Curva de manjar blanco

Curva fractal que se asemeja a un pudín de manjar blanco

Un gráfico de la curva del manjar blanco.

En matemáticas , la curva de manjar blanco es una curva fractal autoafín que se puede construir mediante subdivisión de puntos medios. También se la conoce como curva de Takagi , en honor a Teiji Takagi , quien la describió en 1901, o como curva de Takagi-Landsberg , una generalización de la curva que lleva el nombre de Takagi y Georg Landsberg . El nombre de manjar blanco proviene de su parecido con un pudín de manjar blanco . Es un caso especial de la curva de De Rham más general .

Definición

La función manjar blanco se define en el intervalo unitario por

${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},}$

donde es la onda triangular , definida por , es decir, es la distancia desde x al entero más cercano . ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|x-n|}$ ${\displaystyle s(x)}$

La curva de Takagi-Landsberg es una ligera generalización, dada por

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$

para un parámetro ; por lo tanto, la curva de manjar blanco es el caso . El valor se conoce como el parámetro de Hurst . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w=1/2}$ ${\displaystyle H=-\log _{2}w}$

La función se puede extender a toda la línea real: aplicando la definición dada anteriormente se muestra que la función se repite en cada intervalo unitario.

Definición de ecuación funcional

La versión periódica de la curva de Takagi también se puede definir como la única solución acotada de la ecuación funcional. ${\displaystyle T=T_{w}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T(x)=s(x)+wT(2x).}$

De hecho, la función manjar blanco está ciertamente acotada y resuelve la ecuación funcional, ya que ${\displaystyle T_{w}}$

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)=s(x)+\sum _{n=1}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$ ${\displaystyle =s(x)+w\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n+1}x)=s(x)+wT_{w}(2x).}$

Por el contrario, si es una solución acotada de la ecuación funcional, iterando la igualdad que se tiene para cualquier N ${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+w^{N+1}T(2^{N+1}x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+o(1),{\text{ for }}N\to \infty ,}$

De donde . Por cierto, las ecuaciones funcionales anteriores poseen infinitas soluciones continuas y no acotadas, por ejemplo ${\displaystyle T=T_{w}}$ ${\displaystyle T_{w}(x)+c|x|^{-\log _{2}w}.}$

Construcción gráfica

La curva de manjar blanco se puede construir visualmente a partir de funciones de onda triangulares si la suma infinita se aproxima mediante sumas finitas de los primeros términos. En las ilustraciones siguientes, se agregan funciones triangulares progresivamente más finas (mostradas en rojo) a la curva en cada etapa.

Propiedades

Convergencia y continuidad

La suma infinita que define converge absolutamente para todos Ya que para todos ${\displaystyle T_{w}(x)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$

Si la curva de Takagi de parámetro está definida en el intervalo unitario (o ) si . La función de Takagi de parámetro es continua . Las funciones definidas por las sumas parciales ${\displaystyle |w|<1.}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |w|<1}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle T_{w,n}}$

${\displaystyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$

son continuas y convergen uniformemente hacia ${\displaystyle T_{w}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|&=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|\\&=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\\&\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}\end{aligned}}}$

para todo x cuando este límite disminuye como Por el teorema del límite uniforme , es continua si | w | < 1. ${\displaystyle |w|<1.}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle T_{w}}$

• 
  parámetro w = 2/3
• 
  parámetro w = 1/2
• 
  parámetro w = 1/3
• 
  parámetro w = 1/4
• 
  parámetro w = 1/8

Subaditividad

Dado que el valor absoluto es una función subaditiva , también lo es la función , y sus dilataciones ; dado que las combinaciones lineales positivas y los límites puntuales de funciones subaditivas son subaditivos, la función Takagi es subaditiva para cualquier valor del parámetro . ${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|x-n|}$ ${\displaystyle s(2^{k}x)}$ ${\displaystyle w}$

El caso especial de la parábola

Para , se obtiene la parábola : la construcción de la parábola por subdivisión del punto medio fue descrita por Arquímedes . ${\displaystyle w=1/4}$

Diferenciabilidad

Para valores del parámetro la función Takagi es diferenciable en el sentido clásico en cualquier racional que no sea diádico . Por derivación bajo el signo de serie, para cualquier racional no diádico se encuentra ${\displaystyle 0<w<1/2,}$ ${\displaystyle T_{w}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(2b_{n}-1)}$

¿Dónde está la secuencia de dígitos binarios en la expansión base 2 de : ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=\sum _{n=-k}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}\;.}$

