Método pseudoespectral

Clase de procesos analíticos de resolución de ecuaciones diferenciales parciales.

Los métodos pseudoespectrales , ^[1] también conocidos como métodos de representación de variables discretas (DVR), son una clase de métodos numéricos utilizados en matemáticas aplicadas y computación científica para la solución de ecuaciones diferenciales parciales . Están estrechamente relacionados con los métodos espectrales , pero complementan la base con una base pseudoespectral adicional, que permite la representación de funciones en una cuadrícula de cuadratura ^{[ definición necesaria ]} . Esto simplifica la evaluación de ciertos operadores, y puede acelerar considerablemente el cálculo cuando se utilizan algoritmos rápidos como la transformada rápida de Fourier .

Motivación con un ejemplo concreto

Tome el problema del valor inicial

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\Bigl [}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x){\Bigr ]}\psi (x,t),\qquad \qquad \psi (t_{0})=\psi _{0}}$

con condiciones periódicas . Este ejemplo específico es la ecuación de Schrödinger para una partícula en potencial , pero la estructura es más general. En muchas ecuaciones diferenciales parciales prácticas, uno tiene un término que involucra derivadas (como una contribución de energía cinética) y una multiplicación con una función (por ejemplo, un potencial). ${\displaystyle \psi (x+1,t)=\psi (x,t)}$ ${\displaystyle V(x)}$

En el método espectral, la solución se expande en un conjunto adecuado de funciones básicas, por ejemplo ondas planas, ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n}c_{n}(t)e^{2\pi inx}.}$

La inserción y equiparación de coeficientes idénticos produce un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para los coeficientes,

${\displaystyle i{\frac {d}{dt}}c_{n}(t)=(2\pi n)^{2}c_{n}+\sum _{k}V_{n-k}c_{k},}$

donde los elementos se calculan mediante la transformada explícita de Fourier ${\displaystyle V_{n-k}}$

${\displaystyle V_{n-k}=\int _{0}^{1}V(x)\ e^{2\pi i(k-n)x}dx.}$

La solución se obtendría entonces truncando la expansión a funciones básicas y encontrando una solución para el problema . En general, esto se hace mediante métodos numéricos , como los métodos de Runge-Kutta . Para las soluciones numéricas, el lado derecho de la ecuación diferencial ordinaria debe evaluarse repetidamente en diferentes pasos de tiempo. En este punto, el método espectral tiene un problema importante con el término potencial . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c_{n}(t)}$ ${\displaystyle V(x)}$

En la representación espectral, la multiplicación con la función se transforma en una multiplicación de matriz vectorial, que escala como . Además, los elementos de la matriz deben evaluarse explícitamente antes de poder resolver la ecuación diferencial de los coeficientes, lo que requiere un paso adicional. ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle V_{n-k}}$

En el método pseudoespectral, este término se evalúa de manera diferente. Dados los coeficientes , una transformada de Fourier discreta inversa produce el valor de la función en puntos discretos de la cuadrícula . En estos puntos de la cuadrícula, la función se multiplica, y el resultado se transforma nuevamente en Fourier. Esto produce un nuevo conjunto de coeficientes que se utilizan en lugar del producto matricial . ${\displaystyle c_{n}(t)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x_{j}=2\pi j/N}$ ${\displaystyle \psi '(x_{i},t)=V(x_{i})\psi (x_{i},t)}$ ${\displaystyle c'_{n}(t)}$ ${\displaystyle \sum _{k}V_{n-k}c_{k}(t)}$

Se puede demostrar que ambos métodos tienen una precisión similar. Sin embargo, el método pseudoespectral permite el uso de una transformada rápida de Fourier, que escala como , y por lo tanto es significativamente más eficiente que la multiplicación de matrices. Además, la función se puede utilizar directamente sin evaluar integrales adicionales. ${\displaystyle O(N\ln N)}$ ${\displaystyle V(x)}$

Discusión técnica

De forma más abstracta, el método pseudoespectral trata de la multiplicación de dos funciones y como parte de una ecuación diferencial parcial. Para simplificar la notación, se elimina la dependencia del tiempo. Conceptualmente consta de tres pasos: ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

1. ${\displaystyle f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)}$se expanden en un conjunto finito de funciones básicas (este es el método espectral ).
2. Para un conjunto dado de funciones básicas, se busca una cuadratura que convierta los productos escalares de estas funciones básicas en una suma ponderada sobre puntos de la cuadrícula.
3. El producto se calcula multiplicando en cada punto de la cuadrícula. ${\displaystyle V,f}$

Expansión en una base

Las funciones se pueden expandir en forma finita como ${\displaystyle f,{\tilde {f}}}$ ${\displaystyle \{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x)}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=\sum _{n=0}^{N}{\tilde {c}}_{n}\phi _{n}(x)}$

Para simplificar, supongamos que la base sea ortogonal y normalizada, utilizando el producto interno con los límites apropiados . Los coeficientes se obtienen luego por ${\displaystyle \langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle =\delta _{nm}}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}$ ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle c_{n}=\langle f,\phi _{n}\rangle }$

${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle {\tilde {f}},\phi _{n}\rangle }$

Entonces un poco de cálculo da resultado.

