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Método pseudoespectral de Gauss

El método pseudoespectral de Gauss (GPM) , uno de los muchos temas que llevan el nombre de Carl Friedrich Gauss , es un método de transcripción directa para discretizar un problema de control óptimo continuo en un programa no lineal (NLP). El método pseudoespectral de Gauss se diferencia de otros métodos pseudoespectrales en que las dinámicas no se ubican en ninguno de los extremos del intervalo de tiempo. Esta colocación, junto con la aproximación adecuada al costete , conduce a un conjunto de condiciones KKT que son idénticas a la forma discretizada de las condiciones de optimización de primer orden. Esta equivalencia entre las condiciones KKT y las condiciones discretizadas de optimización de primer orden conduce a una estimación de costos precisa utilizando los multiplicadores KKT de la PNL.

Descripción

El método se basa en la teoría de la colocación ortogonal donde los puntos de colocación (es decir, los puntos en los que se discretiza el problema de control óptimo) son los puntos de Legendre -Gauss (LG). El enfoque utilizado en el GPM es utilizar una aproximación polinómica de Lagrange para el estado que incluye coeficientes para el estado inicial más los valores del estado en los N puntos LG. De manera algo opuesta, la aproximación del costate (adjunto) se realiza utilizando una base de polinomios de Lagrange que incluye el valor final del costate más el costate en los puntos N LG. Estas dos aproximaciones juntas conducen a la capacidad de asignar los multiplicadores KKT del programa no lineal (NLP) a los costos del problema de control óptimo en los puntos N LG MÁS los puntos límite. El teorema de mapeo de costas que surge del GPM se ha descrito en varias referencias, incluidas dos tesis doctorales [1] [2] y artículos de revistas que incluyen la teoría junto con sus aplicaciones [3] [4] [5]

Fondo

Los métodos pseudoespectrales, también conocidos como métodos de colocación ortogonal , en control óptimo surgieron de los métodos espectrales que se utilizaban tradicionalmente para resolver problemas de dinámica de fluidos. [6] [7] El trabajo fundamental en métodos de colocación ortogonal para problemas de control óptimo se remonta a 1979 con el trabajo de Reddien [8] y algunos de los primeros trabajos que utilizan métodos de colocación ortogonal en ingeniería se pueden encontrar en la literatura de ingeniería química. [9] Trabajos más recientes en ingeniería química y aeroespacial han utilizado la colocación en los puntos Legendre-Gauss-Radau (LGR). [10] [11] [12] [13] Dentro de la comunidad de ingeniería aeroespacial, se han desarrollado varios métodos pseudoespectrales bien conocidos para resolver problemas de control óptimo, como el método pseudoespectral de Chebyshev (CPM) [14] [15] el método pseudoespectral de Legendre método (LPM) [16] y el método pseudoespectral de Gauss (GPM). [17] El CPM utiliza polinomios de Chebyshev para aproximar el estado y el control, y realiza una colocación ortogonal en los puntos Chebyshev-Gauss- Lobatto (CGL). Se desarrolló una mejora del método pseudoespectral de Chebyshev que utiliza una cuadratura de Clenshaw-Curtis. [18] El LPM utiliza polinomios de Lagrange para las aproximaciones y puntos de Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) para la colocación ortogonal. También se desarrolló un procedimiento de estimación de costes para el método pseudoespectral de Legendre . [19] Trabajos recientes muestran varias variantes del LPM estándar. El método pseudoespectral de Jacobi [20] es un enfoque pseudoespectral más general que utiliza polinomios de Jacobi para encontrar los puntos de colocación, de los cuales los polinomios de Legendre son un subconjunto. Otra variante, llamada método Hermite-LGL [21] utiliza polinomios cúbicos por partes en lugar de polinomios de Lagrange, y los coloca en un subconjunto de los puntos LGL.

