Mooney–Rivlin sólido

Modelo de material hiperelástico

En mecánica de medios continuos , un sólido de Mooney-Rivlin ^{[1] [2]} es un modelo de material hiperelástico donde la función de densidad de energía de deformación es una combinación lineal de dos invariantes del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo . El modelo fue propuesto por Melvin Mooney en 1940 y expresado en términos de invariantes por Ronald Rivlin en 1948. ${\displaystyle W\,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

La función de densidad de energía de deformación para un material Mooney-Rivlin incompresible es ^{[3] [4]}

${\displaystyle W=C_{1}({\bar {I}}_{1}-3)+C_{2}({\bar {I}}_{2}-3),\,}$

donde y son constantes materiales determinadas empíricamente, y y son el primer y el segundo invariante de (el componente unimodular de ^[5] ): ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle {\bar {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\bar {I}}_{2}}$ ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=(\det {\boldsymbol {B}})^{-1/3}{\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1},\quad I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2},\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2},\quad I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}}$

donde es el gradiente de deformación y . Para un material incompresible , . ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}$ ${\displaystyle J=1}$

Derivación

El modelo Mooney-Rivlin es un caso especial del modelo generalizado de Rivlin (también llamado modelo hiperelástico polinomial ^[6] ) que tiene la forma

${\displaystyle W=\sum _{p,q=0}^{N}C_{pq}({\bar {I}}_{1}-3)^{p}~({\bar {I}}_{2}-3)^{q}+\sum _{m=1}^{M}{\frac {1}{D_{m}}}~(J-1)^{2m}}$

donde son constantes del material relacionadas con la respuesta distorsional y son constantes del material relacionadas con la respuesta volumétrica. Para un material Mooney-Rivlin compresible y tenemos ${\displaystyle C_{00}=0}$ ${\displaystyle C_{pq}}$ ${\displaystyle D_{m}}$ ${\displaystyle N=1,C_{01}=C_{2},C_{11}=0,C_{10}=C_{1},M=1}$

${\displaystyle W=C_{01}~({\bar {I}}_{2}-3)+C_{10}~({\bar {I}}_{1}-3)+{\frac {1}{D_{1}}}~(J-1)^{2}}$

Si obtenemos un sólido neo-Hookeano , un caso especial de un sólido Mooney-Rivlin . ${\displaystyle C_{01}=0}$

Para lograr la consistencia con la elasticidad lineal en el límite de pequeñas deformaciones , es necesario que

${\displaystyle \kappa =2/D_{1}~;~~\mu =2~(C_{01}+C_{10})}$

donde es el módulo volumétrico y es el módulo de corte . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \mu }$

Tensión de Cauchy en función de invariantes de deformación y tensores de deformación

La tensión de Cauchy en un material hiperelástico compresible con una configuración de referencia libre de tensión viene dada por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {I}}}$

Para un material Mooney-Rivlin comprimible,

${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=C_{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}={\frac {2}{D_{1}}}(J-1)}$

Por lo tanto, la tensión de Cauchy en un material Mooney-Rivlin compresible viene dada por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\frac {2}{D_{1}}}(J-1)-{\cfrac {2}{3J}}\left(C_{1}{\bar {I}}_{1}+2C_{2}{\bar {I}}_{2}~\right)\right]{\boldsymbol {I}}}$

Se puede demostrar, después de algo de álgebra, que la presión está dada por

${\displaystyle p:=-{\tfrac {1}{3}}\,{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=-{\frac {\partial W}{\partial J}}=-{\frac {2}{D_{1}}}(J-1)\,.}$

El estrés puede entonces expresarse en la forma

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[{\cfrac {2}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.}$

La ecuación anterior a menudo se escribe utilizando el tensor unimodular  : ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}\,{\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[2\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\bar {\boldsymbol {B}}}-2~C_{2}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.}$

Para un material Mooney-Rivlin incompresible con se cumple y . Por lo tanto ${\displaystyle J=1}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}={\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left(C_{1}+I_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,I_{1}+2C_{2}\,I_{2}\right){\boldsymbol {I}}\,.}$

Dado que el teorema de Cayley-Hamilton implica ${\displaystyle \det J=1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}^{-1}={\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-I_{1}~{\boldsymbol {B}}+I_{2}~{\boldsymbol {I}}.}$

Por lo tanto, la tensión de Cauchy se puede expresar como

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p^{*}~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}~{\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}^{-1}}$

dónde ${\displaystyle p^{*}:={\tfrac {2}{3}}(C_{1}~I_{1}-C_{2}~I_{2}).\,}$

Estrés de Cauchy en términos de estiramientos principales

En términos de los estiramientos principales , las diferencias de tensión de Cauchy para un material hiperelástico incompresible están dadas por

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}}$

Para un material Mooney-Rivlin incompresible ,

${\displaystyle W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)+C_{2}(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\lambda _{1}^{2}(\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\lambda _{2}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\lambda _{3}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2})}$

Ya que . podemos escribir ${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}&=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}\right)~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\\\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}&=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Entonces las expresiones para las diferencias de tensión de Cauchy se convierten en

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)}$

Extensión uniaxial

Para el caso de un material Mooney-Rivlin incompresible sometido a elongación uniaxial, y . Entonces, las diferencias de tensión verdadera (tensión de Cauchy) se pueden calcular como: ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda \,}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}-\sigma _{33}&=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda \right)\\\sigma _{22}-\sigma _{33}&=0\end{aligned}}}$