${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\sum _{m=0}^{N}V_{n-m}c_{m}}$

con . Esto forma la base del método espectral. Para distinguir la base de la base de cuadratura, la expansión a veces se llama Representación de Base Finita (FBR). ${\displaystyle V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle \phi _{n}}$

Cuadratura

Para una base dada y un número de funciones base, se puede intentar encontrar una cuadratura, es decir, un conjunto de puntos y pesos tales que ${\displaystyle \{\phi _{n}\}}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N+1}$

${\displaystyle \langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle =\sum _{i=0}^{N}w_{i}\phi _{n}(x_{i}){\overline {\phi _{m}(x_{i})}}\qquad \qquad n,m=0,\ldots ,N}$

Ejemplos especiales son la cuadratura gaussiana para polinomios y la transformada discreta de Fourier para ondas planas. Cabe destacar que los puntos y pesos de la cuadrícula, son función de la base y el número . ${\displaystyle x_{i},w_{i}}$ ${\displaystyle N}$

La cuadratura permite una representación numérica alternativa de la función a través de su valor en los puntos de la cuadrícula. Esta representación a veces se denomina representación de variable discreta (DVR) y es completamente equivalente a la expansión de la base. ${\displaystyle f(x),{\tilde {f}}(x)}$

${\displaystyle f(x_{i})=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x_{i})}$

${\displaystyle c_{n}=\langle f,\phi _{n}\rangle =\sum _{i=0}^{N}w_{i}f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}}$

Multiplicación

Luego , la multiplicación con la función se realiza en cada punto de la cuadrícula, ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(x_{i})=V(x_{i})f(x_{i}).}$

Esto generalmente introduce una aproximación adicional. Para ver esto, podemos calcular uno de los coeficientes : ${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle {\tilde {f}},\phi _{n}\rangle =\sum _{i}w_{i}{\tilde {f}}(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}=\sum _{i}w_{i}V(x_{i})f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}}$

Sin embargo, utilizando el método espectral, el mismo coeficiente sería . El método pseudoespectral introduce así la aproximación adicional ${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle }$

${\displaystyle \langle Vf,\phi _{n}\rangle \approx \sum _{i}w_{i}V(x_{i})f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}.}$

Si el producto se puede representar con el conjunto finito de funciones básicas dado, la ecuación anterior es exacta debido a la cuadratura elegida. ${\displaystyle Vf}$

Esquemas pseudoespectrales especiales

El método de Fourier

Si se imponen al sistema condiciones de frontera periódicas con período , las funciones de base pueden generarse mediante ondas planas, ${\displaystyle [0,L]}$

${\displaystyle \phi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {L}}}e^{-\imath k_{n}x}}$

con , donde está la función del techo . ${\displaystyle k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L}$ ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$

La cuadratura de un corte en viene dada por la transformación discreta de Fourier . Los puntos de la cuadrícula están igualmente espaciados, con espaciado , y los pesos constantes son . ${\displaystyle n_{\text{max}}=N}$ ${\displaystyle x_{i}=i\Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x=L/(N+1)}$ ${\displaystyle w_{i}=\Delta x}$

Para la discusión del error, observe que el producto de dos ondas planas es nuevamente una onda plana, con . Por tanto, cualitativamente, si las funciones se pueden representar con suficiente precisión con funciones de base, el método pseudoespectral da resultados precisos si se utilizan funciones de base. ${\displaystyle \phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}}$ ${\displaystyle c\leq a+b}$ ${\displaystyle f(x),V(x)}$ ${\displaystyle N_{f},N_{V}}$ ${\displaystyle N_{f}+N_{V}}$

Una expansión de ondas planas suele tener mala calidad y necesita muchas funciones básicas para converger. Sin embargo, la transformación entre la expansión de la base y la representación de la cuadrícula se puede realizar utilizando una transformada rápida de Fourier , que escala favorablemente como . Como consecuencia, las ondas planas son una de las expansiones más comunes que se encuentran con los métodos pseudoespectrales. ${\displaystyle N\ln N}$

Polinomios

Otra expansión común es la de polinomios clásicos. Aquí se utiliza la cuadratura gaussiana , que establece que siempre se pueden encontrar pesos y puntos tales que ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)p(x)dx=\sum _{i=0}^{N}w_{i}p(x_{i})}$

es válido para cualquier polinomio de grado o menos. Normalmente, la función de peso y los rangos se eligen para un problema específico y conducen a una de las diferentes formas de cuadratura. Para aplicar esto al método pseudoespectral, elegimos funciones básicas , siendo un polinomio de grado con la propiedad ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle 2N+1}$ ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \phi _{n}(x)={\sqrt {w(x)}}P_{n}(x)}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)P_{n}(x)P_{m}(x)dx=\delta _{mn}.}$

En estas condiciones, forman una base ortonormal con respecto al producto escalar . Esta base, junto con los puntos de cuadratura, puede utilizarse para el método pseudoespectral. ${\displaystyle \phi _{n}}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}$

Para la discusión del error, tenga en cuenta que si está bien representado por funciones de base y está bien representado por un polinomio de grado , su producto se puede expandir en las primeras funciones de base, y el método pseudoespectral dará resultados precisos para esa cantidad. funciones base. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N_{f}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N_{V}}$ ${\displaystyle N_{f}+N_{V}}$

Estos polinomios aparecen naturalmente en varios problemas estándar. Por ejemplo, el oscilador armónico cuántico se expande idealmente en los polinomios de Hermite, y los polinomios de Jacobi se pueden utilizar para definir las funciones de Legendre asociadas que suelen aparecer en problemas de rotación.

Notas

1. Orszag, Steven A. (septiembre de 1972). "Comparación de aproximación pseudoespectral y espectral". Estudios en Matemática Aplicada . 51 (3): 253–259. doi : 10.1002/sapm1972513253.

Referencias

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