En el campo matemático de la topología geométrica , la conjetura de Poincaré ( Reino Unido : / ˈpwæ̃kær eɪ / , [2] Estados Unidos : / ˌpwæ̃kɑːˈr eɪ / , [ 3] [4] Francés: [pwɛ̃kaʁe] ) es un teorema sobre la caracterización de la 3 - esfera , que es la hiperesfera que limita la bola unitaria en el espacio de cuatro dimensiones .
El teorema, que Henri Poincaré formuló originalmente en 1904, se refiere a espacios que localmente parecen espacios tridimensionales ordinarios pero que son finitos en extensión. Poincaré planteó la hipótesis de que si un espacio de este tipo tiene la propiedad adicional de que cada bucle del espacio puede ajustarse continuamente hasta un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional . Los intentos de resolver la conjetura impulsaron un gran progreso en el campo de la topología geométrica durante el siglo XX.
La prueba final se basó en el programa de Richard S. Hamilton de utilizar el flujo de Ricci para resolver el problema. Al desarrollar una serie de nuevas técnicas y resultados en la teoría del flujo de Ricci, Grigori Perelman pudo modificar y completar el programa de Hamilton. En los artículos publicados en el repositorio arXiv en 2002 y 2003, Perelman presentó su trabajo que demostraba la conjetura de Poincaré (y la conjetura de geometrización más poderosa de William Thurston ). Durante los siguientes años, varios matemáticos estudiaron sus artículos y produjeron formulaciones detalladas de su trabajo.
El trabajo de Hamilton y Perelman sobre la conjetura es ampliamente reconocido como un hito de la investigación matemática. Hamilton fue reconocido con el Premio Shaw y el Premio Leroy P. Steele por su Contribución Seminal a la Investigación . La revista Science marcó la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré como el Avance científico del año en 2006. [5] El Instituto de Matemáticas Clay , que había incluido la conjetura de Poincaré en su conocida lista de problemas del Premio del Milenio , ofreció a Perelman su premio de un millón de dólares por la resolución de la conjetura. [6] Perelman rechazó el premio, diciendo que la contribución de Hamilton había sido igual a la suya. [7] [8]
La conjetura de Poincaré fue un problema matemático en el campo de la topología geométrica . En términos del vocabulario de ese campo, dice lo siguiente:
Conjetura de Poincaré . Toda variedad topológica
tridimensional cerrada , conexa y con grupo fundamental trivial es homeomorfa a la esfera tridimensional .
Las formas familiares, como la superficie de una pelota (que en matemáticas se conoce como la esfera bidimensional ) o de un toro , son bidimensionales. La superficie de una pelota tiene un grupo fundamental trivial, lo que significa que cualquier bucle dibujado en la superficie puede deformarse continuamente hasta un único punto. Por el contrario, la superficie de un toro tiene un grupo fundamental no trivial, ya que hay bucles en la superficie que no pueden deformarse de esa manera. Ambas son variedades topológicas cerradas (lo que significa que no tienen límite y ocupan una región finita del espacio) y conexas (lo que significa que constan de una sola pieza). Se dice que dos variedades cerradas son homeomorfas cuando es posible reasignar los puntos de una a la otra de forma continua. Dado que se sabe que la (no)trivialidad del grupo fundamental es invariante bajo el homeomorfismo, se deduce que la esfera bidimensional y el toro no son homeomorfos.
El análogo bidimensional de la conjetura de Poincaré dice que cualquier variedad topológica bidimensional que sea cerrada y conexa pero no homeomorfa a la esfera bidimensional debe poseer un bucle que no pueda contraerse continuamente hasta un punto. (Esto se ilustra con el ejemplo del toro, como se mencionó anteriormente). Se sabe que esta analogía es verdadera a través de la clasificación de variedades topológicas bidimensionales cerradas y conexas, que se entendió en varias formas desde la década de 1860. En dimensiones superiores, las variedades topológicas cerradas y conexas no tienen una clasificación sencilla, lo que impide una fácil resolución de la conjetura de Poincaré.
