ley de Hooke

Ley física: la fuerza necesaria para deformar un resorte aumenta linealmente con la distancia

Ley de Hooke: la fuerza es proporcional a la extensión

Los tubos de Bourdon se basan en la ley de Hooke. La fuerza creada por la presión del gas dentro del tubo metálico enrollado de arriba lo desenrolla en una cantidad proporcional a la presión.

El volante central de muchos relojes mecánicos depende de la ley de Hooke. Dado que el par generado por el resorte helicoidal es proporcional al ángulo de giro de la rueda, sus oscilaciones tienen un período casi constante.

En física , la ley _de Hooke es una ley empírica que establece que la fuerza ( F ) necesaria para extender o comprimir un resorte a cierta distancia ( x ) aumenta linealmente con respecto a esa distancia, es decir, Fs = kx , donde k es una factor constante característico del resorte (es decir, su rigidez ), y x es pequeño en comparación con la deformación total posible del resorte. La ley lleva el nombre del físico británico del siglo XVII Robert Hooke . Enunció la ley por primera vez en 1676 como un anagrama latino . ^{[1] [2]} Publicó la solución de su anagrama en 1678 ^[3] como: ut tensio, sic vis ("como la extensión, así la fuerza" o "la extensión es proporcional a la fuerza"). Hooke afirma en la obra de 1678 que conocía la ley desde 1660.

La ecuación de Hooke se cumple (hasta cierto punto) en muchas otras situaciones en las que un cuerpo elástico se deforma , como el viento que sopla sobre un edificio alto y un músico que pulsa la cuerda de una guitarra. Un cuerpo o material elástico para el cual se puede asumir esta ecuación se dice que es elástico lineal o de Hooke .

La ley de Hooke es sólo una aproximación lineal de primer orden a la respuesta real de los resortes y otros cuerpos elásticos a las fuerzas aplicadas. Eventualmente debe fallar una vez que las fuerzas exceden algún límite, ya que ningún material puede comprimirse más allá de un cierto tamaño mínimo, o estirarse más allá de un tamaño máximo, sin alguna deformación permanente o cambio de estado. Muchos materiales se desviarán notablemente de la ley de Hooke mucho antes de que se alcancen esos límites elásticos .

Por otro lado, la ley de Hooke es una aproximación precisa para la mayoría de los cuerpos sólidos, siempre que las fuerzas y deformaciones sean lo suficientemente pequeñas. Por este motivo, la ley de Hooke se utiliza ampliamente en todas las ramas de la ciencia y la ingeniería, y es la base de muchas disciplinas como la sismología , la mecánica molecular y la acústica . Es también el principio fundamental detrás de la escala de resorte , el manómetro , el galvanómetro y el volante del reloj mecánico .

La teoría moderna de la elasticidad generaliza la ley de Hooke para decir que la deformación (deformación) de un objeto o material elástico es proporcional a la tensión que se le aplica. Sin embargo, dado que las tensiones y deformaciones generales pueden tener múltiples componentes independientes, el "factor de proporcionalidad" puede ya no ser solo un número real, sino más bien un mapa lineal (un tensor ) que puede representarse mediante una matriz de números reales.

En esta forma general, la ley de Hooke permite deducir la relación entre deformación y tensión para objetos complejos en términos de propiedades intrínsecas de los materiales de los que están hechos. Por ejemplo, se puede deducir que una varilla homogénea con sección transversal uniforme se comportará como un simple resorte cuando se estire, con una rigidez k directamente proporcional al área de su sección transversal e inversamente proporcional a su longitud.

Definicion formal

resortes lineales

Elongación y compresión de un resorte.

