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Control óptimo pseudoespectral

El control óptimo pseudoespectral es un método teórico-computacional conjunto para resolver problemas de control óptimo . [1] [2] [3] [4] Combina la teoría pseudoespectral (PS) con la teoría de control óptimo para producir una teoría de control óptimo PS. La teoría de control óptimo PS se ha utilizado en sistemas terrestres y de vuelo [1] en aplicaciones militares e industriales. [5] Las técnicas se han utilizado ampliamente para resolver una amplia gama de problemas, como los que surgen en la generación de trayectorias de vehículos aéreos no tripulados, guía de misiles, control de brazos robóticos, amortiguación de vibraciones, guía lunar, control magnético, balanceo y estabilización de una órbita invertida. péndulo, transferencias de órbita, control de libración de correas, guía de ascenso y control cuántico. [5] [6]

Descripción general

Hay una gran cantidad de ideas que caen bajo el lema general de control óptimo pseudoespectral. [7] Ejemplos de estos son el método pseudoespectral de Legendre , el método pseudoespectral de Chebyshev , el método pseudoespectral de Gauss , el método pseudoespectral de Ross-Fahroo , el método pseudoespectral de Bellman , el método pseudoespectral plano y muchos otros. [1] [3] Resolver un problema de control óptimo requiere la aproximación de tres tipos de objetos matemáticos: la integración en la función de costos, la ecuación diferencial del sistema de control y las restricciones de control de estado. [3] Un método de aproximación ideal debería ser eficiente para las tres tareas de aproximación. Un método que sea eficiente para uno de ellos, por ejemplo un solucionador de EDO eficiente, puede no serlo para los otros dos objetos. Estos requisitos hacen que los métodos PS sean ideales porque son eficientes para la aproximación de los tres objetos matemáticos. [8] [9] [10] En un método pseudoespectral, las funciones continuas se aproximan en un conjunto de nodos de cuadratura cuidadosamente seleccionados . Los nodos de cuadratura están determinados por la base polinómica ortogonal correspondiente utilizada para la aproximación. En el control óptimo de PS, se utilizan comúnmente los polinomios de Legendre y Chebyshev . Matemáticamente, los nodos en cuadratura pueden lograr una alta precisión con una pequeña cantidad de puntos. Por ejemplo, el polinomio de interpolación de cualquier función suave (C ) en los nodos de Legendre-Gauss-Lobatto converge en el sentido L 2 a la llamada tasa espectral, más rápida que cualquier tasa polinómica. [9]

Detalles

Un método pseudoespectral básico para un control óptimo se basa en el principio de mapeo de covectores . [2] Otras técnicas de control óptimo pseudoespectral, como el método pseudoespectral de Bellman , se basan en la agrupación de nodos en el momento inicial para producir controles óptimos. Las agrupaciones de nodos se producen en todos los puntos gaussianos. [8] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20]

Además, su estructura puede explotarse en gran medida para hacerlos más eficientes desde el punto de vista computacional, como se ha desarrollado el escalado ad-hoc [21] y los métodos de cálculo jacobiano, que involucran la teoría de números duales [22] . [19]

En los métodos pseudoespectrales, la integración se aproxima mediante reglas de cuadratura, que proporcionan el mejor resultado de integración numérica . Por ejemplo, con solo N nodos, una integración en cuadratura de Legendre-Gauss logra un error cero para cualquier integrando polinómico de grado menor o igual a . En la discretización PS de la ODE involucrada en problemas de control óptimo, se utiliza una matriz de diferenciación simple pero altamente precisa para las derivadas. Debido a que un método PS aplica el sistema en los nodos seleccionados, las restricciones de control de estado pueden discretizarse directamente. Todas estas ventajas matemáticas hacen de los métodos pseudoespectrales una herramienta de discretización sencilla para problemas de control óptimo continuo. [ cita necesaria ]

Ver también

Referencias

  1. ^ abc Ross, I. Michael; Karpenko, Marcos (2012). "Una revisión del control óptimo pseudoespectral: de la teoría al vuelo". Revisiones Anuales en Control . 36 (2): 182–97. doi :10.1016/j.arcontrol.2012.09.002.
  2. ^ ab Ross, IM (2005). "Una hoja de ruta para un control óptimo: la forma correcta de desplazarse". Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York . 1065 : 210–31. Código Bib : 2005NYASA1065..210R. doi : 10.1196/anales.1370.015. PMID  16510411. S2CID  7625851.
  3. ^ abcFahroo , Fariba; Ross, I. Michael (2008). "Avances en métodos pseudoespectrales para un control óptimo". Conferencia y exhibición de orientación, navegación y control de la AIAA . págs. 18-21. doi :10.2514/6.2008-7309. ISBN 978-1-60086-999-0. S2CID  17819443.
  4. ^ Ross, IM; Fahroo, F. (2003). "Un marco computacional unificado para un control óptimo en tiempo real". 42ª Conferencia Internacional IEEE sobre Decisión y Control (IEEE Cat. No.03CH37475) . vol. 3. págs. 2210–5. doi :10.1109/CDC.2003.1272946. ISBN 0-7803-7924-1. S2CID  122755607.
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  6. ^ Li, Jr-Shin; Rut, Justin; Yu, Tsyr-Yan; Arthanari, Haribabu; Wagner, Gerhard (2011). "Diseño de pulso óptimo en control cuántico: un método computacional unificado". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 108 (5): 1879–84. Código bibliográfico : 2011PNAS..108.1879L. doi : 10.1073/pnas.1009797108 . JSTOR  41001785. PMC 3033291 . PMID  21245345. 
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  22. ^ d'Onofrio, Vincenzo; Sagliano, Marco; Arslantas, Yunus E. (2016). "Cálculo jacobiano híbrido exacto para trayectorias óptimas mediante la teoría de números duales" (PDF) . Conferencia de Orientación, Navegación y Control de la AIAA . doi :10.2514/6.2016-0867. ISBN 978-1-62410-389-6.

enlaces externos

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