Curvatura gaussiana

Producto de las curvaturas principales de una superficie

De izquierda a derecha: una superficie de curvatura gaussiana negativa ( hiperboloide ), una superficie de curvatura gaussiana cero ( cilindro ) y una superficie de curvatura gaussiana positiva ( esfera ).

Algunos puntos del toro tienen curvatura gaussiana positiva, otros negativa y otros cero.

En geometría diferencial , la curvatura gaussiana o curvatura de Gauss Κ de una superficie lisa en el espacio tridimensional en un punto es el producto de las curvaturas principales , κ ₁ y κ ₂ , en el punto dado: Por ejemplo, una esfera de radio r tiene curvatura gaussiana ⁠ $${\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}.}$$1/r2^​⁠ en todas partes, y una superficie plana y un cilindro tienen curvatura gaussiana cero en todas partes. La curvatura gaussiana también puede ser negativa, como en el caso de un hiperboloide o el interior de un toro .

La curvatura gaussiana es una medida intrínseca de la curvatura , que depende únicamente de las distancias que se miden “dentro” o a lo largo de la superficie, no de la forma en que está inserta isométricamente en el espacio euclidiano. Este es el contenido del Theorema egregium .

La curvatura gaussiana recibe su nombre de Carl Friedrich Gauss , quien publicó el Theorema egregium en 1827.

Definición informal

Superficie de silla de montar con planos normales en direcciones de curvaturas principales

En cualquier punto de una superficie, podemos encontrar un vector normal que esté en ángulo recto con la superficie; los planos que contienen el vector normal se denominan planos normales . La intersección de un plano normal y la superficie formará una curva llamada sección normal y la curvatura de esta curva es la curvatura normal . Para la mayoría de los puntos de la mayoría de las superficies "suaves", las diferentes secciones normales tendrán diferentes curvaturas; los valores máximo y mínimo de estas se denominan curvaturas principales , llámelas κ ₁ , κ ₂ . La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales Κ = κ ₁ κ ₂ .

El signo de la curvatura gaussiana se puede utilizar para caracterizar la superficie.

• Si ambas curvaturas principales tienen el mismo signo: κ ₁ κ ₂ > 0 , entonces la curvatura gaussiana es positiva y se dice que la superficie tiene un punto elíptico. En tales puntos, la superficie tendrá forma de domo y se encontrará localmente sobre un lado de su plano tangente. Todas las curvaturas seccionales tendrán el mismo signo.
• Si las curvaturas principales tienen signos diferentes: κ ₁ κ ₂ < 0 , entonces la curvatura gaussiana es negativa y se dice que la superficie tiene un punto hiperbólico o de silla . En tales puntos, la superficie tendrá forma de silla de montar. Debido a que una curvatura principal es negativa, otra es positiva y la curvatura normal varía continuamente si gira un plano ortogonal a la superficie alrededor de la normal a la superficie en dos direcciones, las curvaturas normales serán cero, lo que dará como resultado las curvas asintóticas para ese punto.
• Si una de las curvaturas principales es cero: κ ₁ κ ₂ = 0 , la curvatura gaussiana es cero y se dice que la superficie tiene un punto parabólico.

La mayoría de las superficies contendrán regiones de curvatura gaussiana positiva (puntos elípticos) y regiones de curvatura gaussiana negativa separadas por una curva de puntos con curvatura gaussiana cero llamada línea parabólica .

Relación con las geometrías

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana constante cero, entonces es una superficie desarrollable y la geometría de la superficie es geometría euclidiana .

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana positiva constante, entonces la geometría de la superficie es esférica . Las esferas y los parches de esferas tienen esta geometría, pero también existen otros ejemplos, como el limón o el balón de fútbol americano .

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana negativa constante, entonces es una superficie pseudoesférica y la geometría de la superficie es geometría hiperbólica .

Relación con las curvaturas principales

Las dos curvaturas principales en un punto dado de una superficie son los valores propios del operador de forma en ese punto. Miden cómo la superficie se dobla en diferentes cantidades en diferentes direcciones a partir de ese punto. Representamos la superficie mediante el teorema de la función implícita como el gráfico de una función, f , de dos variables, de tal manera que el punto p es un punto crítico, es decir, el gradiente de f se desvanece (esto siempre se puede lograr mediante un movimiento rígido adecuado). Entonces, la curvatura gaussiana de la superficie en p es el determinante de la matriz hessiana de f (siendo el producto de los valores propios de la hessiana). (Recordemos que la hessiana es la matriz 2×2 de derivadas segundas). Esta definición permite captar inmediatamente la distinción entre un punto de copa/tapa y un punto de silla.

Definiciones alternativas

También se da por donde ∇ _i = ∇ _{e i} es la derivada covariante y g es el tensor métrico . $${\displaystyle K={\frac {{\bigl \langle }(\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}{\bigr \rangle }}{\det g}},}$$

En un punto p sobre una superficie regular en R ³ , la curvatura gaussiana también está dada por donde S es el operador de forma . $${\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det S(\mathbf {p} ),}$$

Una fórmula útil para la curvatura gaussiana es la ecuación de Liouville en términos del Laplaciano en coordenadas isotérmicas .