Considere un resorte helicoidal simple que tiene un extremo unido a algún objeto fijo, mientras que una fuerza cuya magnitud es Fs tira del extremo _libre . Supongamos que el resorte ha alcanzado un estado de equilibrio , donde su longitud ya no cambia. Sea x la cantidad en la que el extremo libre del resorte se desplazó de su posición "relajada" (cuando no está estirado). La ley de Hooke establece que

F s = k X {\ Displaystyle F_ {s} = kx}

$${\displaystyle x={\frac {F_{s}}{k}}}$$

kF _sx^[4]

Derivación gráfica

Según esta fórmula, la gráfica de la fuerza aplicada F _s en función del desplazamiento x será una recta que pasa por el origen , cuya pendiente es k .

La ley de Hooke para un resorte también se establece bajo la convención de que F _s es la fuerza de recuperación ejercida por el resorte sobre lo que tira de su extremo libre. En ese caso, la ecuación queda

$${\displaystyle F_{s}=-kx}$$

resortes torsionales

El análogo torsional de la ley de Hooke se aplica a los resortes torsionales . Afirma que el par (τ) requerido para girar un objeto es directamente proporcional al desplazamiento angular (θ) desde la posición de equilibrio. Describe la relación entre el par aplicado a un objeto y la deformación angular resultante debido a la torsión. Matemáticamente se puede expresar como:

${\displaystyle \tau =-k\theta }$

Dónde:

• τ es el par medido en Newton-metros o N·m.
• k es la constante de torsión (medida en N·m/radianes), que caracteriza la rigidez del resorte de torsión o la resistencia al desplazamiento angular.
• θ es el desplazamiento angular (medido en radianes) desde la posición de equilibrio.

Al igual que en el caso lineal, esta ley muestra que el par es proporcional al desplazamiento angular, y el signo negativo indica que el par actúa en una dirección opuesta al desplazamiento angular, proporcionando una fuerza restauradora para devolver el equilibrio al sistema.

Resortes "escalares" generales

La ley del resorte de Hooke suele aplicarse a cualquier objeto elástico, de complejidad arbitraria, siempre que tanto la deformación como la tensión puedan expresarse mediante un único número que puede ser tanto positivo como negativo.

_{Por ejemplo, cuando un bloque de} caucho unido a dos placas paralelas se deforma mediante corte , en lugar de estiramiento o compresión, la fuerza cortante Fs y el desplazamiento lateral de las placas x obedecen la ley de Hooke (para deformaciones suficientemente pequeñas).

La ley de Hooke también se aplica cuando una barra recta de acero o una viga de hormigón (como las que se usan en los edificios), apoyada en ambos extremos, se dobla mediante un peso F colocado en algún punto intermedio. El desplazamiento x en este caso es la desviación de la viga, medida en la dirección transversal, con respecto a su forma sin carga.

formulación vectorial

En el caso de un resorte helicoidal que se estira o comprime a lo largo de su eje , la fuerza aplicada (o restauradora) y el alargamiento o compresión resultante tienen la misma dirección (que es la dirección de dicho eje). Por lo tanto, si F _s y x se definen como vectores , la ecuación de Hooke aún se cumple y dice que el vector de fuerza es el vector de alargamiento multiplicado por un escalar fijo .

Forma tensorial general

Algunos cuerpos elásticos se deformarán en una dirección cuando se los somete a una fuerza en una dirección diferente. Un ejemplo es una viga de madera horizontal con una sección transversal rectangular no cuadrada que se dobla por una carga transversal que no es ni vertical ni horizontal. En tales casos, la magnitud del desplazamiento x será proporcional a la magnitud de la fuerza F _s , siempre que la dirección de esta última siga siendo la misma (y su valor no sea demasiado grande); por lo que se cumplirá la versión escalar de la ley de Hooke F _s = − kx . Sin embargo, los vectores fuerza y ​​desplazamiento no serán múltiplos escalares entre sí, ya que tienen direcciones diferentes. Además, la relación k entre sus magnitudes dependerá de la dirección del _vector Fs .

Sin embargo, en tales casos suele haber una relación lineal fija entre los vectores de fuerza y ​​deformación, siempre que sean lo suficientemente pequeños. Es decir, existe una función κ de vectores a vectores, tal que F = κ ( X ) y κ ( α X ₁ + β X ₂ ) = α κ ( X ₁ ) + β κ ( X ₂ ) para cualquier número real α , β y cualquier vector de desplazamiento X ₁ , X ₂ . Esta función se llama tensor (de segundo orden) .

