categoría derivada

Construcción homológica

En matemáticas , la categoría derivada D ( A ) de una categoría abeliana A es una construcción del álgebra homológica introducida para refinar y en cierto sentido simplificar la teoría de los functores derivados definidos en A. La construcción procede sobre la base de que los objetos de D ( A ) deben ser complejos de cadena en A , y dos de esos complejos de cadena se consideran isomórficos cuando hay un mapa de cadena que induce un isomorfismo en el nivel de homología de los complejos de cadena. Luego se pueden definir functores derivados para complejos de cadenas, refinando el concepto de hipercohomología . Las definiciones conducen a una simplificación significativa de fórmulas descritas de otro modo (no del todo fielmente) mediante complicadas secuencias espectrales .

El desarrollo de la categoría derivada, por Alexander Grothendieck y su alumno Jean-Louis Verdier poco después de 1960, aparece ahora como un punto terminal en el desarrollo explosivo del álgebra homológica en la década de 1950, una década en la que había logrado avances notables. La teoría básica de Verdier quedó escrita en su disertación, publicada finalmente en 1996 en Astérisque (un resumen había aparecido anteriormente en SGA 4½ ). La axiomática requirió una innovación, el concepto de categoría triangulada , y la construcción se basa en la localización de una categoría , una generalización de la localización de un anillo . El impulso original para desarrollar el formalismo "derivado" surgió de la necesidad de encontrar una formulación adecuada de la teoría coherente de la dualidad de Grothendieck . Desde entonces, las categorías derivadas se han vuelto indispensables también fuera de la geometría algebraica , por ejemplo en la formulación de la teoría de los módulos D y el análisis microlocal . Las categorías derivadas recientemente también han adquirido importancia en áreas más cercanas a la física, como las D-branas y la simetría especular .

Spaltenstein introdujo las categorías derivadas ilimitadas en 1988.

Motivaciones

En la teoría de haces coherentes , llevando al límite de lo que se podía hacer con la dualidad de Serre sin el supuesto de un esquema no singular , se hizo evidente la necesidad de tomar todo un complejo de haces en lugar de un único haz dualizante . De hecho, la condición del anillo de Cohen-Macaulay , un debilitamiento de la no singularidad, corresponde a la existencia de una única gavilla dualizante; y esto está lejos de ser el caso general. Desde la posición intelectual de arriba hacia abajo, siempre asumida por Grothendieck, esto significó una necesidad de reformulación. Con ello surgió la idea de que el producto tensor "real" y los functores Hom serían los que existen en el nivel derivado; con respecto a ellos, Tor y Ext se parecen más a dispositivos computacionales.

A pesar del nivel de abstracción, las categorías derivadas fueron aceptadas durante las décadas siguientes, especialmente como un entorno conveniente para la cohomología de gavillas . Quizás el mayor avance fue la formulación de la correspondencia Riemann-Hilbert en dimensiones mayores que 1 en términos derivados, alrededor de 1980. La escuela de Sato adoptó el lenguaje de categorías derivadas, y la historia posterior de los módulos D fue la de una teoría expresada en esas términos.

Un desarrollo paralelo fue la categoría de espectros en la teoría de la homotopía . La categoría de homotopía de los espectros y la categoría derivada de un anillo son ejemplos de categorías trianguladas .

Definición

Sea una categoría abeliana . (Los ejemplos incluyen la categoría de módulos sobre un anillo y la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico). La categoría derivada se define por una propiedad universal con respecto a la categoría de complejos de cocadenas con términos en . Los objetos de son de la forma ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \cdots \to X^{-1}\xrightarrow {d^{-1}} X^{0}\xrightarrow {d^{0}} X^{1}\xrightarrow {d^{1}} X^{2}\to \cdots ,}$

donde cada X ⁱ es un objeto de y cada uno de los compuestos es cero. El i- ésimo grupo de cohomología del complejo es . Si y son dos objetos en esta categoría, entonces un morfismo se define como una familia de morfismos tales que . Tal morfismo induce morfismos en grupos de cohomología , y se llama cuasi-isomorfismo si cada uno de estos morfismos es un isomorfismo en . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle d^{i+1}\circ d^{i}}$ ${\displaystyle H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}}$ ${\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })}$ ${\displaystyle (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$ ${\displaystyle f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$ ${\displaystyle f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}}$ ${\displaystyle f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{Y}^{i}\circ f_{i}}$ ${\displaystyle H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })}$ ${\displaystyle f^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