Tensión simple

Comparación de resultados experimentales (puntos) y predicciones para la ley de Hooke (1, línea azul), el sólido neo-Hookeano (2, línea roja) y los modelos de sólido Mooney-Rivlin (3, línea verde)

En el caso de tensión simple, . Entonces podemos escribir ${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}=\left(2C_{1}+{\cfrac {2C_{2}}{\lambda }}\right)\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)}$

En notación alternativa, donde la tensión de Cauchy se escribe como y el estiramiento como , podemos escribir ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle T_{11}=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha ^{2}-\alpha ^{-1}\right)}$

y la tensión de ingeniería (fuerza por unidad de área de referencia) para un material Mooney-Rivlin incompresible bajo tensión simple se puede calcular utilizando . Por lo tanto ${\displaystyle T_{11}^{\mathrm {eng} }=T_{11}\alpha _{2}\alpha _{3}={\cfrac {T_{11}}{\alpha }}}$

${\displaystyle T_{11}^{\mathrm {eng} }=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha -\alpha ^{-2}\right)}$

Si definimos

${\displaystyle T_{11}^{*}:={\cfrac {T_{11}^{\mathrm {eng} }}{\alpha -\alpha ^{-2}}}~;~~\beta :={\cfrac {1}{\alpha }}}$

entonces

${\displaystyle T_{11}^{*}=2C_{1}+2C_{2}\beta ~.}$

La pendiente de la línea versus da el valor de mientras que la intersección con el eje da el valor de . El modelo sólido de Mooney-Rivlin generalmente se ajusta mejor a los datos experimentales que el sólido neo-hookeano , pero requiere una constante empírica adicional. ${\displaystyle T_{11}^{*}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle T_{11}^{*}}$ ${\displaystyle C_{1}}$

Tensión equibiaxial

En el caso de tensión equibiaxial, los estiramientos principales son . Si, además, el material es incompresible entonces . Las diferencias de tensión de Cauchy pueden expresarse, por tanto, como ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{3}=1/\lambda ^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda ^{4}\right)}$

Las ecuaciones para la tensión equibiaxial son equivalentes a las que rigen la compresión uniaxial.

Corte puro

Se puede lograr una deformación por corte puro aplicando estiramientos de la forma ^[7]

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}$

Por lo tanto, las diferencias de tensión de Cauchy para corte puro se pueden expresar como

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda ^{2}-1)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)-2C_{2}(\lambda ^{2}-1)}$

Por lo tanto

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=2(C_{1}+C_{2})\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

Para una deformación por corte puro

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~;~~I_{2}={\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}={\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+\lambda ^{2}+1}$

Por lo tanto . ${\displaystyle I_{1}=I_{2}}$

Tijeras simples

El gradiente de deformación para una deformación cortante simple tiene la forma ^[7]

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$

donde son vectores de base ortonormales de referencia en el plano de deformación y la deformación cortante está dada por ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$

${\displaystyle \gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}$

En forma de matriz, el gradiente de deformación y el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo pueden entonces expresarse como

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&-\gamma &0\\-\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

La tensión de Cauchy está dada por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})+2C_{1}\gamma ^{2}&2(C_{1}+C_{2})\gamma &0\\2(C_{1}+C_{2})\gamma &-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})-2C_{2}\gamma ^{2}&0\\0&0&-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})\end{bmatrix}}}$

Para mantener la coherencia con la elasticidad lineal, es claro dónde está el módulo de corte. ${\displaystyle \mu =2(C_{1}+C_{2})}$ ${\displaystyle \mu }$

Goma

La respuesta elástica de los materiales similares al caucho suele modelarse con base en el modelo Mooney-Rivlin. Las constantes se determinan ajustando la tensión predicha a partir de las ecuaciones anteriores a los datos experimentales. Las pruebas recomendadas son tensión uniaxial, compresión equibiaxial, tensión equibiaxial, compresión uniaxial y, para el esfuerzo cortante, tensión plana y compresión plana. El modelo Mooney-Rivlin de dos parámetros suele ser válido para deformaciones inferiores al 100 %. ^[8] ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$

Notas y referencias

1. Mooney, M., 1940, Una teoría de gran deformación elástica , Journal of Applied Physics, 11(9), págs. 582–592.
2. Rivlin, RS, 1948, Grandes deformaciones elásticas de materiales isotrópicos. IV. Desarrollos posteriores de la teoría general , Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, Ciencias matemáticas y físicas, 241(835), págs. 379–397.
3. Boulanger, P. y Hayes, MA, 2001, "Ondas de amplitud finita en materiales Mooney-Rivlin y Hadamard", en Temas de elasticidad finita , ed. M. A Hayes y G. Soccomandi, Centro Internacional de Ciencias Mecánicas.
4. CW Macosko, 1994, Reología: principios, medición y aplicaciones , VCH Publishers, ISBN  1-56081-579-5 .
5. Unimodularidad en este contexto significa . ${\displaystyle \det {\bar {\boldsymbol {B}}}=1}$
6. Bower, Allan (2009). Mecánica aplicada de sólidos. CRC Press. ISBN 978-1-4398-0247-2. Recuperado el 19 de abril de 2018 .
7. Ogden, RW, 1984, Deformaciones elásticas no lineales , Dover
8. Hamza, Muhsin; Alwan, Hassan (2010). "Modelado constitutivo hiperelástico de caucho y materiales similares al caucho bajo tensión finita". Revista de ingeniería y tecnología . 28 (13): 2560–2575. doi : 10.30684/etj.28.13.5 .

Véase también

• Material hiperelástico
• Teoría de la deformación finita
• Mecánica de medios continuos
• Función de densidad de energía de deformación