Con respecto a un sistema de coordenadas cartesiano arbitrario , los vectores de fuerza y ​​desplazamiento se pueden representar mediante matrices de números reales de 3 × 1. Entonces, el tensor κ que los conecta se puede representar mediante una matriz κ de 3 × 3 de coeficientes reales, que, cuando se multiplica por el vector de desplazamiento, da el vector de fuerza:

$${\displaystyle \mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X} }$$

$${\displaystyle F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}}$$

yo = 1, 2, 3F = κ XXFκk

Ley de Hooke para medios continuos.

(a) Esquema de un nanoresorte polimérico. El radio de la bobina, R, el paso, P, la longitud del resorte, L, y el número de vueltas, N, son 2.5 μm, 2.0 μm, 13 μm y 4, respectivamente. Micrografías electrónicas del nanoresorte, antes de cargarlo (be), estirado (f), comprimido (g), doblado (h) y recuperado (i). Todas las barras de escala son de 2 μm. El resorte siguió una respuesta lineal contra la fuerza aplicada, lo que demuestra la validez de la ley de Hooke a nanoescala. ^[5]

Las tensiones y deformaciones del material dentro de un material elástico continuo (como un bloque de caucho, la pared de una caldera o una barra de acero) están conectadas por una relación lineal que es matemáticamente similar a la ley del resorte de Hooke, y a menudo se la denomina a por ese nombre.

Sin embargo, el estado de deformación en un medio sólido alrededor de algún punto no puede describirse mediante un único vector. La misma porción de material, por pequeña que sea, puede comprimirse, estirarse y cortarse al mismo tiempo, en diferentes direcciones. De la misma manera, las tensiones en esa parcela pueden ser al mismo tiempo de empuje, tracción y corte.

Para capturar esta complejidad, el estado relevante del medio alrededor de un punto debe representarse mediante dos tensores de segundo orden, el tensor de deformación ε (en lugar del desplazamiento X ) y el tensor de tensión σ (que reemplaza a la fuerza restauradora F) . ). El análogo de la ley del resorte de Hooke para medios continuos es entonces

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},}$$

ctensor de rigideztensor de elasticidad

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},}$$

stensor de cumplimiento

En un sistema de coordenadas cartesiano, los tensores de tensión y deformación se pueden representar mediante matrices de 3 × 3

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

σ _ijε _klc3 × 3 × 3 × 3 = 81c _ijkl

$${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$$

yo , j = 1,2,3

Los tres tensores generalmente varían de un punto a otro dentro del medio y también pueden variar con el tiempo. El tensor de deformación ε simplemente especifica el desplazamiento de las partículas del medio en las proximidades del punto, mientras que el tensor de tensión σ especifica las fuerzas que las parcelas vecinas del medio ejercen entre sí. Por tanto, son independientes de la composición y estado físico del material. El tensor de rigidez c , por otro lado, es una propiedad del material y, a menudo, depende de variables del estado físico como la temperatura, la presión y la microestructura .

Debido a las simetrías inherentes de σ , ε y c , sólo 21 coeficientes elásticos de este último son independientes. ^[6] Este número puede reducirse aún más por la simetría del material: 9 para un cristal ortorrómbico , 5 para una estructura hexagonal y 3 para una simetría cúbica . ^[7] Para medios isotrópicos (que tienen las mismas propiedades físicas en cualquier dirección), c se puede reducir a solo dos números independientes, el módulo de volumen K y el módulo de corte G , que cuantifican la resistencia del material a los cambios de volumen y al corte. deformaciones, respectivamente.

Leyes análogas

Dado que la ley de Hooke es una simple proporcionalidad entre dos cantidades, sus fórmulas y consecuencias son matemáticamente similares a las de muchas otras leyes físicas, como las que describen el movimiento de los fluidos , o la polarización de un dieléctrico por un campo eléctrico .