La propiedad universal de la categoría derivada es que es una localización de la categoría de complejos con respecto a cuasi-isomorfismos. Específicamente, la categoría derivada es una categoría, junto con un funtor , que tiene la siguiente propiedad universal: Supongamos que es otra categoría (no necesariamente abeliana) y es un funtor tal que, siempre que haya un cuasiisomorfismo en , su imagen es un isomorfismo en ; luego factoriza . Dos categorías cualesquiera que tengan esta propiedad universal son equivalentes. ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle Q\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle F(f^{\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q}$

Relación con la categoría de homotopía

Si y son dos morfismos en , entonces una homotopía en cadena o simplemente homotopía es una colección de morfismos tales que para cada i . Es sencillo demostrar que dos morfismos homotópicos inducen morfismos idénticos en grupos de cohomología. Decimos que es una equivalencia de homotopía en cadena si existe tal que y son homotópicos en cadena a los morfismos de identidad en y , respectivamente. La categoría de homotopía de complejos de cocadenas es la categoría con los mismos objetos pero cuyos morfismos son clases de equivalencia de morfismos de complejos con respecto a la relación de homotopía de cadenas. Existe un functor natural que es la identidad de los objetos y que envía cada morfismo a su clase de equivalencia de homotopía en cadena. Dado que cada equivalencia de homotopía de cadena es un cuasiisomorfismo, se factoriza a través de este funtor. En consecuencia, puede verse igualmente bien como una localización de la categoría de homotopía. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle h\colon f\to g}$ ${\displaystyle h^{i}\colon X^{i}\to Y^{i-1}}$ ${\displaystyle f^{i}-g^{i}=d_{Y}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ d_{X}^{i}}$ ${\displaystyle f\colon X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle g\colon Y^{\bullet }\to X^{\bullet }}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

Desde el punto de vista de las categorías modelo , la categoría derivada D ( A ) es la verdadera 'categoría de homotopía' de la categoría de complejos, mientras que K ( A ) podría llamarse la 'categoría de homotopía ingenua'.

Construyendo la categoría derivada

Hay varias construcciones posibles de la categoría derivada. Cuando es una categoría pequeña, entonces hay una construcción directa de la categoría derivada mediante la unión formal de inversos de cuasi-isomorfismos. Éste es un ejemplo de la construcción general de una categoría mediante generadores y relaciones. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Cuando es una categoría grande, esta construcción no funciona por razones de teoría de conjuntos. Esta construcción construye morfismos como clases de equivalencia de caminos. Si tiene una clase adecuada de objetos, todos los cuales son isomórficos, entonces hay una clase adecuada de caminos entre dos de estos objetos. Por lo tanto, la construcción de generadores y relaciones sólo garantiza que los morfismos entre dos objetos formen una clase adecuada. Sin embargo, generalmente se requiere que los morfismos entre dos objetos en una categoría sean conjuntos, por lo que esta construcción no logra producir una categoría real. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Sin embargo, incluso cuando es pequeña, la construcción por generadores y relaciones generalmente resulta en una categoría cuya estructura es opaca, donde los morfismos son caminos arbitrariamente largos sujetos a una misteriosa relación de equivalencia. Por esta razón, es convencional construir la categoría derivada de manera más concreta incluso cuando no se trata de la teoría de conjuntos. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Estas otras construcciones pasan por la categoría de homotopía. La colección de cuasi-isomorfismos forma un sistema multiplicativo . Se trata de una colección de condiciones que permiten reescribir caminos complicados como otros más simples. El teorema de Gabriel-Zisman implica que la localización en un sistema multiplicativo tiene una descripción simple en términos de techos . ^[2] Un morfismo en puede describirse como un par , donde para algún complejo , es un cuasi-isomorfismo y es una clase de morfismos de equivalencia de homotopía en cadena. Conceptualmente, esto representa . Dos tejados son equivalentes si tienen un tejado común. ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (s,f)}$ ${\displaystyle Z^{\bullet }}$ ${\displaystyle s\colon Z^{\bullet }\to X^{\bullet }}$ ${\displaystyle f\colon Z^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle f\circ s^{-1}}$

