Principio de mapeo de covectores

Principio en la teoría del control.

El principio de mapeo de covectores es un caso especial del teorema de representación de Riesz , que es un teorema fundamental en el análisis funcional. El nombre fue acuñado por Ross y coautores, ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} Proporciona condiciones bajo las cuales la dualización se puede conmutar con discretización en el caso de control óptimo computacional .

Descripción

Una aplicación del principio mínimo de Pontryagin al problema , un problema de control óptimo dado genera un problema de valor límite . Según Ross, este problema de valores límite es un levantamiento de Pontryagin y se representa como Problema . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\lambda }}$

Ilustración del principio de mapeo de covectores (adaptado de Ross y Fahroo. ^[7]

Ahora supongamos que uno discretiza el Problema . Esto genera un Problema donde representa el número de puntos discretos. Para la convergencia, es necesario demostrar que como ${\displaystyle B^{\lambda }}$ ${\displaystyle B^{\lambda N}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N\to \infty ,\quad {\text{Problem }}B^{\lambda N}\to {\text{Problem }}B^{\lambda }}$

En la década de 1960, Kalman y otros ^[8] demostraron que resolver problemas es extremadamente difícil. Esta dificultad, conocida como la maldición de la complejidad, ^[9] es complementaria a la maldición de la dimensionalidad . ${\displaystyle B^{\lambda N}}$

En una serie de artículos que comenzaron a finales de la década de 1990, Ross y Fahroo demostraron que se podía llegar a una solución al Problema (y por tanto al Problema ) más fácilmente discretizando primero (Problema ) y dualizando después (Problema ). La secuencia de operaciones debe realizarse con cuidado para garantizar la coherencia y la convergencia. El principio de mapeo de covectores afirma que se puede descubrir un teorema de mapeo de covectores para mapear las soluciones de un problema a otro, completando así el circuito. ${\displaystyle B^{\lambda }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{N}}$ ${\displaystyle B^{N\lambda }}$ ${\displaystyle B^{N\lambda }}$ ${\displaystyle B^{\lambda N}}$

Ver también

• Método pseudoespectral de Legendre
• Métodos pseudoespectrales de Ross-Fahroo
• Lema de Ross-Fahroo

Referencias

1. Ross, IM, “Una introducción histórica al principio de mapeo de covectores”, Actas de la Conferencia de especialistas en astrodinámica AAS/AIAA de 2005, 7 al 11 de agosto de 2005, Lake Tahoe, CA. AAS 05-332.
2. Q. Gong, IM Ross, W. Kang, F. Fahroo, Conexiones entre el teorema de mapeo de covectores y la convergencia de métodos pseudoespectrales para un control óptimo, Optimización y aplicaciones computacionales, vol. 41, págs. 307–335, 2008
3. Ross, IM y Fahroo, F., “Aproximaciones pseudoespectrales legendarias de problemas de control óptimo”, Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol. 295, Springer-Verlag, Nueva York, 2003, págs. 327–342.
4. Ross, IM y Fahroo, F., “Verificación discreta de condiciones necesarias para sistemas de control óptimos no lineales conmutados”, Actas de la Conferencia Estadounidense de Control, junio de 2004, Boston, MA
5. Ross, IM y Fahroo, F., “A Pseudospectral Transformation of the Covectors of Optimal Control Systems”, Actas del primer simposio de la IFAC sobre estructura y control de sistemas, Praga, República Checa, 29 al 31 de agosto de 2001.
6. W. Kang, IM Ross, Q. Gong, Control óptimo pseudoespectral y sus teoremas de convergencia, Análisis y diseño de sistemas de control no lineales, Springer, páginas 109-124, 2008.
7. IM Ross y F. Fahroo, Una perspectiva sobre métodos para la optimización de trayectorias, Actas de la Conferencia de Astrodinámica AIAA/AAS , Monterey, CA, agosto de 2002. Artículo invitado No. AIAA 2002-4727.
8. Bryson, AE y Ho, YC Control óptimo aplicado. Hemisferio, Washington, DC, 1969.
9. Ross, IM Introducción al principio de Pontryagin en el control óptimo. Editores colegiados. Carmelo, California, 2009. ISBN  978-0-9843571-0-9 .