En particular, la ecuación del tensor σ = cε que relaciona las tensiones elásticas con las deformaciones es completamente similar a la ecuación τ = με̇ que relaciona el tensor de tensiones viscosas τ y el tensor de velocidad de deformación ε̇ en flujos de fluidos viscosos ; aunque el primero pertenece a tensiones estáticas (relacionadas con la cantidad de deformación) mientras que el segundo pertenece a tensiones dinámicas (relacionadas con la velocidad de deformación).

Unidades de medida

En unidades SI , los desplazamientos se miden en metros (m) y las fuerzas en newtons (N o kg·m/s ² ). Por lo tanto, la constante elástica k y cada elemento del tensor κ se miden en newtons por metro (N/m), o kilogramos por segundo al cuadrado (kg/s ² ).

Para medios continuos, cada elemento del tensor de tensión σ es una fuerza dividida por un área; por lo tanto, se mide en unidades de presión, es decir, pascales (Pa, o N/m ² , o kg/(m·s ² ). Los elementos del tensor de deformación ε no tienen dimensiones (desplazamientos divididos por distancias). Por lo tanto, las entradas de c _ijkl también se expresan en unidades de presión.

Aplicación general a materiales elásticos.

Curva tensión-deformación para acero con bajo contenido de carbono, que muestra la relación entre la tensión (fuerza por unidad de área) y la deformación (compresión/estiramiento resultante, conocida como deformación). La ley de Hooke sólo es válida para la porción de la curva entre el origen y el límite elástico (2).

1. Fuerza final
2. Límite elástico (límite elástico)
3. Ruptura
4. Región de endurecimiento por deformación
5. región de cuello

1. Estrés aparente ( F / A ₀ )
2. Estrés real ( F / A )

Los objetos que recuperan rápidamente su forma original después de ser deformados por una fuerza, y las moléculas o átomos de su material regresan al estado inicial de equilibrio estable, a menudo obedecen la ley de Hooke.

La ley de Hooke sólo es válida para algunos materiales bajo determinadas condiciones de carga. El acero exhibe un comportamiento elástico lineal en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería; La ley de Hooke es válida para todo su rango elástico (es decir, para tensiones por debajo del límite elástico ). Para algunos otros materiales, como el aluminio, la ley de Hooke sólo es válida para una parte del rango elástico. Para estos materiales se define una tensión límite proporcional , por debajo de la cual los errores asociados con la aproximación lineal son insignificantes.

El caucho generalmente se considera un material "no Hookeano" porque su elasticidad depende de la tensión y es sensible a la temperatura y la velocidad de carga.

Las generalizaciones de la ley de Hooke para el caso de grandes deformaciones las proporcionan los modelos de sólidos neohookeanos y sólidos de Mooney-Rivlin .

Fórmulas derivadas

Esfuerzo de tensión de una barra uniforme.

Una varilla de cualquier material elástico puede verse como un resorte lineal . La varilla tiene una longitud L y un área de sección transversal A. Su tensión de tracción σ es linealmente proporcional a su extensión fraccionaria o deformación ε por el módulo de elasticidad E :

$${\displaystyle \sigma =E\varepsilon .}$$

El módulo de elasticidad a menudo puede considerarse constante. Sucesivamente,

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\,,}$$

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.}$$

El cambio de longitud se puede expresar como

$${\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.}$$

Energía de primavera

La energía potencial U _el ( x ) almacenada en un resorte está dada por

$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$$

${\displaystyle x=F/k}$

$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(F)={\frac {F^{2}}{2k}}.}$$

Este potencial U _el se puede visualizar como una parábola en el plano Ux tal que U _el ( x ) =1/2kx ² . A medida que el resorte se estira en la dirección x positiva , la energía potencial aumenta de forma parabólica (sucede lo mismo cuando se comprime el resorte). Dado que el cambio de energía potencial cambia a una tasa constante:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.}$$

