Mecánica orbital

Campo de la mecánica clásica que se ocupa del movimiento de las naves espaciales.

Un satélite que orbita la Tierra tiene una velocidad tangencial y una aceleración interna .

La mecánica orbital o astrodinámica es la aplicación de la balística y la mecánica celeste a los problemas prácticos relacionados con el movimiento de cohetes , satélites y otras naves espaciales . El movimiento de estos objetos suele calcularse a partir de las leyes de movimiento de Newton y la ley de la gravitación universal . La mecánica orbital es una disciplina fundamental en el diseño y control de misiones espaciales .

La mecánica celeste trata de manera más amplia la dinámica orbital de los sistemas bajo la influencia de la gravedad , incluidas tanto las naves espaciales como los cuerpos astronómicos naturales, como los sistemas estelares , los planetas , las lunas y los cometas . La mecánica orbital se centra en las trayectorias de las naves espaciales , incluidas las maniobras orbitales , los cambios de plano orbital y las transferencias interplanetarias, y los planificadores de misiones la utilizan para predecir los resultados de las maniobras de propulsión .

La relatividad general es una teoría más exacta que las leyes de Newton para calcular órbitas, y a veces es necesario utilizarla para lograr una mayor precisión o en situaciones de alta gravedad (por ejemplo, órbitas cercanas al Sol).

Historia

Hasta el surgimiento de los viajes espaciales en el siglo XX, había poca distinción entre la mecánica orbital y la celeste. En la época del Sputnik , el campo se denominaba "dinámica espacial". ^[1] Las técnicas fundamentales, como las que se utilizan para resolver el problema kepleriano (determinar la posición en función del tiempo), son, por tanto, las mismas en ambos campos. Además, la historia de los campos es casi totalmente compartida.

Johannes Kepler fue el primero en modelar con éxito las órbitas planetarias con un alto grado de precisión, publicando sus leyes en 1605. Isaac Newton publicó leyes más generales del movimiento celeste en la primera edición de Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), que proporcionaba un método para encontrar la órbita de un cuerpo que seguía una trayectoria parabólica a partir de tres observaciones. ^[2] Esto fue utilizado por Edmund Halley para establecer las órbitas de varios cometas, incluido el que lleva su nombre . El método de aproximación sucesiva de Newton fue formalizado en un método analítico por Leonhard Euler en 1744, cuyo trabajo fue a su vez generalizado a las órbitas elípticas e hiperbólicas por Johann Lambert en 1761-1777.

Otro hito en la determinación de órbitas fue la ayuda de Carl Friedrich Gauss a la "recuperación" del planeta enano Ceres en 1801. El método de Gauss fue capaz de utilizar sólo tres observaciones (en forma de pares de ascensión recta y declinación ), para encontrar los seis elementos orbitales que describen completamente una órbita. La teoría de la determinación de órbitas se ha desarrollado posteriormente hasta el punto de que hoy en día se aplica en receptores GPS, así como en el seguimiento y catalogación de planetas menores recién observados . La determinación y predicción de órbitas modernas se utilizan para operar todo tipo de satélites y sondas espaciales, ya que es necesario conocer sus posiciones futuras con un alto grado de precisión.

La astrodinámica fue desarrollada por el astrónomo Samuel Herrick a principios de la década de 1930. Consultó al científico de cohetes Robert Goddard y éste lo animó a continuar su trabajo sobre técnicas de navegación espacial, ya que Goddard creía que serían necesarias en el futuro. Las técnicas numéricas de la astrodinámica se combinaron con nuevas y potentes computadoras en la década de 1960, y los humanos estaban listos para viajar a la Luna y regresar.

Técnicas prácticas

Reglas generales

Las siguientes reglas generales son útiles para situaciones aproximadas mediante la mecánica clásica bajo los supuestos estándar de la astrodinámica que se describen a continuación. El ejemplo específico que se analiza es el de un satélite que orbita alrededor de un planeta, pero las reglas generales también podrían aplicarse a otras situaciones, como las órbitas de cuerpos pequeños alrededor de una estrella como el Sol.

• Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario :
  • Las órbitas son elípticas , con el cuerpo más pesado en uno de los focos de la elipse. Un caso especial de esto es una órbita circular (un círculo es un caso especial de elipse) con el planeta en el centro.
  • Una línea trazada desde el planeta hasta el satélite barre áreas iguales en tiempos iguales sin importar qué porción de la órbita se mida.
  • El cuadrado del período orbital de un satélite es proporcional al cubo de su distancia media al planeta.
• Sin aplicar fuerza (como encender un motor de cohete), el período y la forma de la órbita del satélite no cambiarán.
• Un satélite en una órbita baja (o una parte baja de una órbita elíptica) se mueve más rápidamente con respecto a la superficie del planeta que un satélite en una órbita más alta (o una parte alta de una órbita elíptica), debido a la atracción gravitacional más fuerte más cerca del planeta.
• Si se aplica empuje en un solo punto de la órbita del satélite, éste regresará a ese mismo punto en cada órbita subsiguiente, aunque el resto de su trayectoria cambiará. Por lo tanto, no es posible pasar de una órbita circular a otra con una sola y breve aplicación de empuje.
• A partir de una órbita circular, el empuje aplicado en una dirección opuesta al movimiento del satélite cambia la órbita a una elíptica; el satélite descenderá y alcanzará el punto orbital más bajo (el periapse ) a 180 grados del punto de disparo; luego ascenderá de regreso. El período de la órbita resultante será menor que el de la órbita circular original. El empuje aplicado en la dirección del movimiento del satélite crea una órbita elíptica con su punto más alto ( apoapse ) a 180 grados del punto de disparo. El período de la órbita resultante será más largo que el de la órbita circular original.

Las consecuencias de las reglas de la mecánica orbital son a veces contraintuitivas. Por ejemplo, si dos naves espaciales están en la misma órbita circular y desean acoplarse, a menos que estén muy cerca, la nave que va detrás no puede simplemente encender sus motores para ir más rápido. Esto cambiará la forma de su órbita, lo que hará que gane altitud y, en realidad, disminuya su velocidad en relación con la nave que va delante, con lo que no alcanzará el objetivo. El encuentro espacial antes del acoplamiento normalmente requiere múltiples encendidos de motores calculados con precisión en múltiples períodos orbitales, lo que requiere horas o incluso días para completarse.

En la medida en que las suposiciones estándar de la astrodinámica no se cumplan, las trayectorias reales variarán de las calculadas. Por ejemplo, la simple fricción atmosférica es otro factor que complica el problema de los objetos en órbita terrestre baja .

Estas reglas generales son decididamente inexactas cuando se describen dos o más cuerpos de masa similar, como un sistema binario de estrellas (véase el problema de n cuerpos ). La mecánica celeste utiliza reglas más generales aplicables a una variedad más amplia de situaciones. Las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario, que pueden derivarse matemáticamente de las leyes de Newton, se aplican estrictamente sólo para describir el movimiento de dos cuerpos gravitatorios en ausencia de fuerzas no gravitacionales; también describen trayectorias parabólicas e hiperbólicas. En la proximidad de objetos grandes como las estrellas, las diferencias entre la mecánica clásica y la relatividad general también se vuelven importantes.

Leyes de la astrodinámica

Las leyes fundamentales de la astrodinámica son la ley de gravitación universal de Newton y las leyes del movimiento de Newton , mientras que la herramienta matemática fundamental es el cálculo diferencial .

En un marco newtoniano, las leyes que gobiernan las órbitas y las trayectorias son en principio simétricas en el tiempo .

Las suposiciones estándar en astrodinámica incluyen la no interferencia de cuerpos externos, la masa insignificante de uno de los cuerpos y la inexistencia de otras fuerzas (como el viento solar, la fricción atmosférica, etc.). Se pueden realizar cálculos más precisos sin estas suposiciones simplificadoras, pero son más complicadas. La mayor precisión a menudo no hace una diferencia suficiente en el cálculo como para que valga la pena.

Las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario pueden derivarse de las leyes de Newton, cuando se supone que el cuerpo en órbita está sujeto únicamente a la fuerza gravitatoria del atractor central. Cuando existe un empuje o una fuerza propulsora, las leyes de Newton siguen aplicándose, pero las leyes de Kepler quedan invalidadas. Cuando el empuje cesa, la órbita resultante será diferente, pero volverá a estar descrita por las leyes de Kepler, que se han expuesto anteriormente. Las tres leyes son:

1. La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos .
2. Una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.
3. Los cuadrados de los períodos orbitales de los planetas son directamente proporcionales a los cubos del semieje mayor de las órbitas.

