Modelo hiperelástico polinomial

El modelo polinómico de material hiperelástico ^[1] es un modelo fenomenológico de la elasticidad del caucho . En este modelo, la función de densidad de energía de deformación tiene la forma de un polinomio en los dos invariantes del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo. $I_{1},I_{2}$

La función de densidad de energía de deformación para el modelo polinomial es ^[1]

W=\sum _{i,j=0}^{n}C_{ij}(I_{1}-3)^{i}(I_{2}-3)^{j}

donde son constantes materiales y . $C_{ij}$ $C_{00}=0$

Para materiales compresibles, se agrega una dependencia del volumen.

W=\sum _{i,j=0}^{n}C_{ij}({\bar {I}}_{1}-3)^{i}({\bar {I}}_{2}-3)^{j}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{D_{k}}}(J-1)^{2k}

dónde

{\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1}~;~~I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2}~;~~I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}

En el límite donde , el modelo polinomial se reduce al modelo sólido neo-hookeano . Para un material Mooney-Rivlin compresible y tenemos $C_{01}=C_{11}=0$ $n=1,C_{01}=C_{2},C_{11}=0,C_{10}=C_{1},m=1$

W=C_{01}~({\bar {I}}_{2}-3)+C_{10}~({\bar {I}}_{1}-3)+{\frac {1}{D_{1}}}~(J-1)^{2}

Referencias

^ ab Rivlin, RS y Saunders, DW, 1951, Grandes deformaciones elásticas de materiales isotrópicos VII. Experimentos sobre la deformación del caucho. Phi. Trans. Royal Soc. London Series A, 243(865), págs. 251-288.