U

Constantes de fuerza relajada (constantes de cumplimiento generalizadas)

Las constantes de fuerza relajada (lo inverso de las constantes de cumplimiento generalizadas ) se definen únicamente para sistemas moleculares, a diferencia de las constantes de fuerza "rígidas" habituales, y por lo tanto su uso permite establecer correlaciones significativas entre campos de fuerza calculados para reactivos , estados de transición y productos de una reacción química . Así como la energía potencial se puede escribir como forma cuadrática en las coordenadas internas, también se puede escribir en términos de fuerzas generalizadas. Los coeficientes resultantes se denominan constantes de cumplimiento . Existe un método directo para calcular la constante de cumplimiento para cualquier coordenada interna de una molécula, sin la necesidad de realizar el análisis en modo normal. ^[8] La idoneidad de las constantes de fuerza relajada (constantes de cumplimiento inverso) como descriptores de fuerza de enlace covalente se demostró ya en 1980. Recientemente, también se demostró la idoneidad como descriptores de fuerza de enlace no covalente. ^[9]

Oscilador armónico

Una masa suspendida por un resorte es el ejemplo clásico de oscilador armónico.

Una masa m unida al extremo de un resorte es un ejemplo clásico de oscilador armónico . Al tirar ligeramente de la masa y luego soltarla, el sistema se pondrá en movimiento oscilante sinusoidal alrededor de la posición de equilibrio. En la medida en que el resorte obedezca la ley de Hooke y se pueda despreciar la fricción y la masa del resorte, la amplitud de la oscilación permanecerá constante; y su frecuencia f será independiente de su amplitud, determinada únicamente por la masa y la rigidez del resorte:

$${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

relojes mecánicos

Rotación en un espacio libre de gravedad.

Si la masa m estuviera unida a un resorte con fuerza constante k y girando en el espacio libre, la tensión del resorte ( F _t ) proporcionaría la fuerza centrípeta requerida ( F _c ):

$${\displaystyle F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r}$$

F _t = F _cx = r

$${\displaystyle k=m\omega ^{2}}$$

ω = 2π f

$${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

Teoría de la elasticidad lineal para medios continuos.

Materiales isotrópicos

Los materiales isotrópicos se caracterizan por propiedades independientes de la dirección en el espacio. Por lo tanto, las ecuaciones físicas que involucran materiales isotrópicos deben ser independientes del sistema de coordenadas elegido para representarlos. El tensor de deformación es un tensor simétrico. Dado que la traza de cualquier tensor es independiente de cualquier sistema de coordenadas, la descomposición sin coordenadas más completa de un tensor simétrico es representarlo como la suma de un tensor constante y un tensor simétrico sin traza. ^[10] Así, en notación de índice :

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}$$

δ _ijdelta de Kronecker

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$

I

El primer término de la derecha es el tensor constante, también conocido como tensor de deformación volumétrica , y el segundo término es el tensor simétrico sin trazas, también conocido como tensor de deformación desviador o tensor de corte.

La forma más general de la ley de Hooke para materiales isotrópicos puede escribirse ahora como una combinación lineal de estos dos tensores:

$${\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$

Kmódulo de volumenGmódulo de corte

Utilizando las relaciones entre los módulos elásticos , estas ecuaciones también se pueden expresar de otras maneras. Una forma común de la ley de Hooke para materiales isotrópicos, expresada en notación tensorial directa, es ^[11] donde λ = K − ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}}$2/3G = c ₁₁₁₁ − 2 c ₁₂₁₂ y μ = G = c ₁₂₁₂ son las constantes de Lamé , I es el tensor de identidad de segundo rango e I es la parte simétrica del tensor de identidad de cuarto rango. En notación de índice:

$${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$$

^[12]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$

ε = s  : σ

$${\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}}$$

módulo de Youngla relación de Poisson

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}}$$

Eel módulo de Youngνel coeficiente de Poissonelasticidad 3-D

Derivación de la ley de Hooke en tres dimensiones.

