Segmento de línea

La definición geométrica de un segmento de línea cerrado: la intersección de todos los puntos en o a la derecha de

A

con todos los puntos en o a la izquierda de

B

En geometría , un segmento de línea es una parte de una línea recta que está limitada por dos puntos finales distintos y contiene todos los puntos de la línea que están entre sus puntos finales. Es un caso especial de un arco , con curvatura cero . La longitud de un segmento de línea está dada por la distancia euclidiana entre sus puntos finales. Un segmento de línea cerrado incluye ambos puntos finales, mientras que un segmento de línea abierto excluye ambos puntos finales; un segmento de línea semiabierto incluye exactamente uno de los puntos finales. En geometría , un segmento de línea a menudo se denota usando una línea superior ( vinculum ) sobre los símbolos de los dos puntos finales, como en $AB$ . ^[1]

Entre los ejemplos de segmentos de línea se incluyen los lados de un triángulo o un cuadrado. En términos más generales, cuando ambos puntos finales del segmento son vértices de un polígono o poliedro , el segmento de línea es una arista (de ese polígono o poliedro) si son vértices adyacentes, o una diagonal . Cuando ambos puntos finales se encuentran en una curva (como un círculo ), un segmento de línea se denomina cuerda (de esa curva).

En espacios vectoriales reales o complejos

Si $V$ es un espacio vectorial sobre ⁠ ⁠ $\mathbb {R}$ o ⁠ ⁠ $\mathbb {C} ,$ y $L$ es un subconjunto de $V$ , entonces $L$ es un segmento de línea si $L$ puede parametrizarse como

L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}

para algunos vectores donde $v$ es distinto de cero. Los puntos finales de $L$ son entonces los vectores $u$ y $u$ $+$ $v$ . $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$

A veces es necesario distinguir entre segmentos de línea "abiertos" y "cerrados". En este caso, se definiría un segmento de línea cerrado como se indicó anteriormente y un segmento de línea abierto como un subconjunto $L$ que se puede parametrizar como

L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}

para algunos vectores $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V.$

De manera equivalente, un segmento de línea es la envoltura convexa de dos puntos. Por lo tanto, el segmento de línea se puede expresar como una combinación convexa de los dos puntos finales del segmento.

En geometría , se podría definir el punto $B$ como situado entre otros dos puntos $A$ y $C$ , si la distancia $| AB |$ sumada a la distancia $| BC |$ es igual a la distancia $| AC | . Por$ lo tanto, en $\mathbb {R} ^{2},$ el segmento de línea con extremos y es la siguiente colección de puntos: $A=(a_{x},a_{y})$ $C=(c_{x},c_{y})$

{\Biggl \{}(x,y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}{\Biggr \}}.

Propiedades

Un segmento de línea es un conjunto conexo y no vacío .
Si $V$ es un espacio vectorial topológico , entonces un segmento de línea cerrado es un conjunto cerrado en $V.$ Sin embargo, un segmento de línea abierto es un conjunto abierto en $V$ si y solo si $V$ es unidimensional .
De manera más general que lo anterior, el concepto de segmento de línea puede definirse en una geometría ordenada .
Un par de segmentos de línea puede ser cualquiera de los siguientes: intersecantes , paralelos , oblicuos o ninguno de ellos. La última posibilidad es una forma en la que los segmentos de línea se diferencian de las líneas: si dos líneas no paralelas están en el mismo plano euclidiano, entonces deben cruzarse entre sí, pero eso no tiene por qué ser cierto en el caso de los segmentos.

En pruebas

En un tratamiento axiomático de la geometría, se supone que la noción de intermediación satisface un cierto número de axiomas o se define en términos de una isometría de una línea (usada como un sistema de coordenadas).

Los segmentos desempeñan un papel importante en otras teorías. Por ejemplo, en un conjunto convexo , el segmento que une dos puntos cualesquiera del conjunto está contenido en el conjunto. Esto es importante porque transforma parte del análisis de los conjuntos convexos en el análisis de un segmento de línea. El postulado de adición de segmentos se puede utilizar para agregar segmentos congruentes o segmentos con longitudes iguales y, en consecuencia, sustituir otros segmentos en otro enunciado para hacer que los segmentos sean congruentes.

Como una elipse degenerada

Un segmento de línea puede considerarse como un caso degenerado de una elipse , en el que el semieje menor tiende a cero, los focos van a los puntos finales y la excentricidad tiende a uno. Una definición estándar de una elipse es el conjunto de puntos para los cuales la suma de las distancias de un punto a dos focos es una constante; si esta constante es igual a la distancia entre los focos, el segmento de línea es el resultado. Una órbita completa de esta elipse atraviesa el segmento de línea dos veces. Como órbita degenerada, esta es una trayectoria elíptica radial .