Reemplazar cadenas de morfismos con techos también permite la resolución de los problemas de la teoría de conjuntos involucrados en categorías derivadas de categorías grandes. Fije un complejo y considere la categoría cuyos objetos son cuasiisomorfismos en codominio y cuyos morfismos son diagramas conmutativos. De manera equivalente, esta es la categoría de objetos sobre cuya estructura los mapas son cuasiisomorfismos. Entonces la condición del sistema multiplicativo implica que los morfismos en desde hasta son ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle I_{X^{\bullet }}}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle Y^{\bullet }}$

${\displaystyle \varinjlim _{I_{X^{\bullet }}}\operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}((X')^{\bullet },Y^{\bullet }),}$

suponiendo que este colimit es de hecho un conjunto. Si bien es potencialmente una categoría grande, en algunos casos está controlada por una categoría pequeña. Este es el caso, por ejemplo, si es una categoría abeliana de Grothendieck (lo que significa que satisface AB5 y tiene un conjunto de generadores), siendo el punto esencial que sólo los objetos de cardinalidad acotada son relevantes. ^[3] En estos casos, el límite se puede calcular sobre una pequeña subcategoría, y esto garantiza que el resultado sea un conjunto. Entonces se puede definir que tenga estos conjuntos como conjuntos. ${\displaystyle I_{X^{\bullet }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

Existe un enfoque diferente basado en reemplazar morfismos en la categoría derivada por morfismos en la categoría de homotopía. Un morfismo en la categoría derivada en el que el codominio es un complejo acotado por debajo de objetos inyectivos es lo mismo que un morfismo de este complejo en la categoría de homotopía; esto se sigue de la inyectividad temporal. Al reemplazar la inyectividad temporal por una condición más fuerte, se obtiene una propiedad similar que se aplica incluso a complejos ilimitados. Un complejo es K -inyectivo si, para cada complejo acíclico , tenemos . Una consecuencia directa de esto es que, para cada complejo , los morfismos en son los mismos que los morfismos en . Un teorema de Serpé, trabajo generalizador de Grothendieck y de Spaltenstein, afirma que en una categoría abeliana de Grothendieck, todo complejo es cuasi isomorfo a un complejo K-inyectivo con términos inyectivos y, además, este es funtorial. ^[4] En particular, podemos definir morfismos en la categoría derivada pasando a resoluciones K-inyectivas y calculando morfismos en la categoría de homotopía. La funcionalidad de la construcción de Serpé asegura que la composición de los morfismos esté bien definida. Al igual que la construcción que utiliza tejados, esta construcción también garantiza propiedades teóricas de conjuntos adecuadas para la categoría derivada, esta vez porque estas propiedades ya están satisfechas por la categoría de homotopía. ${\displaystyle I^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}(X^{\bullet },I^{\bullet })=0}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to I^{\bullet }}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

Conjuntos de inicio derivados

Como se señaló anteriormente, en la categoría derivada los conjuntos de hogares se expresan a través de techos o valles , donde hay un cuasiisomorfismo. Para tener una mejor idea de cómo se ven los elementos, considere una secuencia exacta ${\displaystyle X\rightarrow Y'\leftarrow Y}$ ${\displaystyle Y\to Y'}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0}$

Podemos usar esto para construir un morfismo truncando el complejo anterior, cambiándolo y usando los morfismos obvios anteriores. En particular, tenemos la imagen. ${\displaystyle \phi :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]}$

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}}$

donde el complejo inferior se ha concentrado en grados , la única flecha hacia arriba no trivial es el morfismo de igualdad, y la única flecha hacia abajo no trivial es . Este diagrama de complejos define un morfismo. ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$

${\displaystyle \phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])}$

en la categoría derivada. Una aplicación de esta observación es la construcción de la clase Atiyah. ^[5]