De manera equivalente, los bits en la expansión binaria pueden entenderse como una secuencia de ondas cuadradas , las wavelets de Haar , escaladas al ancho. Esto se deduce, ya que la derivada de la onda triangular es simplemente la onda cuadrada: ${\displaystyle 2^{-n}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}s(x)=\operatorname {sgn}(1/2-(x\!\!\!\mod 1))}$

y entonces

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\operatorname {sgn}(1/2-(2^{n}x\!\!\!\mod 1))}$

Para el parámetro la función es Lipschitz de constante En particular para el valor especial se encuentra, para cualquier racional no diádico , de acuerdo con lo mencionado ${\displaystyle 0<w<1/2,}$ ${\displaystyle T_{w}}$ ${\displaystyle 1/(1-2w).}$ ${\displaystyle w=1/4}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle T_{1/4}'(x)=2-4x}$ ${\displaystyle T_{1/4}(x)=2x(1-x).}$

Para la función manjar blanco, esta no tiene variación acotada en ningún conjunto abierto no vacío; ni siquiera es localmente Lipschitz, pero es cuasi-Lipschitz; de hecho, admite la función como un módulo de continuidad . ${\displaystyle w=1/2}$ ${\displaystyle T_{w}}$ ${\displaystyle \omega (t):=t(|\log _{2}t|+1/2)}$

Expansión de la serie de Fourier

La función Takagi-Landsberg admite una expansión en serie de Fourier absolutamente convergente:

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}\cos(2\pi mx)}$

con y, para ${\displaystyle a_{0}=1/4(1-w)}$ ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle a_{m}:=-{\frac {2}{\pi ^{2}m^{2}}}(4w)^{\nu (m)},}$

donde es la potencia máxima de que divide . De hecho, la onda triangular anterior tiene una expansión de serie de Fourier absolutamente convergente ${\displaystyle 2^{\nu (m)}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle s(x)={\frac {1}{4}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi (2k+1)x{\big )}.}$

Por convergencia absoluta, se puede reordenar la serie doble correspondiente para : ${\displaystyle T_{w}(x)}$

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)={\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {w^{n}}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi 2^{n}(2k+1)x{\big )}\,:}$

Poniendo se obtiene la serie de Fourier anterior para ${\displaystyle m=2^{n}(2k+1)}$ ${\displaystyle T_{w}(x).}$

Autosimilitud

La definición recursiva permite dar el monoide de autosimetrías de la curva. Este monoide viene dado por dos generadores, g y r , que actúan sobre la curva (restringida al intervalo unitario) como

${\displaystyle [g\cdot T_{w}](x)=T_{w}\left(g\cdot x\right)=T_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x}{2}}+wT_{w}(x)}$

y

${\displaystyle [r\cdot T_{w}](x)=T_{w}(r\cdot x)=T_{w}(1-x)=T_{w}(x).}$

Un elemento general del monoide tiene entonces la forma para algunos números enteros Esto actúa sobre la curva como una función lineal : para algunas constantes a , b y c . Como la acción es lineal, se puede describir en términos de un espacio vectorial , con la base del espacio vectorial : ${\displaystyle \gamma =g^{a_{1}}rg^{a_{2}}r\cdots rg^{a_{n}}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \gamma \cdot T_{w}=a+bx+cT_{w}}$

${\displaystyle 1\mapsto e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x\mapsto e_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle T_{w}\mapsto e_{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

En esta representación , la acción de g y r están dadas por

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&w\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Es decir, la acción de un elemento general asigna la curva de manjar blanco en el intervalo unitario [0,1] a un subintervalo para algunos números enteros m , n , p . La asignación está dada exactamente por donde los valores de a , b y c se pueden obtener directamente multiplicando las matrices anteriores. Es decir: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [m/2^{p},n/2^{p}]}$ ${\displaystyle [\gamma \cdot T_{w}](x)=a+bx+cT_{w}(x)}$

${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}1&{\frac {m}{2^{p}}}&a\\0&{\frac {n-m}{2^{p}}}&b\\0&0&c\end{bmatrix}}}$

Tenga en cuenta que es inmediato. ${\displaystyle p=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$

El monoide generado por g y r se denomina a veces monoide diádico ; es un submonoide del grupo modular . Cuando se habla del grupo modular, la notación más común para g y r es T y S , pero esa notación entra en conflicto con los símbolos utilizados aquí.

La representación tridimensional anterior es sólo una de las muchas representaciones que puede tener; muestra que la curva de manjar blanco es una posible realización de la acción. Es decir, hay representaciones para cualquier dimensión, no sólo 3; algunas de ellas dan las curvas de De Rham .