En otras formas geométricas

Además de aparecer como bordes y diagonales de polígonos y poliedros , los segmentos de línea también aparecen en muchas otras ubicaciones en relación con otras formas geométricas .

Triángulos

Algunos segmentos de un triángulo que se consideran con mucha frecuencia son las tres alturas ( que conectan perpendicularmente un lado o su extensión con el vértice opuesto ), las tres medianas (que conectan el punto medio de un lado con el vértice opuesto), las bisectrices perpendiculares de los lados (que conectan perpendicularmente el punto medio de un lado con uno de los otros lados) y las bisectrices internas de los ángulos (que conectan un vértice con el lado opuesto). En cada caso, existen varias igualdades que relacionan las longitudes de estos segmentos con otras (que se analizan en los artículos sobre los distintos tipos de segmentos), así como varias desigualdades .

Otros segmentos de interés en un triángulo incluyen aquellos que conectan varios centros del triángulo entre sí, especialmente el incentro , el circuncentro , el centro de nueve puntos , el centroide y el ortocentro .

Cuadriláteros

Además de los lados y diagonales de un cuadrilátero , algunos segmentos importantes son las dos bimedianas (que conectan los puntos medios de los lados opuestos) y las cuatro maltitudes (cada una conecta perpendicularmente un lado con el punto medio del lado opuesto).

Círculos y elipses

Cualquier segmento de línea recta que conecta dos puntos en un círculo o una elipse se llama cuerda . Cualquier cuerda en un círculo que ya no tiene cuerda se llama diámetro , y cualquier segmento que conecta el centro del círculo (el punto medio de un diámetro) con un punto en el círculo se llama radio .

En una elipse, la cuerda más larga, que es también el diámetro más largo , se llama eje mayor , y un segmento desde el punto medio del eje mayor (el centro de la elipse) hasta cualquiera de los puntos finales del eje mayor se llama semieje mayor . De manera similar, el diámetro más corto de una elipse se llama eje menor , y el segmento desde su punto medio (el centro de la elipse) hasta cualquiera de sus puntos finales se llama semieje menor . Las cuerdas de una elipse que son perpendiculares al eje mayor y pasan por uno de sus focos se llaman latera recta de la elipse. El segmento interfocal conecta los dos focos.

Segmento de línea dirigido

Cuando a un segmento de línea se le da una orientación ( dirección ), se le llama segmento de línea dirigido o segmento de línea orientado . Sugiere una traslación o desplazamiento (quizás causado por una fuerza ). La magnitud y la dirección son indicativas de un cambio de potencial. Extender un segmento de línea dirigido de forma semiinfinita produce una semirrecta dirigida e infinitamente en ambas direcciones produce una línea dirigida . Esta sugerencia ha sido absorbida por la física matemática a través del concepto de vector euclidiano . ^[2]^[3] La colección de todos los segmentos de línea dirigidos se reduce generalmente haciendo equipolente cualquier par que tenga la misma longitud y orientación. ^[4] Esta aplicación de una relación de equivalencia fue introducida por Giusto Bellavitis en 1835.

Generalizaciones

De manera análoga a los segmentos de línea recta mencionados anteriormente, también se pueden definir arcos como segmentos de una curva .

En el espacio unidimensional, una pelota es un segmento de línea.

Un segmento plano orientado o bivector generaliza el segmento de línea dirigido.

Más allá de la geometría euclidiana, los segmentos geodésicos desempeñan el papel de segmentos de línea.

Un segmento de línea es un símplex unidimensional ; un símplex bidimensional es un triángulo.

Tipos de segmentos de línea

Véase también

Cadena poligonal
Intervalo (matemáticas)
Intersección de segmentos de línea , el problema algorítmico de encontrar pares que se intersecan en una colección de segmentos de línea.

Notas

^ "Definición de segmento de línea - Referencia abierta de matemáticas" www.mathopenref.com . Consultado el 1 de septiembre de 2020 .
^ Harry F. Davis y Arthur David Snider (1988) Introducción al análisis vectorial , 5.ª edición, página 1, Wm. C. Brown Publishers ISBN 0-697-06814-5
^ Matiur Rahman e Isaac Mulolani (2001) Análisis vectorial aplicado , páginas 9 y 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1
^ Eutiquio C. Young (1978) Análisis vectorial y tensorial , páginas 2 y 3, Marcel Dekker ISBN 0-8247-6671-7

Referencias

David Hilbert Los fundamentos de la geometría . The Open Court Publishing Company 1950, pág. 4

Enlaces externos

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Busque segmento de línea en Wikcionario, el diccionario libre.

Weisstein, Eric W. "Segmento de línea". MundoMatemático .
Segmento de línea en PlanetMath
Copiar un segmento de línea con compás y regla
Dividir un segmento de línea en N partes iguales con compás y regla Demostración animada

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