Ver también

Referencias y notas

  1. ^ Benson, DA, Una transcripción pseudoespectral de Gauss para un control óptimo , Ph.D. Tesis, Departamento de Aeronáutica y Astronáutica, MIT, noviembre de 2004,
  2. ^ Huntington, GT, Avance y análisis de una transcripción pseudoespectral de Gauss para un control óptimo , Ph.D. Tesis, Departamento de Aeronáutica y Astronáutica, MIT, mayo de 2007
  3. ^ Benson, DA, Huntington, GT, Thorvaldsen, TP y Rao, AV, "Optimización de trayectoria directa y estimación de costos mediante un método de colocación ortogonal", Journal of Guidance, Control, and Dynamics . vol. 29, núm. 6, noviembre-diciembre de 2006, págs. 1435-1440.
  4. ^ Huntington, GT, Benson, DA y Rao, AV, "Configuración óptima de formaciones de naves espaciales tetraédricas", The Journal of The Astronautical Sciences . vol. 55, núm. 2, marzo-abril de 2007, págs. 141-169.
  5. ^ Huntington, GT y Rao, AV, "Reconfiguración óptima de formaciones de naves espaciales utilizando el método pseudoespectral de Gauss", Revista de orientación, control y dinámica . vol. 31, núm. 3, marzo-abril de 2008, págs. 689–698.
  6. ^ Canuto, C., Hussaini, MY , Quarteroni, A., Zang, TA, Métodos espectrales en dinámica de fluidos , Springer – Verlag, Nueva York, 1988.
  7. ^ Fornberg, B., Una guía práctica de métodos pseudoespectrales , Cambridge University Press, 1998.
  8. ^ Reddien, GW, "Colocación en puntos de Gauss como discretización en control óptimo", Revista SIAM sobre control y optimización , vol. 17, núm. 2, marzo de 1979.
  9. ^ Cuthrell, JE y Biegler, LT, “Métodos de solución y optimización simultánea para perfiles de control de reactores discontinuos”, Computación e ingeniería química , vol. 13, núms. 1/2, 1989, págs. 49–62.
  10. ^ Hedengren, JD; Asgharzadeh Shishavan, R.; Powell, KM; Édgar, TF (2014). "Modelado no lineal, estimación y control predictivo en APMonitor". Informática e Ingeniería Química . 70 (5): 133-148. doi : 10.1016/j.compchemeng.2014.04.013. S2CID  5793446.
  11. ^ Fahroo, F. y Ross, I., “Métodos pseudoespectrales para problemas de control óptimo no lineal de horizonte infinito”, Conferencia de orientación, navegación y control de la AIAA de 2005, documento AIAA 2005–6076, San Francisco, CA, 15 al 18 de agosto de 2005 .
  12. ^ Kameswaran, S. y Biegler, LT, “Tasas de convergencia para la optimización dinámica mediante la colocación de Radau”, Conferencia SIAM sobre optimización , Estocolmo, Suecia, 2005.
  13. ^ Kameswaran, S. y Biegler, LT, “Tasas de convergencia para la transcripción directa de problemas de control óptimos en puntos Radau”, Actas de la Conferencia Estadounidense de Control de 2006 , Minneapolis, Minnesota, junio de 2006.
  14. ^ Vlassenbroeck, J. y Van Doreen, R., "Una técnica de Chebyshev para resolver problemas de control óptimo no lineal", IEEE Transactions on Automatic Control , vol. 33, núm. 4, 1988, págs. 333–340.
  15. ^ Vlassenbroeck, J., "Un método polinómico de Chebyshev para un control óptimo con restricciones estatales", Automatica , vol. 24, 1988, págs. 499–506.
  16. ^ Elnagar, J., Kazemi, MA y Razzaghi, M., El método pseudoespectral de Legendre para discretizar problemas de control óptimo, IEEE Transactions on Automatic Control , vol. 40, núm. 10, 1995, págs. 1793–1796
  17. ^ Benson, DA, Huntington, GT, Thorvaldsen, TP y Rao, AV, “Optimización de trayectoria directa y estimación de costos mediante un método de colocación ortogonal”, Journal of Guidance, Control, and Dynamics , vol. 29, núm. 6, noviembre-diciembre de 2006, págs. 1435-1440.
  18. ^ Fahroo, F. y Ross, IM, “Optimización de trayectoria directa mediante un método pseudoespectral de Chebyshev”, Journal of Guidance, Control, and Dynamics , vol. 25, núm. 1, enero-febrero de 2002, págs. 160-166.
  19. ^ Ross, IM y Fahroo, F., Aproximaciones pseudoespectrales de problemas de control óptimo de Legendre, Apuntes de conferencias sobre ciencias de la información y el control , Vol.295, Springer-Verlag, Nueva York, 2003
  20. ^ Williams, P., “Método pseudoespectral de Jacobi para resolver problemas de control óptimo”, Journal of Guidance , vol. 27, núm. 2, 2003
  21. ^ Williams, P., "Métodos de transcripción directa de Hermite-Legendre-Gauss-Lobatto en optimización de trayectorias", Avances en las ciencias astronáuticas . vol. 120, parte I, págs. 465–484. 2005