Integrando la curva Blancmange

Dado que la integral de 0 a 1 es 1/2, la identidad permite calcular la integral en cualquier intervalo mediante la siguiente relación. El cálculo es recursivo y el tiempo de cálculo es del orden del logaritmo de la precisión requerida. Definición ${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)=\operatorname {blanc} (2x)/2+s(x)}$

${\displaystyle I(x)=\int _{0}^{x}\operatorname {blanc} (y)\,dy}$

Uno tiene eso

${\displaystyle I(x)={\begin{cases}I(2x)/4+x^{2}/2&{\text{if }}0\leq x\leq 1/2\\1/2-I(1-x)&{\text{if }}1/2\leq x\leq 1\\n/2+I(x-n)&{\text{if }}n\leq x\leq (n+1)\\\end{cases}}}$

La integral definida viene dada por:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\operatorname {blanc} (y)\,dy=I(b)-I(a).}$

Se puede obtener una expresión más general definiendo

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}s(y)dy={\begin{cases}x^{2}/2,&0\leq x\leq {\frac {1}{2}}\\-x^{2}/2+x-1/4,&{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\\n/4+S(x-n),&(n\leq x\leq n+1)\end{cases}}}$

lo que, combinado con la representación en serie, da

${\displaystyle I_{w}(x)=\int _{0}^{x}T_{w}(y)dy=\sum _{n=0}^{\infty }(w/2)^{n}S(2^{n}x)}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle I_{w}(1)={\frac {1}{4(1-w)}}}$

Esta integral también es autosimilar en el intervalo unitario, bajo una acción del monoide diádico descrito en la sección Autosimilitud . Aquí, la representación es 4-dimensional, teniendo la base . La acción de g en el intervalo unitario es el diagrama conmutativo ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}=\{1,x,x^{2},I_{w}(x)\}}$

${\displaystyle [g\cdot I_{w}](x)=I_{w}\left(g\cdot x\right)=I_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {w}{2}}I_{w}(x).}$

A partir de aquí se pueden leer inmediatamente los generadores de la representación de cuatro dimensiones:

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}\\0&0&0&{\frac {w}{2}}\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&1&{\frac {1}{4(1-w)}}\\0&-1&-2&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

Las integrales repetidas se transforman bajo una representación de 5,6,... dimensiones.

Relación con los complejos simpliciales

Dejar

${\displaystyle N={\binom {n_{t}}{t}}+{\binom {n_{t-1}}{t-1}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j}},\quad n_{t}>n_{t-1}>\ldots >n_{j}\geq j\geq 1.}$

Definir la función Kruskal-Katona

${\displaystyle \kappa _{t}(N)={n_{t} \choose t+1}+{n_{t-1} \choose t}+\dots +{n_{j} \choose j+1}.}$

El teorema de Kruskal-Katona establece que este es el número mínimo de ( t  − 1)-símplex que son caras de un conjunto de N t -símplex.

A medida que t y N se acercan al infinito, (adecuadamente normalizado) se aproxima a la curva de manjar blanco. ${\displaystyle \kappa _{t}(N)-N}$

Véase también

• Función del Cantor (también conocida como la escalera del diablo)
• Función de signo de interrogación de Minkowski
• Función de Weierstrass
• Transformación diádica

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Función Blancmange". MathWorld .
• Takagi, Teiji (1901), "Un ejemplo simple de la función continua sin derivada", Proc. Phys.-Math. Soc. Jpn. , 1 : 176–177, doi :10.11429/subutsuhokoku1901.1.F176
• Benoit Mandelbrot , "Paisajes fractales sin pliegues y con ríos", publicado en The Science of Fractal Images , ed. Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe; Springer-Verlag (1988) pp 243–260.
• Linas Vepstas, Simetrías de mapas de duplicación de períodos (2004)
• Donald Knuth , El arte de la programación informática , volumen 4a. Algoritmos combinatorios, parte 1. ISBN 0-201-03804-8 . Véanse las páginas 372–375. 

Lectura adicional

• Allaart, Pieter C.; Kawamura, Kiko (11 de octubre de 2011), La función Takagi: un estudio , arXiv : 1110.1691 , Bibcode :2011arXiv1110.1691A
• Lagarias, Jeffrey C. (17 de diciembre de 2011), La función Takagi y sus propiedades , arXiv : 1112.4205 , Bibcode :2011arXiv1112.4205L

Enlaces externos

• Explorador de Takagi
• (Algunas propiedades de la función Takagi)