Curvatura total

La suma de los ángulos de un triángulo en una superficie de curvatura negativa es menor que la de un triángulo plano.

La integral de superficie de la curvatura gaussiana sobre alguna región de una superficie se denomina curvatura total . La curvatura total de un triángulo geodésico es igual a la desviación de la suma de sus ángulos con respecto a π . La suma de los ángulos de un triángulo en una superficie de curvatura positiva será mayor que π , mientras que la suma de los ángulos de un triángulo en una superficie de curvatura negativa será menor que π . En una superficie de curvatura cero, como el plano euclidiano , los ángulos sumarán exactamente π radianes. Un resultado más general es el teorema de Gauss-Bonnet . $${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}$$

Teoremas importantes

Teorema egregio

El teorema egregium de Gauss (del latín: "teorema notable") establece que la curvatura gaussiana de una superficie se puede determinar a partir de las mediciones de longitud de la propia superficie. De hecho, se puede encontrar dado el conocimiento completo de la primera forma fundamental y expresarse mediante la primera forma fundamental y sus derivadas parciales de primer y segundo orden. De manera equivalente, el determinante de la segunda forma fundamental de una superficie en R ³ se puede expresar de esta manera. La característica "notable" y sorprendente de este teorema es que, aunque la definición de la curvatura gaussiana de una superficie S en R ³ depende ciertamente de la forma en que se ubica la superficie en el espacio, el resultado final, la curvatura gaussiana en sí, está determinada por la métrica intrínseca de la superficie sin ninguna referencia adicional al espacio ambiente: es un invariante intrínseco . En particular, la curvatura gaussiana es invariante bajo deformaciones isométricas de la superficie.

En la geometría diferencial contemporánea, una "superficie", vista de manera abstracta, es una variedad diferenciable bidimensional . Para conectar este punto de vista con la teoría clásica de superficies , dicha superficie abstracta se incrusta en R ³ y se le dota de la métrica de Riemann dada por la primera forma fundamental. Supóngase que la imagen de la incrustación es una superficie S en R ³ . Una isometría local es un difeomorfismo f  : U → V entre regiones abiertas de R ³ cuya restricción a S ∩ U es una isometría sobre su imagen. El teorema egregium se enuncia entonces de la siguiente manera:

La curvatura gaussiana de una superficie lisa incrustada en R ³ es invariante bajo las isometrías locales.

Por ejemplo, la curvatura gaussiana de un tubo cilíndrico es cero, lo mismo que para el tubo "desenrollado" (que es plano). ^{[1] [ página necesaria ]} Por otro lado, como una esfera de radio R tiene una curvatura positiva constante R ⁻² y un plano tiene una curvatura constante 0, estas dos superficies no son isométricas, ni siquiera localmente. Por lo tanto, cualquier representación plana de incluso una pequeña parte de una esfera debe distorsionar las distancias. Por lo tanto, ninguna proyección cartográfica es perfecta.

Teorema de Gauss-Bonnet

El teorema de Gauss-Bonnet relaciona la curvatura total de una superficie con su característica de Euler y proporciona un vínculo importante entre las propiedades geométricas locales y las propiedades topológicas globales.

${\displaystyle \int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,}$

Superficies de curvatura constante

Dos superficies que tienen una curvatura gaussiana positiva constante pero con un límite abierto o puntos singulares.

• El teorema de Minding (1839) establece que todas las superficies con la misma curvatura constante K son localmente isométricas. Una consecuencia del teorema de Minding es que cualquier superficie cuya curvatura sea idénticamente cero puede construirse doblando alguna región plana. Tales superficies se denominan superficies desarrollables . Minding también planteó la cuestión de si una superficie cerrada con curvatura positiva constante es necesariamente rígida.
• El teorema de Liebmann (1900) respondió a la pregunta de Minding. Las únicassuperficies cerradas regulares (de clase C ^{2 ) en} R ³ con curvatura gaussiana positiva constante son las esferas . ^[2] Si una esfera se deforma, no sigue siendo una esfera, lo que demuestra que una esfera es rígida. Una prueba estándar utiliza el lema de Hilbert de que los puntos no umbilicales de curvatura principal extrema tienen curvatura gaussiana no positiva. ^[3]
• El teorema de Hilbert (1901) establece que no existe ninguna superficie regular analítica completa (clase C ^ω ) en R ³ con curvatura gaussiana negativa constante. De hecho, la conclusión también es válida para superficies de clase C ² inmersas en R ³ , pero no es válida para superficies C ¹ . La pseudoesfera tiene una curvatura gaussiana negativa constante excepto en su círculo límite, donde la curvatura gaussiana no está definida.

