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Control óptimo pseudoespectral

El control óptimo pseudoespectral es un método teórico-computacional conjunto para resolver problemas de control óptimo . [1] [2] [3] [4] Combina la teoría pseudoespectral (PS) con la teoría de control óptimo para producir una teoría de control óptimo PS. La teoría de control óptimo PS se ha utilizado en sistemas terrestres y de vuelo [1] en aplicaciones militares e industriales. [5] Las técnicas se han utilizado ampliamente para resolver una amplia gama de problemas, como los que surgen en la generación de trayectorias de UAV, guía de misiles, control de brazos robóticos, amortiguación de vibraciones, guía lunar, control magnético, balanceo y estabilización de un péndulo invertido, transferencias de órbita, control de libración de amarre, guía de ascenso y control cuántico. [5] [6]

Descripción general

Hay una gran cantidad de ideas que caen bajo el estandarte general del control óptimo pseudoespectral. [7] Ejemplos de estos son el método pseudoespectral de Legendre , el método pseudoespectral de Chebyshev , el método pseudoespectral de Gauss , el método pseudoespectral de Ross-Fahroo , el método pseudoespectral de Bellman , el método pseudoespectral plano y muchos otros. [1] [3] Resolver un problema de control óptimo requiere la aproximación de tres tipos de objetos matemáticos: la integración en la función de costo, la ecuación diferencial del sistema de control y las restricciones de control de estado. [3] Un método de aproximación ideal debe ser eficiente para las tres tareas de aproximación. Un método que es eficiente para uno de ellos, por ejemplo un solucionador de EDO eficiente, puede no ser un método eficiente para los otros dos objetos. Estos requisitos hacen que los métodos PS sean ideales porque son eficientes para la aproximación de los tres objetos matemáticos. [8] [9] [10] En un método pseudoespectral, las funciones continuas se aproximan en un conjunto de nodos de cuadratura cuidadosamente seleccionados . Los nodos de cuadratura están determinados por la base polinómica ortogonal correspondiente utilizada para la aproximación. En el control óptimo de PS, se utilizan comúnmente los polinomios de Legendre y Chebyshev . Matemáticamente, los nodos de cuadratura pueden lograr una alta precisión con una pequeña cantidad de puntos. Por ejemplo, el polinomio de interpolación de cualquier función suave (C ) en los nodos de Legendre–Gauss–Lobatto converge en el sentido L 2 a la denominada tasa espectral, más rápido que cualquier tasa polinómica. [9]

Detalles

Un método pseudoespectral básico para el control óptimo se basa en el principio de mapeo de covectores . [2] Otras técnicas de control óptimo pseudoespectral, como el método pseudoespectral de Bellman , se basan en la agrupación de nodos en el momento inicial para producir controles óptimos. Las agrupaciones de nodos se producen en todos los puntos gaussianos. [8] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20]

Además, su estructura puede ser altamente explotada para hacerlos computacionalmente más eficientes, como se han desarrollado métodos de escalamiento ad-hoc [21] y de cálculo jacobiano, que involucran la teoría de números duales [22] . [19]

En los métodos pseudoespectrales, la integración se aproxima mediante reglas de cuadratura, que proporcionan el mejor resultado de integración numérica . Por ejemplo, con solo N nodos, una integración en cuadratura de Legendre-Gauss logra un error cero para cualquier integrando polinomial de grado menor o igual a . En la discretización PS de la EDO involucrada en problemas de control óptimo, se utiliza una matriz de diferenciación simple pero altamente precisa para las derivadas. Debido a que un método PS impone el sistema en los nodos seleccionados, las restricciones de control de estado se pueden discretizar directamente. Todas estas ventajas matemáticas hacen que los métodos pseudoespectrales sean una herramienta de discretización sencilla para problemas de control óptimo continuo. [ cita requerida ]