En el siglo XIX, Bernhard Riemann y Enrico Betti iniciaron el estudio de los invariantes topológicos de las variedades . [9] [10] Introdujeron los números de Betti , que asocian a cualquier variedad una lista de números enteros no negativos. Riemann había demostrado que una variedad bidimensional cerrada y conexa está completamente caracterizada por sus números de Betti. Como parte de su artículo de 1895 Analysis Situs (anunciado en 1892), Poincaré demostró que el resultado de Riemann no se extiende a dimensiones superiores. [11] [12] [13] Para ello, introdujo el grupo fundamental como un nuevo invariante topológico y pudo mostrar ejemplos de variedades tridimensionales que tienen los mismos números de Betti pero grupos fundamentales distintos. Planteó la cuestión de si el grupo fundamental es suficiente para caracterizar topológicamente una variedad (de dimensión dada), aunque no intentó buscar la respuesta, diciendo únicamente que "exigiría un estudio largo y difícil". [12] [13] [14]
El objetivo principal del artículo de Poincaré era la interpretación de los números de Betti en términos de sus grupos de homología recién introducidos , junto con el teorema de dualidad de Poincaré sobre la simetría de los números de Betti. Tras las críticas sobre la integridad de sus argumentos, publicó una serie de "suplementos" posteriores para mejorar y corregir su trabajo. El comentario final de su segundo suplemento, publicado en 1900, decía: [15] [13]
Para no hacer demasiado largo este trabajo, me limitaré a enunciar el siguiente teorema, cuya demostración requerirá ulteriores desarrollos:
Cada poliedro que tiene todos sus números de Betti iguales a 1 y todas sus tablas T q orientables está simplemente conexo, es decir, es homeomorfo a una hiperesfera.
(En un lenguaje moderno, tomando nota del hecho de que Poincaré está usando la terminología de conexidad simple de una manera inusual, [16] esto dice que una variedad orientada , conexa y cerrada con la homología de una esfera debe ser homeomorfa a una esfera. [14] ) Esto modificó su generalización negativa del trabajo de Riemann de dos maneras. En primer lugar, ahora estaba haciendo uso de los grupos de homología completos y no solo de los números de Betti. En segundo lugar, redujo el alcance del problema de preguntar si una variedad arbitraria está caracterizada por invariantes topológicos a preguntar si la esfera puede ser caracterizada de esa manera.
Sin embargo, después de la publicación, descubrió que su teorema anunciado era incorrecto. En su quinto y último suplemento, publicado en 1904, lo demostró con el contraejemplo de la esfera de homología de Poincaré , que es una variedad tridimensional cerrada y conexa que tiene la homología de la esfera pero cuyo grupo fundamental tiene 120 elementos. Este ejemplo dejó en claro que la homología no es lo suficientemente poderosa para caracterizar la topología de una variedad. En las observaciones finales del quinto suplemento, Poincaré modificó su teorema erróneo para utilizar el grupo fundamental en lugar de la homología: [17] [13]
Queda por resolver una cuestión: ¿es posible que el grupo fundamental de V se reduzca a la identidad sin que V esté simplemente conexo? [...] Sin embargo, esta cuestión nos llevaría demasiado lejos.
En esta observación, como en la observación final del segundo suplemento, Poincaré utilizó el término "simplemente conexo" de una manera que está en desacuerdo con el uso moderno, así como con su propia definición del término de 1895. [12] [16] (Según el uso moderno, la pregunta de Poincaré es una tautología , que pregunta si es posible que una variedad esté simplemente conexa sin estar simplemente conexa). Sin embargo, como se puede inferir del contexto, [18] Poincaré estaba preguntando si la trivialidad del grupo fundamental caracteriza de manera única a la esfera. [14]
A lo largo de la obra de Riemann, Betti y Poincaré, las nociones topológicas en cuestión no se definen ni se utilizan de una manera que se reconozca como precisa desde una perspectiva moderna. Incluso la noción clave de "variedad" no se utilizó de manera consistente en la propia obra de Poincaré, y hubo una confusión frecuente entre la noción de variedad topológica , variedad PL y variedad suave . [16] [19] Por esta razón, no es posible leer las preguntas de Poincaré sin ambigüedades. Es solo a través de la formalización y el vocabulario de la topología tal como fue desarrollado por matemáticos posteriores que la pregunta de cierre de Poincaré se ha entendido como la "conjetura de Poincaré", como se indicó en la sección anterior.