Observaciones

Para ciertos propósitos (ver más abajo), se utilizan complejos acotados por debajo ( para ), acotados por encima ( para ) o acotados ( para ) en lugar de complejos. Las categorías derivadas correspondientes suelen denominarse D ⁺ (A) , D ⁻ (A) y D ^b (A) , respectivamente. ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle n\ll 0}$ ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle n\gg 0}$ ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle |n|\gg 0}$

Si uno adopta el punto de vista clásico sobre las categorías, de que hay un conjunto de morfismos de un objeto a otro (no sólo una clase ), entonces hay que dar un argumento adicional para probarlo. Si, por ejemplo, la categoría abeliana A es pequeña, es decir, tiene sólo un conjunto de objetos, entonces esta cuestión no será un problema. Además, si A es una categoría abeliana de Grothendieck , entonces la categoría derivada D ( A ) es equivalente a una subcategoría completa de la categoría de homotopía K ( A ) y, por lo tanto, solo tiene un conjunto de morfismos de un objeto a otro. ^[6] Las categorías abelianas de Grothendieck incluyen la categoría de módulos sobre un anillo, la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico y muchos otros ejemplos.

La composición de morfismos, es decir, tejados, en la categoría derivada se logra encontrando un tercer tejado encima de los dos tejados que se van a componer. Se puede comprobar que esto es posible y da una composición asociativa bien definida.

Dado que K(A) es una categoría triangulada , su localización D(A) también está triangulada. Para un número entero n y un complejo X , defina ^[7] que el complejo X [ n ] sea X desplazado hacia abajo en n , de modo que

${\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i},}$

con diferencial

${\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.}$

Por definición, un triángulo distinguido en D(A) es un triángulo que es isomorfo en D(A) al triángulo X → Y → Cono( f ) → X [1] para algún mapa de complejos f : X → Y . Aquí Cone( f ) denota el cono de mapeo de f . En particular, para una secuencia corta y exacta

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$

en A , el triángulo X → Y → Z → X [1] se distingue en D(A) . Verdier explicó que la definición del desplazamiento X [1] se ve obligada al requerir que X [1] sea el cono del morfismo X → 0. ^[8]

Al ver un objeto de A como un complejo concentrado en grado cero, la categoría derivada D(A) contiene A como una subcategoría completa . Los morfismos en la categoría derivada incluyen información sobre todos los grupos Ext : para cualquier objeto X e Y en A y cualquier número entero j ,

${\displaystyle {\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).}$

Resoluciones proyectivas e inyectivas

Se puede demostrar fácilmente que una equivalencia de homotopía es un cuasiisomorfismo , por lo que se puede omitir el segundo paso de la construcción anterior. La definición suele darse de esta manera porque revela la existencia de un funtor canónico.

${\displaystyle K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).}$

En situaciones concretas, es muy difícil o imposible manejar directamente los morfismos en la categoría derivada. Por tanto, se busca una categoría más manejable que sea equivalente a la categoría derivada. Clásicamente, existen dos enfoques (duales) para esto: resoluciones proyectivas e inyectivas . En ambos casos, la restricción del funtor canónico anterior a una subcategoría apropiada será una equivalencia de categorías .

A continuación describiremos el papel de las resoluciones inyectivas en el contexto de la categoría derivada, que es la base para definir functores derivados derechos , que a su vez tienen aplicaciones importantes en cohomología de gavillas en espacios topológicos o teorías de cohomología más avanzadas como la cohomología étale. o cohomología de grupo .

Para aplicar esta técnica hay que asumir que la categoría abeliana en cuestión tiene suficientes inyectivos , lo que significa que todo objeto X de la categoría admite un monomorfismo a un objeto inyectivo I. (Ni el mapa ni el objeto inyectivo tienen que especificarse de forma única). Por ejemplo, cada categoría abeliana de Grothendieck tiene suficientes inyectivos. Incrustando X en algún objeto inyectivo I ⁰ , el cokernel de este mapa en algún inyectivo I ¹ , etc., se construye una resolución inyectiva de X , es decir, una secuencia exacta (en general infinita)

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,}$

donde los I * son objetos inyectivos. Esta idea se generaliza para dar resoluciones de complejos X acotados por debajo , es decir, X ⁿ = 0 para n suficientemente pequeño . Como se señaló anteriormente, las resoluciones inyectivas no están definidas de manera única, pero es un hecho que dos resoluciones cualesquiera son homotópicamente equivalentes entre sí, es decir, isomorfas en la categoría de homotopía. Además, los morfismos de complejos se extienden únicamente a un morfismo de dos resoluciones inyectivas dadas.