La forma tridimensional de la ley de Hooke se puede derivar utilizando la relación de Poisson y la forma unidimensional de la ley de Hooke de la siguiente manera. Considere la relación de deformación y tensión como una superposición de dos efectos: estiramiento en la dirección de la carga (1) y contracción (causada por la carga) en direcciones perpendiculares (2 y 3).

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'&={\frac {1}{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{2}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{3}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\end{aligned}}}$$

donde ν es el coeficiente de Poisson y E es el módulo de Young.

Obtenemos ecuaciones similares a las cargas en las direcciones 2 y 3,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{2}''&={\frac {1}{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{3}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\end{aligned}}}$$

y

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{2}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{3}'''&={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\,.\end{aligned}}}$$

Sumando los tres casos ( ε _i = ε _i ′ + ε _i ″ + ε _i ‴ ) obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big )}\,,\end{aligned}}}$$

o sumando y restando uno νσ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\end{aligned}}}$$

y más llegamos resolviendo σ ₁

$${\displaystyle \sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\,.}$$

Calculando la suma

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-3\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}={\frac {1-2\nu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\\\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}&={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\end{aligned}}}$$

y sustituyéndolo en la ecuación resuelta para σ ₁ se obtiene

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\\&=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\,,\end{aligned}}}$$

donde μ y λ son los parámetros de Lamé .

Un tratamiento similar de las direcciones 2 y 3 da la ley de Hooke en tres dimensiones.

En forma matricial, la ley de Hooke para materiales isotrópicos se puede escribir como

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$

γij ₌ 2 εijdeformación por corte de _ingeniería

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}$$

I

Estrés aereo

En condiciones de tensión plana , σ ₃₁ = σ ₁₃ = σ ₃₂ = σ ₂₃ = σ ₃₃ = 0 . En ese caso la ley de Hooke toma la forma

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

En notación vectorial esto se convierte en

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)}$$

La relación inversa generalmente se escribe en forma reducida.

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$

Deformación plana

En condiciones de deformación plana , ε ₃₁ = ε ₁₃ = ε ₃₂ = ε ₂₃ = ε ₃₃ = 0 . En este caso la ley de Hooke toma la forma

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

Materiales anisotrópicos

La simetría del tensor de tensión de Cauchy ( σ _ij = σ _ji ) y las leyes generalizadas de Hooke ( σ _ij = c _ijkl ε _kl ) implica que c _ijkl = c _jikl . De manera similar, la simetría del tensor de deformación infinitesimal implica que c _ijkl = c _ijlk . Estas simetrías se denominan simetrías menores del tensor de rigidez c . Esto reduce el número de constantes elásticas de 81 a 36.

Si además, dado que el gradiente de desplazamiento y la tensión de Cauchy son trabajo conjugado, la relación tensión-deformación se puede derivar de un funcional de densidad de energía de deformación ( U ), entonces

$${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}$$

c _ijkl = c _klijsimetrías principales

Representación matricial (tensor de rigidez)

A menudo resulta útil expresar la forma anisotrópica de la ley de Hooke en notación matricial, también llamada notación de Voigt . Para hacer esto aprovechamos la simetría de los tensores de tensión y deformación y los expresamos como vectores hexadimensionales en un sistema de coordenadas ortonormal ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) como

$${\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$

c

$${\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.}$$

se

$${\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}$$

Cambio de sistema de coordenadas

Si un material elástico lineal se rota de una configuración de referencia a otra, entonces el material es simétrico con respecto a la rotación si los componentes del tensor de rigidez en la configuración rotada están relacionados con los componentes en la configuración de referencia mediante la relación [ ^13]

$${\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}}$$

lab _sonmatriz de rotación ortogonal [ L ]

En notación matricial, si la base transformada (girada o invertida) está relacionada con la base de referencia por

$${\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}$$

$${\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.}$$

[ L ]

$${\displaystyle C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j})=0\,.}$$

Materiales ortotrópicos

Los materiales ortotrópicos tienen tres planos de simetría ortogonales . Si los vectores base ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) son normales a los planos de simetría, entonces las relaciones de transformación de coordenadas implican que

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$

^{[14] [ página necesaria ]}

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$$

• E _i es el módulo de Young a lo largo del eje i
• G _ij es el módulo de corte en la dirección j en el plano cuya normal está en la dirección i
• ν _ij es el coeficiente de Poisson que corresponde a una contracción en la dirección j cuando se aplica una extensión en la dirección i .