Sin embargo, a pesar de su formulación habitual en forma de conjetura, proponiendo que todas las variedades de un cierto tipo son homeomorfas a la esfera, Poincaré sólo planteó una pregunta abierta, sin aventurarse a conjeturar en un sentido o en otro. Además, no hay evidencia de en qué sentido creía que se respondería a su pregunta. [14]
En la década de 1930, JHC Whitehead afirmó haber presentado una prueba, pero luego se retractó de ella. En el proceso, descubrió algunos ejemplos de 3-variedades no compactas, simplemente conexas (de hecho, contráctiles, es decir, homotópicamente equivalentes a un punto) no homeomorfas a , cuyo prototipo se denomina ahora variedad de Whitehead .
En los años 1950 y 1960, otros matemáticos intentaron demostrar la conjetura sólo para descubrir que contenían fallas. Matemáticos influyentes como Georges de Rham , RH Bing , Wolfgang Haken , Edwin E. Moise y Christos Papakyriakopoulos intentaron demostrar la conjetura. En 1958, RH Bing demostró una versión débil de la conjetura de Poincaré: si cada curva cerrada simple de una 3-variedad compacta está contenida en una 3-bola, entonces la variedad es homeomorfa a la 3-esfera. [20] Bing también describió algunas de las trampas al intentar demostrar la conjetura de Poincaré. [21]
Włodzimierz Jakobsche demostró en 1978 que, si la conjetura de Bing-Borsuk es verdadera en la dimensión 3, entonces la conjetura de Poincaré también debe ser verdadera. [22]
Con el tiempo, la conjetura se ganó la reputación de ser particularmente difícil de abordar. John Milnor comentó que a veces los errores en las pruebas falsas pueden ser "bastante sutiles y difíciles de detectar". [23] El trabajo sobre la conjetura mejoró la comprensión de las 3-variedades. Los expertos en el campo a menudo se mostraban reacios a anunciar pruebas y tendían a ver cualquier anuncio de ese tipo con escepticismo. Los años 1980 y 1990 fueron testigos de algunas pruebas falaces muy publicitadas (que en realidad no se publicaron en forma revisada por pares ). [24] [25]
Una exposición de los intentos de demostrar esta conjetura se puede encontrar en el libro no técnico El premio de Poincaré de George Szpiro . [26]
La clasificación de superficies cerradas da una respuesta afirmativa a la pregunta análoga en dos dimensiones. Para dimensiones mayores que tres, se puede plantear la conjetura generalizada de Poincaré: ¿es una n -esfera homotópica homeomorfa a la n -esfera? Es necesario un supuesto más fuerte que la simple conexidad; en dimensiones cuatro y superiores hay variedades cerradas, simplemente conexas, que no son homotópicamente equivalentes a una n -esfera.
Históricamente, mientras que la conjetura en dimensión tres parecía plausible, la conjetura generalizada se consideraba falsa. En 1961, Stephen Smale sorprendió a los matemáticos al demostrar la conjetura generalizada de Poincaré para dimensiones mayores que cuatro y amplió sus técnicas para demostrar el teorema fundamental del h-cobordismo . En 1982, Michael Freedman demostró la conjetura de Poincaré en cuatro dimensiones. El trabajo de Freedman dejó abierta la posibilidad de que exista una variedad cuadridimensional homomorfa a la cuatridimensional que no sea difeomorfa a la cuatridimensional. Esta llamada conjetura de Poincaré homomorfa, en dimensión cuatro, permanece abierta y se cree que es muy difícil. Las esferas exóticas de Milnor muestran que la conjetura de Poincaré homomorfa es falsa en dimensión siete, por ejemplo.