Este es el punto donde la categoría de homotopía vuelve a entrar en juego: mapear un objeto X de A a (cualquier) resolución inyectiva I * de A se extiende a un functor

${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))}$

desde la categoría derivada acotada por debajo a la categoría de complejos acotada por debajo de homotopía cuyos términos son objetos inyectivos en A .

No es difícil ver que este funtor es en realidad inverso a la restricción del funtor de localización canónico mencionado al principio. En otras palabras, los morfismos Hom( X , Y ) en la categoría derivada se pueden calcular resolviendo X e Y y calculando los morfismos en la categoría de homotopía, lo cual es al menos teóricamente más fácil. De hecho, es suficiente resolver Y : para cualquier complejo X y cualquier acotado por debajo del complejo Y de inyectivos,

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).}$

Dualmente, suponiendo que A tiene suficientes proyectivos , es decir, para cada objeto X hay un epimorfismo de un objeto proyectivo P a X , se pueden usar resoluciones proyectivas en lugar de inyectivas.

En 1988, Spaltenstein definió una categoría derivada ilimitada (Spaltenstein (1988)) que inmediatamente resultó útil en el estudio de espacios singulares; véase, por ejemplo, el libro de Kashiwara y Schapira (Categories and Sheaves) sobre diversas aplicaciones de categorías derivadas ilimitadas. Spaltenstein utilizó las llamadas resoluciones K-inyectiva y K-proyectiva .

Keller (1994) y May (2006) describen la categoría derivada de módulos sobre álgebras DG. Keller también ofrece aplicaciones a la dualidad de Koszul, la cohomología del álgebra de Lie y la homología de Hochschild.

De manera más general, adaptando cuidadosamente las definiciones, es posible definir la categoría derivada de una categoría exacta (Keller 1996).

La relación con los functores derivados.

La categoría derivada es un marco natural para definir y estudiar funtores derivados . A continuación, sea F : A → B un functor de categorías abelianas. Hay dos conceptos duales:

• Los funtores derivados de la derecha provienen de funtores exactos de la izquierda y se calculan mediante resoluciones inyectivas.
• Los funtores derivados por la izquierda provienen de funtores exactos por la derecha y se calculan mediante resoluciones proyectivas.

A continuación describiremos los funtores derivados por la derecha. Entonces, supongamos que F queda exacto. Ejemplos típicos son F : A → Ab dado por X ↦ Hom( X , A ) o X ↦ Hom( A , X ) para algún objeto fijo A , o el funtor de secciones globales en haces o el functor de imagen directa . Sus funtores derivados derechos son Ext ⁿ (–, A ) , Ext ⁿ ( A ,–), H ⁿ ( X , F ) o R ⁿ f _∗ ( F ) , respectivamente.

La categoría derivada nos permite encapsular todos los funtores derivados R ⁿ F en un funtor, es decir, el llamado funtor derivado total RF : D ⁺ ( A ) → D ⁺ ( B ). Es la siguiente composición: D ⁺ ( A ) ≅ K ⁺ (Inj( A )) → K ⁺ ( B ) → D ⁺ ( B ), donde la primera equivalencia de categorías se describe arriba. Los functores derivados clásicos están relacionados con el total mediante R ⁿ F ( X ) = H ⁿ ( RF ( X )). Se podría decir que R ⁿ F olvida el complejo de cadenas y conserva solo las cohomologías, mientras que RF realiza un seguimiento de los complejos.

Las categorías derivadas son, en cierto sentido, el lugar "correcto" para estudiar estos functores. Por ejemplo, la secuencia espectral de Grothendieck de una composición de dos functores

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,}$

tal que F asigna objetos inyectivos en A a G -acíclicos (es decir, R ⁱ G ( F ( I )) = 0 para todo i  > 0 e inyectivo I ), es una expresión de la siguiente identidad de funtores derivados totales

R ( GRAMO ∘ F ) ≅ RG ∘ RF .