En condiciones de tensión plana , σ _zz = σ _zx = σ _yz = 0 , la ley de Hooke para un material ortotrópico toma la forma

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.}$$

Materiales transversalmente isotrópicos.

Un material transversalmente isotrópico es simétrico con respecto a una rotación alrededor de un eje de simetría . Para tal material, si e ₃ es el eje de simetría, la ley de Hooke se puede expresar como

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$

Más frecuentemente, el eje x ≡ e ₁ se toma como el eje de simetría y la ley de Hooke inversa se escribe como ^[15]

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$$

Índice de anisotropía elástica universal

Para comprender el grado de anisotropía de cualquier clase, se formuló un índice de anisotropía elástica universal (AU) ^{[16] .} Reemplaza la relación Zener , que es adecuada para cristales cúbicos .

Base termodinámica

Las deformaciones lineales de materiales elásticos pueden aproximarse como adiabáticas . En estas condiciones y para procesos cuasiestáticos, la primera ley de la termodinámica para un cuerpo deformado se puede expresar como

$${\displaystyle \delta W=\delta U}$$

δUenergía internaδWtrabajo

$${\displaystyle \delta W=\delta W_{\mathrm {s} }+\delta W_{\mathrm {b} }}$$

δW _slas fuerzas superficialesδW _blas fuerzas corporalesδ uvariaciónu

$${\displaystyle \delta W_{\mathrm {s} }=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \delta \mathbf {u} \,dS\,;\qquad \delta W_{\mathrm {b} }=\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV}$$

tde tracciónbΩ∂ Ωtensión de Cauchyt = n · σn∂ Ω

$${\displaystyle \delta W=\delta U=\int _{\partial \Omega }(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\cdot \delta \mathbf {u} \,dS+\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV\,.}$$

integral de superficieintegral de volumenteorema de divergencia

$${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\big (}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u} )+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} {\big )}\,dV\,.}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}:\nabla \mathbf {b} +\mathbf {a} :(\nabla \mathbf {b} )^{\mathsf {T}}\right)}$$

$${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }\left({\boldsymbol {\sigma }}:{\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} \right)\cdot \delta \mathbf {u} \right)\,dV\,.}$$

deformaciónequilibrio

$${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)\,;\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0} \,.}$$

$${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,dV}$$

de energía interna

$${\displaystyle \delta U_{0}={\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.}$$

elásticoenergía potencialenergía de deformación elásticaU ₀ = U ₀ ( ε )

$${\displaystyle \delta U_{0}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}\,.}$$

∂U ₀ _/∂ε _ε

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}}$$

ctensor de rigidezc

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})={\text{constant}}={\mathsf {c}}\,.}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial \varepsilon _{kl}}}={\text{constant}}=c_{ijkl}\,.}$$

Ver también

• Efecto acustoelástico
• Energía potencial elástica
• leyes de la ciencia
• Lista de leyes científicas que llevan nombres de personas.
• Forma cuadrática
• Resortes en serie y paralelos.
• Sistema de resorte
• Movimiento armónico simple de una masa sobre un resorte.
• Onda sinusoidal
• Mecánica sólida
• Péndulo de primavera

