Funtor de imagen directa

En matemáticas , el funtor de imagen directa es una construcción en la teoría de gavillas que generaliza el funtor de secciones globales al caso relativo. Es de fundamental importancia en topología y geometría algebraica . Dada una gavilla F definida en un espacio topológico X y un mapa continuo f : X → Y , podemos definir una nueva gavilla f _∗ F en Y , llamada gavilla imagen directa o gavilla de empuje hacia adelante de F a lo largo de f , tal que la global secciones de f _∗ F está dada por las secciones globales de F . Esta asignación da lugar a un funtor f _∗ desde la categoría de haces en X a la categoría de haces en Y , que se conoce como funtor de imagen directa. Existen construcciones similares en muchos otros contextos algebraicos y geométricos, incluido el de haces cuasi coherentes y haces étale en un esquema .

Definición

Sea f : X → Y un mapa continuo de espacios topológicos, y sea Sh(–) la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. El funtor de imagen directa

${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)}$

envía una gavilla F en X a su imagen directa pregavilla f _∗ F en Y , definida en subconjuntos abiertos U de Y por

${\displaystyle f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)).}$

Esto resulta ser un haz en Y , y se llama haz de imagen directa o haz de empuje hacia adelante de F a lo largo de f .

Dado que un morfismo de gavillas φ: F → G en X da lugar a un morfismo de gavillas f _∗ (φ): f _∗ ( F ) → f _∗ ( G ) en Y de manera obvia, efectivamente tenemos que f _∗ es un funtor.

Ejemplo

Si Y es un punto, y f : X → Y el mapa continuo único, entonces Sh( Y ) es la categoría Ab de grupos abelianos, y el funtor de imagen directa f _∗ : Sh( X ) → Ab es igual al funtor de secciones globales .

Variantes

Si se trata de haces de conjuntos en lugar de haces de grupos abelianos, se aplica la misma definición. De manera similar, si f : ( X , O _X ) → ( Y , O _Y ) es un morfismo de espacios anillados , obtenemos un funtor imagen directo f _∗ : Sh( X , O _X ) → Sh( Y , O _Y ) de la categoría de poleas de módulos O _X a la categoría de poleas de módulos O _Y. Además, si f es ahora un morfismo de esquemas cuasi compactos y cuasi separados , entonces f _∗ conserva la propiedad de ser cuasi coherente, por lo que obtenemos el funtor de imagen directo entre categorías de haces cuasi coherentes. ^[1]

Una definición similar se aplica a las gavillas sobre topoi , como las gavillas étale . Allí, en lugar de la preimagen anterior f ⁻¹ ( U ), se utiliza el producto de fibra de U y X sobre Y.

Propiedades

• La formación de categorías de haz y funtores de imagen directa define un funtor desde la categoría de espacios topológicos hasta la categoría de categorías: dados mapas continuos f : X → Y y g : Y → Z , tenemos ( gf ) _∗ = g _∗ f _∗ .
• El funtor de imagen directa está junto al funtor de imagen inversa , lo que significa que para cualquier continuo y gavillas respectivamente en X , Y , existe un isomorfismo natural: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

• Si f es la inclusión de un subespacio cerrado X ⊆ Y entonces f _∗ es exacto . En realidad, en este caso f _∗ es una equivalencia entre la categoría de poleas en X y la categoría de poleas en Y apoyadas en X . Esto se desprende del hecho de que el tallo de es si y cero en caso contrario (aquí se utiliza el carácter cerrado de X en Y ). ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})_{y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{y}}$ ${\displaystyle y\in X}$
• Si f es el morfismo de esquemas afines determinado por un homomorfismo de anillo , entonces el funtor de imagen directa f _∗ en haces cuasi coherentes se identifica con la restricción del funtor escalar a lo largo de φ. ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,S\to \mathrm {Spec} \,R}$ ${\displaystyle \phi :R\to S}$

Imágenes directas más altas

El functor de imagen directa es exacto a la izquierda , pero generalmente no exacto a la derecha. Por tanto, se pueden considerar los functores derivados derechos de la imagen directa. Se denominan imágenes directas superiores y se denotan por R ^q f _∗ .

Se puede demostrar que existe una expresión similar a la anterior para imágenes directas superiores: para una gavilla F en X , la gavilla R ^q f _∗ ( F ) es la gavilla asociada a la pregavilla

${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$,

donde H ^q denota cohomología de gavilla .

En el contexto de la geometría algebraica y un morfismo de esquemas cuasicompactos y cuasiseparados, también se tiene el funtor derivado derecho ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle Rf_{*}:D_{qcoh}(X)\to D_{qcoh}(Y)}$

como functor entre las categorías derivadas (ilimitadas) de haces cuasi coherentes. En esta situación, siempre admite un adjunto derecho . ^[2] Esto está estrechamente relacionado, pero generalmente no es equivalente, al funtor de imagen inverso excepcional , a menos que también sea apropiado . ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle f^{\times }}$ ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle f}$

Ver también

• Teorema de cambio de base adecuado

Referencias

1. "Sección 26.24 (01LA): Funcionalidad de módulos cuasi coherentes: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 20 de septiembre de 2022 .
2. "Sección 48.3 (0A9D): Adjunto derecho de avance: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 20 de septiembre de 2022 .

• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, señor  0842190, especialmente sección II.4