Estos éxitos anteriores en dimensiones superiores dejaron en el limbo el caso de las tres dimensiones. La conjetura de Poincaré era esencialmente cierta tanto en la dimensión cuatro como en todas las dimensiones superiores por razones sustancialmente diferentes. En la dimensión tres, la conjetura tenía una reputación incierta hasta que la conjetura de geometrización la colocó en un marco que gobernaba todas las 3-variedades. John Morgan escribió: [27]
En mi opinión, antes del trabajo de Thurston sobre las 3-variedades hiperbólicas y… la conjetura de la geometrización no había consenso entre los expertos sobre si la conjetura de Poincaré era verdadera o falsa. Después del trabajo de Thurston, a pesar del hecho de que no tenía relación directa con la conjetura de Poincaré, se desarrolló un consenso sobre que la conjetura de Poincaré (y la conjetura de la geometrización) eran verdaderas.
El programa de Hamilton se inició en su artículo de 1982 en el que introdujo el flujo de Ricci en una variedad y mostró cómo usarlo para demostrar algunos casos especiales de la conjetura de Poincaré. [28] En los años siguientes, amplió este trabajo pero no pudo demostrar la conjetura. La solución real no se encontró hasta que Grigori Perelman publicó sus artículos.
A finales de 2002 y 2003, Perelman publicó tres artículos en arXiv . [29] [30] [31] En estos artículos, esbozó una prueba de la conjetura de Poincaré y una conjetura más general, la conjetura de geometrización de Thurston , completando el programa de flujo de Ricci esbozado anteriormente por Richard S. Hamilton .
De mayo a julio de 2006, varios grupos presentaron trabajos que completaron los detalles de la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré, como sigue:
En este artículo, presentaremos la teoría de flujo de Ricci de Hamilton-Perelman. Basándonos en ella, ofreceremos la primera explicación escrita de una prueba completa de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización de Thurston. Si bien el trabajo completo es el resultado de los esfuerzos acumulados de muchos analistas geométricos, los principales contribuyentes son, sin lugar a dudas, Hamilton y Perelman.
Los tres grupos descubrieron que las lagunas en los trabajos de Perelman eran menores y podían rellenarse utilizando sus propias técnicas.
El 22 de agosto de 2006, el ICM le otorgó a Perelman la Medalla Fields por su trabajo sobre el flujo de Ricci, pero Perelman rechazó la medalla. [38] [39] John Morgan habló en el ICM sobre la conjetura de Poincaré el 24 de agosto de 2006, declarando que "en 2003, Perelman resolvió la conjetura de Poincaré". [40]
En diciembre de 2006, la revista Science honró la prueba de la conjetura de Poincaré como el Avance del Año y la presentó en su portada. [5]
El programa de Hamilton para demostrar la conjetura de Poincaré implica primero aplicar una métrica de Riemann a la variedad 3-cerrada desconocida, simplemente conexa. La idea básica es tratar de "mejorar" esta métrica; por ejemplo, si la métrica se puede mejorar lo suficiente como para que tenga una curvatura positiva constante, entonces, según los resultados clásicos de la geometría de Riemann, debe ser la 3-esfera. Hamilton prescribió las " ecuaciones de flujo de Ricci " para mejorar la métrica;
donde g es la métrica y R su curvatura de Ricci, y se espera que, a medida que aumenta el tiempo t , la variedad se vuelva más fácil de entender. El flujo de Ricci expande la parte de curvatura negativa de la variedad y contrae la parte de curvatura positiva.
En algunos casos, Hamilton fue capaz de demostrar que esto funciona; por ejemplo, su avance original fue demostrar que si la variedad de Riemann tiene curvatura de Ricci positiva en todas partes, entonces el procedimiento anterior solo se puede seguir para un intervalo acotado de valores de parámetros, con , y más significativamente, que hay números tales que como , las métricas de Riemann convergen suavemente a una de curvatura positiva constante. Según la geometría clásica de Riemann, la única variedad compacta simplemente conexa que puede admitir una métrica de Riemann de curvatura positiva constante es la esfera. Entonces, en efecto, Hamilton mostró un caso especial de la conjetura de Poincaré: si una 3-variedad compacta simplemente conexa admite una métrica de Riemann de curvatura de Ricci positiva, entonces debe ser difeomorfa a la 3-esfera.
