual es el tetraedro triakis , un sólido catalán , comparte la misma simetría que el tetraedro truncado. ^[8] ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle 3\cdot 6^{2}}$

Poliedros relacionados

El tetraedro truncado se puede encontrar en la construcción de poliedros. Por ejemplo, el tetraedro truncado aumentado es un sólido de Johnson construido a partir de un tetraedro truncado uniendo una cúpula triangular a su cara hexagonal. ^[9] El tetraedro truncado triakis es un poliedro construido a partir de un tetraedro truncado añadiendo tres tetraedros en sus caras triangulares, como se interpreta con el nombre " triakis ". Está clasificado como plesioedro , lo que significa que puede teselar en un espacio tridimensional conocido como panal ; un ejemplo es el panal tetraédrico truncado de triakis . ^[10]

El poliedro de Friauf debe su nombre a JB Friauf, quien lo describió como una estructura intermetálica formada por un compuesto de elementos metálicos. ^[11] Se puede encontrar en cristales como aleaciones metálicas complejas, un ejemplo es el dizinc magnesio MgZn ₂ . ^[12] Es una versión de menor simetría del tetraedro truncado, interpretado como un disfenoide tetragonal truncado con su grupo de simetría tridimensional como el grupo diédrico de orden 8. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle D_{2\mathrm {d} }}$

Al truncar un tetraedro truncado, el poliedro resultante tiene 54 aristas, 32 vértices y 20 caras: 4 hexágonos, 4 nonágonos y 12 trapecios . Este poliedro fue utilizado por Adidas como geometría subyacente del balón Jabulani diseñado para el Mundial de 2010 . ^[1]

Gráfico tetraédrico truncado

La gráfica de un tetraedro truncado.

En el campo matemático de la teoría de grafos , un gráfico tetraédrico truncado es un gráfico de Arquímedes , el gráfico de vértices y aristas del tetraedro truncado, uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 12 vértices y 18 aristas. ^[13] Es un gráfico cúbico conexo, ^[14] y un gráfico transitivo cúbico conexo. ^[15]

Ejemplos

• 
  dibujo en De divina proporción (1509)
• 
  dibujo en Perspectiva Corporum Regularium (1568)
• 
  modelo de cristal
• 
  fotos desde diferentes perspectivas ( Matemateca )
• 
  dado de 4 caras
• 
  12 permutaciones de (marrón) ${\displaystyle (4,2,0,0)}$

Ver también

• Panal de un cuarto cúbico : llena el espacio utilizando tetraedros truncados y tetraedros más pequeños
• 5 celdas truncadas : politopo uniforme similar en 4 dimensiones
• Tetraedro triakis truncado
• Tetraedro truncado de Triakis
• Octaedro : un tetraedro rectificado

Referencias

1. Kuchel, Philip W. (2012). "96.45 ¿Se puede 'doblar' un tetraedro truncado?". La Gaceta Matemática . 96 (536): 317–323. JSTOR  23248575.
2. Berman, Martín (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. SEÑOR  0290245.
3. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169-200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . SEÑOR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.Ver línea II.
4. Damasceno, Pablo F.; Engel, Michael; Glotzer, Sharon C. (2012). "Ensamblajes cristalinos y empaquetaduras más densas de una familia de tetraedros truncados y el papel de las fuerzas entrópicas direccionales". ACS Nano . 6 (2012): 609–614. arXiv : 1109.1323 . doi :10.1021/nn204012y. PMID  22098586. S2CID  12785227.
5. Jiao, Yang; Torquato, Sal (2011). "Un embalaje de tetraedros truncados que casi llena todo el espacio". arXiv : 1107.2300 [cond-mat.soft].
6. Diudea, MV (2018). Cúmulos poliédricos de múltiples capas. Saltador . pag. 39.doi :10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2.
7. Koca, M.; Koca, NO (2013). "Grupos Coxeter, cuaterniones, simetrías de poliedros y politopos 4D". Física matemática: Actas de la 13.ª Conferencia Regional, Antalya, Turquía, 27 a 31 de octubre de 2010 . Científico mundial. pag. 46–47.
8. Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño. Publicaciones de Dover, Inc. pág. 72.
9. Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y tercer problema de Hilbert. Textos y Lecturas en Matemáticas. Agencia de libros Hindustan. pag. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
10. Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980). "Azulejos con mosaicos congruentes". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Series nuevas. 3 (3): 951–973. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . SEÑOR  0585178.
11. Friauf, JB (1927). "La estructura cristalina de los compuestos intermetálicos". Revista de la Sociedad Química Estadounidense . 49 : 3107–3114. doi :10.1021/ja01411a017.
12. Lalena, John N.; Cleary, David A.; Duparc, Olivier B. (2020). Principios del diseño de materiales inorgánicos. John Wiley e hijos . pag. 150.ISBN​ 9781119486916.
13. An Atlas of Graphs, página 267, gráfico tetraédrico truncado
14. Un atlas de gráficos, página 130, gráficos cúbicos conectados, 12 vértices, C105
15. Un atlas de gráficos, página 161, gráficos transitivos cúbicos conectados, 12 vértices, Ct11

• Leer, RC; Wilson, RJ (1998), Atlas de gráficos , Oxford University Press

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Tetraedro truncado" ("Sólido de Arquímedes") en MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Gráfico tetraédrico truncado". MundoMatemático .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3x3o - tut".
• Red imprimible editable de un tetraedro truncado con vista 3D interactiva
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de los poliedros