En análisis armónico y teoría de números , una forma automórfica es una función que se comporta bien desde un grupo topológico G hasta los números complejos (o espacio vectorial complejo ) que es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo topológico. Las formas automórficas son una generalización de la idea de funciones periódicas en el espacio euclidiano a grupos topológicos generales.
Las formas modulares son formas automórficas holomorfas definidas sobre los grupos SL(2, R ) o PSL(2, R ) , siendo el subgrupo discreto el grupo modular , o uno de sus subgrupos de congruencia ; en este sentido la teoría de las formas automórficas es una extensión de la teoría de las formas modulares. De manera más general, se puede utilizar el enfoque adélico como una forma de abordar toda la familia de subgrupos de congruencia a la vez. Desde este punto de vista, una forma automórfica sobre el grupo G ( A F ), para un grupo algebraico G y un campo numérico algebraico F , es una función de valores complejos en G ( A F ) que se deja invariante bajo G ( F ) y satisface ciertas condiciones de suavidad y crecimiento.
Poincaré descubrió por primera vez las formas automorfas como generalizaciones de funciones trigonométricas y elípticas . A través de las conjeturas de Langlands , las formas automórficas juegan un papel importante en la teoría de números moderna. [1]
En matemáticas , la noción de factor de automorfia surge para un grupo que actúa sobre una variedad analítica compleja . Supongamos que un grupo actúa sobre una variedad analítica compleja . Luego, también actúa sobre el espacio de funciones holomorfas desde los números complejos. Una función se denomina forma automórfica si se cumple lo siguiente:
donde hay una función holomorfa en todas partes distinta de cero. De manera equivalente, una forma automórfica es una función cuyo divisor es invariante bajo la acción de .
El factor de automorfia para la forma automorfa es la función . Una función automórfica es una forma automórfica cuya identidad es.
Una forma automórfica es una función F sobre G (con valores en algún espacio vectorial fijo de dimensión finita V , en el caso de valores vectoriales), sujeta a tres tipos de condiciones:
Es el primero de ellos el que hace que F sea automórfico , es decir, que satisfaga una interesante ecuación funcional que relaciona F ( g ) con F ( γg ) para . En el caso de valores vectoriales, la especificación puede implicar una representación de grupo de dimensión finita ρ que actúa sobre los componentes para "torcerlos". La condición del operador Casimir dice que algunos laplacianos [ cita necesaria ] tienen F como función propia; esto asegura que F tenga excelentes propiedades analíticas, pero si en realidad es una función analítica compleja depende del caso particular. La tercera condición es manejar el caso donde G /Γ no es compacto pero tiene cúspides .
La formulación requiere la noción general de factor de automorfia j para Γ, que es un tipo de 1- cociclo en el lenguaje de la cohomología de grupos . Los valores de j pueden ser números complejos o, de hecho, matrices cuadradas complejas, correspondientes a la posibilidad de formas automórficas con valores vectoriales. La condición de cociclo impuesta al factor de automorfia es algo que se puede comprobar de forma rutinaria, cuando j se deriva de una matriz jacobiana , mediante la regla de la cadena .
Una definición más sencilla pero técnicamente avanzada que utiliza la teoría de campos de clases construye formas automórficas y sus funciones correspondientes como incorporaciones de grupos de Galois a sus extensiones de campo globales subyacentes . En esta formulación, las formas automórficas son ciertas invariantes finitas, mapeadas desde el grupo de clases idele según la ley de reciprocidad de Artin . Aquí, la estructura analítica de su función L permite generalizaciones con varias propiedades algebro-geométricas ; y el programa Langlands resultante . Para simplificar demasiado, las formas automórficas en esta perspectiva general son funcionales analíticas que cuantifican la invariancia de los campos numéricos en el sentido más abstracto, indicando por lo tanto la "primitividad" de su estructura fundamental . Permitiendo una poderosa herramienta matemática para analizar las construcciones invariantes de prácticamente cualquier estructura numérica.
Es difícil obtener ejemplos de formas automórficas en un estado explícito no abstracto, aunque algunas tienen propiedades analíticas directas:
- La serie de Eisenstein (que es una forma modular prototípica ) sobre ciertas extensiones de campo como grupos abelianos .
- Generalizaciones específicas de las funciones L de Dirichlet como objetos de teoría de campos de clase .
- Generalmente cualquier objeto analítico armónico como functor sobre grupos de Galois que es invariante en su grupo de clases ideal (o idle ).