Véase también

Referencias

  1. ^ abc Ross, I. Michael; Karpenko, Mark (2012). "Una revisión del control óptimo pseudoespectral: de la teoría al vuelo". Reseñas anuales en control . 36 (2): 182–97. doi :10.1016/j.arcontrol.2012.09.002.
  2. ^ ab Ross, I M. (2005). "Una hoja de ruta para un control óptimo: la forma correcta de viajar". Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York . 1065 : 210–31. Bibcode :2005NYASA1065..210R. doi :10.1196/annals.1370.015. PMID  16510411. S2CID  7625851.
  3. ^ abc Fahroo, Fariba; Ross, I. Michael (2008). "Avances en métodos pseudoespectrales para el control óptimo". Conferencia y exposición sobre guía, navegación y control de la AIAA . págs. 18-21. doi :10.2514/6.2008-7309. ISBN . 978-1-60086-999-0.S2CID 17819443  .
  4. ^ Ross, IM; Fahroo, F. (2003). "Un marco computacional unificado para el control óptimo en tiempo real". 42.ª Conferencia Internacional IEEE sobre Decisión y Control (IEEE Cat. No.03CH37475) . Vol. 3. págs. 2210–5. doi :10.1109/CDC.2003.1272946. ISBN 0-7803-7924-1.S2CID122755607  .​
  5. ^ ab Qi Gong; Wei Kang; Bedrossian, Nazareth S.; Fahroo, Fariba; Pooya Sekhavat; Bollino, Kevin (2007). "Control óptimo pseudoespectral para aplicaciones militares e industriales". 2007 46.ª Conferencia IEEE sobre decisiones y control . págs. 4128–42. doi :10.1109/CDC.2007.4435052. hdl :10945/29677. ISBN . 978-1-4244-1497-0. Número de identificación del sujeto  2935682.
  6. ^ Li, Jr-Shin; Ruths, Justin; Yu, Tsyr-Yan; Arthanari, Haribabu; Wagner, Gerhard (2011). "Diseño de pulso óptimo en control cuántico: un método computacional unificado". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 108 (5): 1879–84. Bibcode :2011PNAS..108.1879L. doi : 10.1073/pnas.1009797108 . JSTOR  41001785. PMC 3033291 . PMID  21245345. 
  7. ^ Ross, IM; Proulx, RJ (septiembre de 2019). "Resultados adicionales sobre la programación de control óptimo pseudoespectral rápido de Birkhoff" (PDF) . Journal of Guidance, Control, and Dynamics . 42 (9): 2086–2092. Bibcode :2019JGCD...42.2086R. doi :10.2514/1.g004297. ISSN  1533-3884. S2CID  191166808.
  8. ^ ab Gong, Q.; Kang, W.; Ross, IM (2006). "Un método pseudoespectral para el control óptimo de sistemas linealizables con retroalimentación restringida". IEEE Transactions on Automatic Control . 51 (7): 1115–29. doi :10.1109/TAC.2006.878570. hdl : 10945/29674 . S2CID  16048034.
  9. ^ ab Hesthaven, JS; Gottlieb, S.; Gottlieb, D. (2007). Métodos espectrales para problemas dependientes del tiempo . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79211-0.[ página necesaria ]
  10. ^ Gong, Qi; Ross, I. Michael; Kang, Wei; Fahroo, Fariba (2007). "Conexiones entre el teorema de mapeo covectorial y la convergencia de métodos pseudoespectrales para control óptimo". Optimización computacional y aplicaciones . 41 (3): 307–35. doi :10.1007/s10589-007-9102-4. hdl :10945/48182. S2CID  38196250.
  11. ^ Elnagar, G.; Kazemi, MA; Razzaghi, M. (1995). "El método pseudoespectral de Legendre para discretizar problemas de control óptimo". IEEE Transactions on Automatic Control . 40 (10): 1793–6. doi :10.1109/9.467672.
  12. ^ Fahroo, Fariba; Ross, I. Michael (2001). "Estimación de costata mediante un método pseudoespectral de Legendre". Revista de orientación, control y dinámica . 24 (2): 270–7. Bibcode :2001JGCD...24..270F. doi :10.2514/2.4709. hdl : 10945/29649 . S2CID  122759455.