J.-L. Verdier mostró cómo los functores derivados asociados con una categoría abeliana A pueden verse como extensiones Kan a lo largo de incrustaciones de A en categorías derivadas adecuadas [Mac Lane].

Equivalencia derivada

Puede suceder que dos categorías abelianas A y B no sean equivalentes, pero sus categorías derivadas D( A ) y D( B ) sí lo sean. A menudo ésta es una relación interesante entre A y B. Tales equivalencias están relacionadas con la teoría de las estructuras t en categorías trianguladas . Aquí hay unos ejemplos. ^[9]

• Sea una categoría abeliana de haces coherentes en la línea proyectiva sobre un campo k . Sea K ₂ -Rep una categoría abeliana de representaciones del carcaj de Kronecker con dos vértices. Son categorías abelianas muy diferentes, pero sus categorías derivadas (limitadas) son equivalentes. ${\displaystyle \mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$
• Sea Q cualquier carcaj y P un carcaj obtenido de Q invirtiendo algunas flechas. En general, las categorías de representaciones de Q y P son diferentes, pero D ^b ( Q -Rep) siempre es equivalente a D ^b ( P -Rep).
• Sea X una variedad abeliana y Y su variedad abeliana dual . Entonces D ^b (Coh( X )) es equivalente a D ^b (Coh( Y )) según la teoría de las transformadas de Fourier-Mukai . Las variedades con categorías derivadas equivalentes de haces coherentes a veces se denominan socios de Fourier-Mukai .

Ver también

• Categoría de homotopía de complejos de cadena.
• Geometría algebraica no conmutativa derivada
• Cohomología de gavilla coherente
• Dualidad coherente
• Geometría algebraica derivada

Notas

1. Mac Lane, Categorías para el matemático que trabaja .
2. Gabriel, Pedro; Zisman, M. (6 de diciembre de 2012). "1.2 El cálculo de fracciones: Proposición 2.4". Cálculo de fracciones y teoría de la homotopía. Saltador. pag. 14.ISBN​ 978-3-642-85844-4.
3. Weibel 1994, observación 10.4.5 y erratas
4. Proyecto Stacks, etiqueta 079P.
5. Markarian, Nikita (2009). "La clase Atiyah, la cohomología de Hochschild y el teorema de Riemann-Roch". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 79 : 129-143. arXiv : matemáticas/0610553 . doi : 10.1112/jlms/jdn064. S2CID  16236000.
6. Kashiwara y Schapira 2006, Teorema 14.3.1
7. Gelfand y Manin 2003, III.3.2
8. Verdier 1996, Apéndice del cap. 1
9. Keller, Bernhard (2003). «Categorías derivadas e inclinación» (PDF) .

Referencias

• Doorn, MGM van (2001) [1994], "Categoría derivada", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Keller, Bernhard (1996), "Categorías derivadas y sus usos", en Hazewinkel, M. (ed.), Manual de álgebra, Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 671–701, ISBN 0-444-82212-7, SEÑOR  1421815
• Keller, Bernhard (1994), "Derivación de categorías DG", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 27 (1): 63–102, doi : 10.24033/asens.1689 , ISSN  0012-9593, MR  1258406
• May, JP (2006), Categorías derivadas desde un punto de vista topológico (PDF)da una interpretación de la categoría derivada de módulos sobre álgebras DG.
• Spaltenstein, N. (1988), "Resoluciones de complejos ilimitados", Compositio Mathematica , 65 (2): 121–154, ISSN  0010-437X, SEÑOR  0932640
• Verdier, Jean-Louis (1996), "Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes", Astérisque (en francés), 239 , París: Société Mathématique de France , ISSN  0303-1179, MR  1453167

Cuatro libros de texto que analizan categorías derivadas son:

• Gelfand, Serguéi I.; Manin, Yuri Ivanovich (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9, señor  1950475
• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006), Categorías y gavillas , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-27949-5, señor  2182076
• Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. SEÑOR  1269324. OCLC  36131259.
• Yekutieli, Amnón (2019). Categorías derivadas . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 183. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1108419338.