Como principio general, las formas automórficas pueden considerarse funciones analíticas sobre estructuras abstractas , que son invariantes con respecto a un análogo generalizado de su ideal principal (o una representación fundamental irreducible abstracta ). Como se mencionó, las funciones automórficas pueden verse como generalizaciones de formas modulares (y, por lo tanto, curvas elípticas ), construidas por algún análogo de función zeta en una estructura automórfica . En el sentido más simple, las formas automórficas son formas modulares definidas en grupos de Lie generales ; debido a sus propiedades de simetría. Por tanto, en términos más simples, una función general que analiza la invariancia de una estructura con respecto a su 'morfología' prima .
Antes de que se propusiera este entorno tan general (alrededor de 1960), ya se habían producido desarrollos sustanciales de formas automórficas distintas de las formas modulares. El caso de Γ un grupo fucsiano ya había recibido atención antes de 1900 (ver más abajo). Las formas modulares de Hilbert (también llamadas formas de Hilbert-Blumenthal) se propusieron poco después, aunque tardó en llegar una teoría completa. Las formas modulares de Siegel , para las cuales G es un grupo simpléctico , surgieron naturalmente al considerar espacios de módulos y funciones theta . El interés de la posguerra en varias variables complejas hizo natural perseguir la idea de forma automórfica en los casos en que las formas son realmente analíticas complejas. Se trabajó mucho, en particular por Ilya Piatetski-Shapiro , en los años alrededor de 1960, para crear tal teoría. La teoría de la fórmula de la traza de Selberg , tal como la aplicaron otros, mostró la considerable profundidad de la teoría. Robert Langlands mostró cómo (en general, conociéndose muchos casos particulares) el teorema de Riemann-Roch podría aplicarse al cálculo de dimensiones de formas automórficas; se trata de una especie de control post hoc de la validez de la noción. También produjo la teoría general de las series de Eisenstein , que corresponde a lo que en términos de teoría espectral sería el 'espectro continuo' para este problema, dejando la forma cúspide o parte discreta para investigar. Desde el punto de vista de la teoría de números, las formas cúspides habían sido reconocidas, desde Srinivasa Ramanujan , como el meollo de la cuestión.
La noción posterior de una "representación automórfica" ha demostrado ser de gran valor técnico cuando se trata de G un grupo algebraico , tratado como un grupo algebraico adélico . No incluye completamente la idea de forma automórfica presentada anteriormente, en el sentido de que el enfoque adélico es una forma de tratar con toda la familia de subgrupos de congruencia a la vez. Dentro de un espacio L 2 para un cociente de la forma adélica de G , una representación automórfica es una representación que es un producto tensorial infinito de representaciones de grupos p-ádicos , con representaciones de álgebra envolvente específicas para los primos infinitos . Una forma de expresar el cambio de énfasis es que los operadores de Hecke se sitúan aquí, de hecho, al mismo nivel que los operadores de Casimir; lo cual es natural desde el punto de vista del análisis funcional [ cita necesaria ] , aunque no tan obviamente para la teoría de números. Es este concepto el que es básico para la formulación de la filosofía Langlands .
Uno de los primeros descubrimientos de Poincaré en matemáticas, que data de la década de 1880, fueron las formas automorfas. Las nombró funciones fucsianas, en honor al matemático Lazarus Fuchs , porque Fuchs era conocido por ser un buen profesor y había investigado sobre ecuaciones diferenciales y teoría de funciones. De hecho, Poincaré desarrolló el concepto de estas funciones como parte de su tesis doctoral. Según la definición de Poincaré, una función automórfica es aquella que es analítica en su dominio y es invariante bajo un grupo infinito discreto de transformaciones fraccionarias lineales. Las funciones automorfas luego generalizan funciones trigonométricas y elípticas .
Poincaré explica cómo descubrió las funciones fucsianas:
Durante quince días me esforcé por demostrar que no podía haber funciones como las que desde entonces he llamado funciones fucsianas. Entonces yo era muy ignorante; todos los días me sentaba en mi mesa de trabajo, permanecía una o dos horas, probaba un gran número de combinaciones y no obtenía resultados. Una noche, contrariamente a mi costumbre, tomé café solo y no pude dormir. Las ideas surgieron entre la multitud; Los sentí chocar hasta que los pares se entrelazaron, por así decirlo, formando una combinación estable. A la mañana siguiente había establecido la existencia de una clase de funciones fucsianas, las que provienen de la serie hipergeométrica ; Sólo tuve que escribir los resultados, lo que me llevó sólo unas pocas horas.
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