Existen otras superficies que tienen una curvatura gaussiana positiva constante. Manfredo do Carmo considera superficies de revolución donde , y (una integral elíptica incompleta de segundo tipo ). Todas estas superficies tienen una curvatura gaussiana constante de 1, pero, para cualquiera de ellas, tienen un límite o un punto singular. do Carmo también da tres ejemplos diferentes de superficies con una curvatura gaussiana negativa constante, una de las cuales es la pseudoesfera . ^[4] ${\displaystyle (\phi (v)\cos(u),\phi (v)\sin(u),\psi (v))}$ ${\displaystyle \phi (v)=C\cos v}$ ${\textstyle \psi (v)=\int _{0}^{v}{\sqrt {1-C^{2}\sin ^{2}v'}}\ dv'}$ ${\displaystyle C\neq 1}$

Existen muchas otras superficies acotadas posibles con una curvatura gaussiana constante. Si bien la esfera es rígida y no se puede doblar mediante una isometría, si se elimina una pequeña región, o incluso se corta a lo largo de un segmento pequeño, la superficie resultante se puede doblar. Dicha curvatura conserva la curvatura gaussiana, por lo que cualquier curvatura de una esfera a la que se le haya eliminado una región también tendrá una curvatura gaussiana constante. ^[5]

Fórmulas alternativas

• La curvatura gaussiana de una superficie en R ³ se puede expresar como la relación de los determinantes de las segunda y primera formas fundamentales II e I : $${\displaystyle K={\frac {\det(\mathrm {I\!I} )}{\det(\mathrm {I} )}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}$$
• ElLa fórmula de Brioschi (segúnFrancesco Brioschi) da la curvatura gaussiana únicamente en términos de la primera forma fundamental: $${\displaystyle K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{\left(EG-F^{2}\right)^{2}}}}$$
• Para una parametrización ortogonal ( F = 0 ), la curvatura gaussiana es: $${\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).}$$
• Para una superficie descrita como gráfica de una función z = F ( x , y ) , la curvatura gaussiana es: ^[6] $${\displaystyle K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}}$$
• Para una superficie definida implícitamente, F ( x , y , z ) = 0 , la curvatura gaussiana se puede expresar en términos del gradiente ∇ F y la matriz hessiana H ( F ) : ^{[7] [8]} $${\displaystyle K=-{\frac {\begin{vmatrix}H(F)&\nabla F^{\mathsf {T}}\\\nabla F&0\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\\\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}}$$
• Para una superficie con métrica conforme a la euclidiana, entonces F = 0 y E = G = e ^σ , la curvatura de Gauss está dada por ( siendo Δ el operador de Laplace habitual ): $${\displaystyle K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma .}$$
• La curvatura gaussiana es la diferencia límite entre la circunferencia de un círculo geodésico y un círculo en el plano: ^[9] $${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}}$$
• La curvatura gaussiana es la diferencia límite entre el área de un disco geodésico y un disco en el plano: ^[9] $${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}}$$
• La curvatura gaussiana se puede expresar con los símbolos de Christoffel : ^[10] $${\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}$$

Véase también

• Radio de curvatura gaussiano de la Tierra
• Curvatura seccional
• Curvatura media
• Mapa de Gauss
• Tensor de curvatura de Riemann
• Curvatura principal

Referencias

1. Porteous, IR (1994). Diferenciación geométrica . Cambridge University Press. ISBN 0-521-39063-X.
2. Kühnel, Wolfgang (2006). Geometría diferencial: curvas, superficies, variedades . Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-3988-8.
3. Gray, Alfred (1997). "28.4 Lema de Hilbert y teorema de Liebmann". Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica (2.ª ed.). CRC Press. págs. 652–654. ISBN 9780849371646..
4. Carmo, Manfredo Perdigão do (2016) [1976]. Geometría diferencial de curvas y superficies (2.ª ed.). Mineola, NY: Dover Publications. pág. 171. ISBN 978-0-486-80699-0– a través de zbMATH.
5. Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometría e imaginación (2.ª ed.). Chelsea. pág. 228. ISBN 0-8284-1087-9.
6. "Investigaciones generales sobre superficies curvas de 1827 y 1825". [Princeton] Biblioteca de la Universidad de Princeton. 1902.
7. Goldman, R. (2005). "Fórmulas de curvatura para curvas y superficies implícitas". Diseño geométrico asistido por ordenador . 22 (7): 632–658. CiteSeerX 10.1.1.413.3008 . doi :10.1016/j.cagd.2005.06.005. 
8. Spivak, M. (1975). Una introducción completa a la geometría diferencial . Vol. 3. Boston: Publicar o perecer.
9. Teorema de Bertrand-Diquet-Puiseux
10. Struik, Dirk (1988). Lecciones sobre geometría diferencial clásica . Publicaciones Courier Dover. ISBN 0-486-65609-8.

Libros

• Grinfeld, P. (2014). Introducción al análisis tensorial y al cálculo de superficies móviles . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.
• Rovelli, Carlo (2021). Relatividad general: aspectos esenciales . Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-01369-7.

Enlaces externos

• "Curvatura gaussiana", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]