Si, en cambio, sólo se dispone de una métrica riemanniana arbitraria, las ecuaciones de flujo de Ricci deben conducir a singularidades más complicadas. El mayor logro de Perelman fue demostrar que, si se adopta una determinada perspectiva, si aparecen en un tiempo finito, estas singularidades sólo pueden parecer esferas o cilindros que se encogen. Con una comprensión cuantitativa de este fenómeno, corta la variedad a lo largo de las singularidades, dividiendo la variedad en varios trozos y luego continúa con el flujo de Ricci en cada uno de estos trozos. Este procedimiento se conoce como flujo de Ricci con cirugía.
Perelman proporcionó un argumento independiente basado en el flujo de acortamiento de curvas para demostrar que, en una variedad 3-compacta simplemente conexa, cualquier solución del flujo de Ricci con cirugía se extingue en tiempo finito. Tobias Colding y William Minicozzi proporcionaron un argumento alternativo, basado en la teoría de mínimos y máximos de superficies mínimas y la teoría de la medida geométrica. Por lo tanto, en el contexto simplemente conexo, los fenómenos de tiempo finito anteriores del flujo de Ricci con cirugía son todo lo que es relevante. De hecho, esto es cierto incluso si el grupo fundamental es un producto libre de grupos finitos y grupos cíclicos.
Esta condición sobre el grupo fundamental resulta ser necesaria y suficiente para la extinción en tiempo finito. Es equivalente a decir que la descomposición prima de la variedad no tiene componentes acíclicos y resulta ser equivalente a la condición de que todas las partes geométricas de la variedad tienen geometrías basadas en las dos geometrías de Thurston S 2 × R y S 3 . En el contexto de que no se hace ninguna suposición sobre el grupo fundamental, Perelman realizó un estudio técnico adicional del límite de la variedad para tiempos infinitamente grandes y, al hacerlo, demostró la conjetura de geometrización de Thurston: en tiempos grandes, la variedad tiene una descomposición gruesa-delgada , cuya pieza gruesa tiene una estructura hiperbólica, y cuya pieza delgada es una variedad gráfica . Sin embargo, debido a los resultados de Perelman y Colding y Minicozzi, estos resultados adicionales son innecesarios para demostrar la conjetura de Poincaré.
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El 13 de noviembre de 2002, el matemático ruso Grigori Perelman publicó el primero de una serie de tres eprints en arXiv que describen una solución de la conjetura de Poincaré. La prueba de Perelman utiliza una versión modificada de un programa de flujo de Ricci desarrollado por Richard S. Hamilton . En agosto de 2006, Perelman recibió, pero rechazó, la Medalla Fields (valorada en 15.000 dólares canadienses) por su trabajo sobre el flujo de Ricci. El 18 de marzo de 2010, el Instituto de Matemáticas Clay le otorgó a Perelman el Premio del Milenio de 1 millón de dólares en reconocimiento a su prueba. [41] [42] Perelman también rechazó ese premio. [7] [43]
Perelman demostró la conjetura deformando la variedad utilizando el flujo de Ricci (que se comporta de manera similar a la ecuación del calor que describe la difusión del calor a través de un objeto). El flujo de Ricci generalmente deforma la variedad hacia una forma más redondeada, excepto en algunos casos en los que estira la variedad hacia lo que se conoce como singularidades . Luego, Perelman y Hamilton cortan la variedad en las singularidades (un proceso llamado "cirugía"), lo que hace que las piezas separadas adopten formas similares a bolas. Los pasos principales de la prueba implican mostrar cómo se comportan las variedades cuando son deformadas por el flujo de Ricci, examinar qué tipo de singularidades se desarrollan, determinar si este proceso de cirugía se puede completar y establecer que la cirugía no necesita repetirse infinitas veces.