  13. ^ Gong, Qi; Fahroo, Fariba; Ross, I. Michael (2008). "Algoritmo espectral para métodos pseudoespectrales en control óptimo". Revista de guía, control y dinámica . 31 (3): 460–71. Bibcode :2008JGCD...31..460G. CiteSeerX 10.1.1.301.3354 . doi :10.2514/1.32908. hdl :10945/56995. S2CID  18145691. 
  14. ^ Elnagar, Gamal N.; Kazemi, Mohammad A. (1998). "Control óptimo pseudoespectral de Chebyshev de sistemas dinámicos no lineales restringidos". Optimización computacional y aplicaciones . 11 (2): 195–217. doi :10.1023/A:1018694111831. S2CID  30241469.
  15. ^ Fahroo, Fariba; Ross, I. Michael (2002). "Optimización de trayectoria directa mediante un método pseudoespectral de Chebyshev". Revista de orientación, control y dinámica . 25 (1): 160–6. Código Bibliográfico :2002JGCD...25..160F. doi :10.2514/2.4862.
  16. ^ Benson, David A.; Huntington, Geoffrey T.; Thorvaldsen, Tom P.; Rao, Anil V. (2006). "Optimización directa de trayectorias y estimación de cotas mediante un método de colocación ortogonal". Revista de guía, control y dinámica . 29 (6): 1435–40. Código Bibliográfico :2006JGCD...29.1435B. CiteSeerX 10.1.1.658.9510 . doi :10.2514/1.20478. 
  17. ^ Rao, Anil V.; Benson, David A.; Darby, Christopher; Patterson, Michael A.; Francolin, Camila; Sanders, Ilyssa; Huntington, Geoffrey T. (2010). "Algoritmo 902: GPOPS, un software de MATLAB para resolver problemas de control óptimo de múltiples fases utilizando el método pseudoespectral de Gauss". ACM Transactions on Mathematical Software . 37 (2). doi : 10.1145/1731022.1731032 . S2CID  15375549.
  18. ^ Garg, Divya; Patterson, Michael A.; Francolin, Camila; Darby, Christopher L.; Huntington, Geoffrey T.; Hager, William W.; Rao, Anil V. (2009). "Optimización de trayectoria directa y estimación de costata de problemas de control óptimo de horizonte finito y horizonte infinito utilizando un método pseudoespectral de Radau". Optimización computacional y aplicaciones . 49 (2): 335–58. CiteSeerX 10.1.1.663.4215 . doi :10.1007/s10589-009-9291-0. S2CID  8817072. 
  19. ^ ab Sagliano, Marco; Theil, Stephan (2013). "Computación jacobiana híbrida para la generación rápida de trayectorias óptimas". Conferencia de guía, navegación y control (GNC) de la AIAA . doi :10.2514/6.2013-4554. ISBN 978-1-62410-224-0.
  20. ^ Huneker, Laurens; Sagliano, Marco; Arslantas, Yunus (2015). SPARTAN: Un algoritmo pseudoespectral global mejorado para el análisis de guía de entrada-descenso-aterrizaje de alta fidelidad (PDF) . 30.º Simposio Internacional sobre Ciencia y Tecnología Espacial. Kobe, Japón.
  21. ^ Sagliano, Marco (2014). "Análisis de desempeño de técnicas lineales y no lineales para escalamiento automático de problemas de control discretizado" (PDF) . Operations Research Letters . 42 (3): 213–6. doi :10.1016/j.orl.2014.03.003.
  22. ^ d'Onofrio, Vincenzo; Sagliano, Marco; Arslantas, Yunus E. (2016). "Cálculo jacobiano híbrido exacto para trayectorias óptimas mediante la teoría de números duales" (PDF) . Conferencia de guía, navegación y control de la AIAA . doi :10.2514/6.2016-0867. ISBN 978-1-62410-389-6.

Enlaces externos

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