Notas

1. El anagrama se dio en orden alfabético, ceiiinosssttuu , que representa Ut tensio, sic vis - "Como la extensión, así la fuerza": Petroski, Henry (1996). Invención por diseño: cómo los ingenieros pasan del pensamiento a la cosa . Cambridge, MA: Harvard University Press. pag. 11.ISBN _ 978-0674463684.
2. Ver http://civil.lindahall.org/design.shtml, donde también se puede encontrar un anagrama de catenaria .
3. Robert Hooke , De Potentia Restitutiva o de la primavera. Explicando el poder de los cuerpos emergentes , Londres, 1678.
4. Joven, Hugh D.; Freedman, Roger A.; Ford, A. Lewis (2016). Física universitaria de Sears y Zemansky: con la física moderna (14ª ed.). Pearson. pag. 209.
5. Ushiba, Shota; Masui, Kyoko; Taguchi, Natsuo; Hamano, Tomoki; Kawata, Satoshi; Shoji, Satoru (2015). "Nanomecánica dependiente del tamaño de nanocables poliméricos en forma de resorte helicoidal". Informes científicos . 5 : 17152. Código Bib : 2015NatSR...517152U. doi :10.1038/srep17152. PMC 4661696 . PMID  26612544. 
6. Belen'kii; Salaev (1988). "Efectos de deformación en cristales de capas". Uspekhi Fizicheskikh Nauk . 155 (5): 89. doi : 10.3367/UFNr.0155.198805c.0089 .
7. Mouhat, Félix; Coudert, François-Xavier (5 de diciembre de 2014). "Condiciones de estabilidad elástica necesarias y suficientes en diversos sistemas cristalinos". Revisión física B. 90 (22): 224104. arXiv : 1410.0065 . Código Bib : 2014PhRvB..90v4104M. doi : 10.1103/PhysRevB.90.224104. ISSN  1098-0121. S2CID  54058316.
8. Vijay Madhav, M.; Manogaran, S. (2009). "Una revisión de las constantes de cumplimiento en coordenadas internas redundantes y algunos conocimientos nuevos". J. química. Física . 131 (17): 174112–174116. Código Bib :2009JChPh.131q4112V. doi : 10.1063/1.3259834. PMID  19895003.
9. Ponomareva, Alla; Yurenko, Yevgen; Zhurakivski, romano; Van Mourik, Tanja; Hovorun, Dmytro (2012). "Espacio conformacional completo de los posibles inhibidores de la transcriptasa inversa del VIH-1 d4U y d4C. Un estudio de química cuántica". Física. Química. Química. Física . 14 (19): 6787–6795. Código Bib : 2012PCCP...14.6787P. doi :10.1039/C2CP40290D. PMID  22461011.
10. Symon, Keith R. (1971). "Capítulo 10". Mecánica . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 9780201073928.
11. Simo, JC; Hughes, TJR (1998). Inelasticidad computacional . Saltador. ISBN 9780387975207.
12. Milton, Graeme W. (2002). La teoría de los compuestos . Monografías de Cambridge sobre matemáticas aplicadas y computacionales. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521781251.
13. Masacre, William S. (2001). La teoría linealizada de la elasticidad . Birkhäuser. ISBN 978-0817641177.
14. Boresi, AP; Schmidt, RJ; Fondo lateral, OM (1993). Mecánica avanzada de materiales (5ª ed.). Wiley. ISBN 9780471600091.
15. Bronceado, Carolina del Sur (1994). "Concentraciones de tensiones en compuestos laminados ". Lancaster, PA: Compañía editorial tecnológica. ISBN 9781566760775.
16. Ranganathan, SI; Ostoja-Starzewski, M. (2008). "Índice de anisotropía elástica universal". Cartas de revisión física . 101 (5): 055504–1–4. Código bibliográfico : 2008PhRvL.101e5504R. doi : 10.1103/PhysRevLett.101.055504. PMID  18764407. S2CID  6668703.

Referencias

• Ley de Hooke - Conferencias Feynman de Física
• Ley de Hooke - Mecánica clásica - Física - MIT OpenCourseWare

enlaces externos

• Applet de JavaScript que demuestra la ley de Springs y Hooke
• Applet de JavaScript que demuestra Spring Force