El primer paso es deformar la variedad utilizando el flujo de Ricci . El flujo de Ricci fue definido por Richard S. Hamilton como una forma de deformar variedades. La fórmula para el flujo de Ricci es una imitación de la ecuación del calor , que describe la forma en que el calor fluye en un sólido. Al igual que el flujo de calor, el flujo de Ricci tiende a un comportamiento uniforme. A diferencia del flujo de calor, el flujo de Ricci podría encontrarse con singularidades y dejar de funcionar. Una singularidad en una variedad es un lugar donde no es diferenciable: como una esquina o una cúspide o un pinchazo. El flujo de Ricci solo se definió para variedades diferenciables suaves. Hamilton utilizó el flujo de Ricci para demostrar que algunas variedades compactas eran difeomórficas a las esferas, y esperaba aplicarlo para demostrar la conjetura de Poincaré. Necesitaba comprender las singularidades. [44]
Hamilton creó una lista de posibles singularidades que podrían formarse, pero le preocupaba que algunas singularidades pudieran dar lugar a dificultades. Quería cortar la variedad en las singularidades y pegar tapas y luego ejecutar el flujo de Ricci de nuevo, por lo que necesitaba comprender las singularidades y demostrar que ciertos tipos de singularidades no ocurren. Perelman descubrió que las singularidades eran todas muy simples: considere que un cilindro se forma "estirando" un círculo a lo largo de una línea en otra dimensión, repitiendo ese proceso con esferas en lugar de círculos esencialmente da la forma de las singularidades. Perelman demostró esto usando algo llamado "volumen reducido", que está estrechamente relacionado con un valor propio de una cierta ecuación elíptica .
A veces, una operación que de otro modo sería complicada se reduce a la multiplicación por un escalar (un número). Estos números se denominan valores propios de esa operación. Los valores propios están estrechamente relacionados con las frecuencias de vibración y se utilizan para analizar un problema famoso: ¿puedes oír la forma de un tambor? En esencia, un valor propio es como una nota que toca la variedad. Perelman demostró que esta nota aumenta a medida que la variedad se deforma por el flujo de Ricci. Esto lo ayudó a eliminar algunas de las singularidades más problemáticas que habían preocupado a Hamilton, en particular la solución del solitón puro, que parecía una hebra que sobresalía de una variedad sin nada en el otro lado. En esencia, Perelman demostró que todas las hebras que se forman se pueden cortar y tapar y ninguna sobresale solo por un lado.
Para completar la prueba, Perelman toma cualquier variedad tridimensional, compacta y simplemente conexa, sin límite, y comienza a ejecutar el flujo de Ricci. Esto deforma la variedad en piezas redondas con hilos que corren entre ellas. Corta los hilos y continúa deformando la variedad hasta que, finalmente, le queda una colección de esferas tridimensionales redondas. Luego, reconstruye la variedad original conectando las esferas entre sí con cilindros tridimensionales, los transforma en una forma redonda y ve que, a pesar de toda la confusión inicial, la variedad era, de hecho, homeomorfa a una esfera.
Una pregunta inmediata que se planteó fue cómo se podía estar seguro de que no eran necesarios infinitos cortes. Esto se planteó debido a que el corte podía progresar eternamente. Perelman demostró que esto no puede suceder utilizando superficies mínimas en la variedad. Una superficie mínima es aquella en la que cualquier deformación local aumenta el área; un ejemplo conocido es una película de jabón que abarca un bucle de alambre doblado. Hamilton había demostrado que el área de una superficie mínima disminuye a medida que la variedad experimenta un flujo de Ricci. Perelman verificó lo que le sucedía al área de la superficie mínima cuando se cortaba la variedad. Demostró que, al final, el área es tan pequeña que cualquier corte después de que el área sea tan pequeña solo puede cortar esferas tridimensionales y no piezas más complicadas. Esto se describe como una batalla con una hidra por Sormani en el libro de Szpiro citado a continuación. Esta última parte de la prueba apareció en el tercer y último artículo de Perelman sobre el tema.
El Instituto de Matemáticas Clay (CMI) anuncia hoy que el Dr. Grigoriy Perelman de San Petersburgo, Rusia, es el destinatario del Premio del Milenio por la resolución de la conjetura de Poincaré.
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