Velocidad de escape

La fórmula para la velocidad de escape se deriva de la siguiente manera. La energía específica (energía por unidad de masa ) de cualquier vehículo espacial se compone de dos componentes, la energía potencial específica y la energía cinética específica . La energía potencial específica asociada con un planeta de masa M viene dada por

${\displaystyle \epsilon _{p}=-{\frac {GM}{r}}\,}$

donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre los dos cuerpos;

mientras que la energía cinética específica de un objeto está dada por

${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {v^{2}}{2}}\,}$

donde v es su velocidad;

y por lo tanto la energía orbital específica total es

${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{k}+\epsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}\,}$

Como la energía se conserva , no puede depender de la distancia, , desde el centro del cuerpo central hasta el vehículo espacial en cuestión, es decir, v debe variar con r para mantener constante la energía orbital específica. Por lo tanto, el objeto puede alcanzar el infinito solo si esta cantidad es no negativa, lo que implica ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v\geq {\sqrt {\frac {2GM}{r}}}.}$

La velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es de unos 11 km/s, pero no es suficiente para enviar el cuerpo a una distancia infinita debido a la atracción gravitatoria del Sol. Para escapar del Sistema Solar desde un lugar a una distancia del Sol igual a la distancia Sol-Tierra, pero no cerca de la Tierra, se requiere una velocidad de alrededor de 42 km/s, pero habrá un "crédito parcial" por la velocidad orbital de la Tierra para las naves espaciales lanzadas desde la Tierra, si su aceleración adicional (debido al sistema de propulsión) las lleva en la misma dirección en la que la Tierra viaja en su órbita.

Fórmulas para órbitas libres

Las órbitas son secciones cónicas , por lo que la fórmula de la distancia de un cuerpo para un ángulo dado corresponde a la fórmula de esa curva en coordenadas polares , que es:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}}$

${\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})\,}$

${\displaystyle p=h^{2}/\mu \,}$

${\displaystyle \mu }$se llama parámetro gravitacional . y son las masas de los objetos 1 y 2, y es el momento angular específico del objeto 2 con respecto al objeto 1. El parámetro se conoce como la anomalía verdadera , es el semi-latus rectum , mientras que es la excentricidad orbital , todos obtenibles a partir de las diversas formas de los seis elementos orbitales independientes . ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e}$

Órbitas circulares

Todas las órbitas acotadas en las que predomina la gravedad de un cuerpo central son de naturaleza elíptica. Un caso especial de esto es la órbita circular, que es una elipse de excentricidad cero. La fórmula para la velocidad de un cuerpo en una órbita circular a una distancia r del centro de gravedad de masa M se puede derivar de la siguiente manera:

La aceleración centrífuga coincide con la aceleración debida a la gravedad.

Entonces, $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{r}}={\frac {GM}{r^{2}}}}$$

Por lo tanto,

${\displaystyle \ v={\sqrt {{\frac {GM}{r}}\ }}}$

¿Dónde está la constante gravitacional , igual a? ${\displaystyle G}$

6,6743 × 10 ⁻¹¹ m ³ /(kg·s ² )

Para utilizar correctamente esta fórmula, las unidades deben ser coherentes; por ejemplo, deben estar en kilogramos y deben estar en metros. La respuesta será en metros por segundo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$

Esta cantidad se denomina a menudo parámetro gravitacional estándar , que tiene un valor diferente para cada planeta o luna del Sistema Solar . ${\displaystyle GM}$

Una vez conocida la velocidad orbital circular, la velocidad de escape se encuentra fácilmente multiplicando por : ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \ v={\sqrt {2}}{\sqrt {{\frac {GM}{r}}\ }}={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\ }}.}$

Para escapar de la gravedad, la energía cinética debe ser al menos igual a la energía potencial negativa. Por lo tanto, $${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {GMm}{r}}}$$

${\displaystyle v={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\ }}.}$

Órbitas elípticas

Si , entonces el denominador de la ecuación de órbitas libres varía con la anomalía verdadera , pero permanece positivo, nunca llegando a cero. Por lo tanto, el vector de posición relativa permanece acotado, teniendo su magnitud más pequeña en el periapsis , que viene dada por: ${\displaystyle 0<e<1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r_{p}}$

${\displaystyle r_{p}={\frac {p}{1+e}}}$

El valor máximo se alcanza cuando . Este punto se llama apoápside y su coordenada radial, denotada , es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$ ${\displaystyle r_{a}}$

${\displaystyle r_{a}={\frac {p}{1-e}}}$

Sea la distancia medida a lo largo de la línea del ábside desde el periapsis hasta el apoapsis , como se ilustra en la siguiente ecuación: ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$

Sustituyendo las ecuaciones anteriores, obtenemos:

${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$

a es el semieje mayor de la elipse. Resolviendo y sustituyendo el resultado en la fórmula de la curva de la sección cónica anterior, obtenemos: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }}}$

Periodo orbital

Bajo supuestos estándar, el período orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular como: ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .

Conclusiones:

• El período orbital es igual al de una órbita circular con un radio orbital igual al semieje mayor ( ), ${\displaystyle a\,\!}$
• Para un semieje mayor dado, el período orbital no depende de la excentricidad (Ver también: Tercera ley de Kepler ).

Velocidad

Bajo supuestos estándar, la velocidad orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular a partir de la ecuación Vis-viva como: ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia entre los cuerpos en órbita.
• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .

La ecuación de velocidad para una trayectoria hiperbólica es . ${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+\left\vert {1 \over {a}}\right\vert \right)}}}$

Energía

Bajo supuestos estándar, la energía orbital específica ( ) de la órbita elíptica es negativa y la ecuación de conservación de la energía orbital (la ecuación Vis-viva ) para esta órbita puede tomar la forma: ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia del cuerpo en órbita desde el centro de masa del cuerpo central ,
• ${\displaystyle a\,}$es el semieje mayor ,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

Conclusiones:

• Para un semieje mayor dado, la energía orbital específica es independiente de la excentricidad.

Utilizando el teorema virial encontramos:

• El promedio temporal de la energía potencial específica es igual a ${\displaystyle 2\epsilon }$
• El promedio temporal de es ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$
• El promedio temporal de la energía cinética específica es igual a ${\displaystyle -\epsilon }$

Órbitas parabólicas

Si la excentricidad es igual a 1, entonces la ecuación de la órbita se convierte en:

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+\cos \theta }}}$

dónde:

• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el centro de masa del cuerpo central ,
• ${\displaystyle h\,}$es el momento angular específico del cuerpo en órbita ,
• ${\displaystyle \theta \,}$es la verdadera anomalía del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

A medida que la anomalía verdadera θ se acerca a 180°, el denominador se acerca a cero, de modo que r tiende al infinito. Por lo tanto, la energía de la trayectoria para la cual e = 1 es cero y viene dada por:

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}=0}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad del cuerpo en órbita.

En otras palabras, la velocidad en cualquier punto de una trayectoria parabólica es:

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over {r}}}}$

Órbitas hiperbólicas

Si , la fórmula de la órbita, ${\displaystyle e>1}$

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+e\cos \theta }}}$

describe la geometría de la órbita hiperbólica. El sistema consta de dos curvas simétricas. El cuerpo en órbita ocupa una de ellas; la otra es su imagen matemática vacía. Claramente, el denominador de la ecuación anterior tiende a cero cuando . denotamos este valor de anomalía verdadera ${\displaystyle \cos \theta =-1/e}$

${\displaystyle \theta _{\infty }=\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)}$

ya que la distancia radial tiende al infinito a medida que la anomalía verdadera se acerca a , conocida como la anomalía verdadera de la asíntota . Observe que se encuentra entre 90° y 180°. De la identidad trigonométrica se deduce que: ${\displaystyle \theta _{\infty }}$ ${\displaystyle \theta _{\infty }}$ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$

${\displaystyle \sin \theta _{\infty }={\frac {1}{e}}{\sqrt {e^{2}-1}}}$

Energía

Bajo supuestos estándar, la energía orbital específica ( ) de una trayectoria hiperbólica es mayor que cero y la ecuación de conservación de energía orbital para este tipo de trayectoria toma la forma: ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}={\mu \over {-2a}}}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle a\,}$es el semieje mayor negativo de la hipérbola de la órbita ,
• ${\displaystyle \mu \,}$es un parámetro gravitacional estándar .

Exceso de velocidad hiperbólica

Según los supuestos estándar, el cuerpo que viaja a lo largo de una trayectoria hiperbólica alcanzará en el infinito una velocidad orbital denominada velocidad excesiva hiperbólica ( ) que puede calcularse como: ${\displaystyle r=}$ ${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}\,\!}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,\!}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle a\,\!}$es el semieje mayor negativo de la hipérbola de la órbita .

La velocidad excesiva hiperbólica está relacionada con la energía orbital específica o energía característica por

${\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}\,\!}$

Cálculo de trayectorias

Ecuación de Kepler

Un enfoque para calcular órbitas (utilizado principalmente históricamente) es utilizar la ecuación de Kepler :

${\displaystyle M=E-\epsilon \cdot \sin E}$.

donde M es la anomalía media , E es la anomalía excéntrica y es la excentricidad . ${\displaystyle \epsilon }$

Con la fórmula de Kepler, encontrar el tiempo de vuelo para alcanzar un ángulo ( anomalía verdadera ) desde el periapsis se divide en dos pasos: ${\displaystyle \theta }$

1. Calcular la anomalía excéntrica a partir de la anomalía verdadera ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \theta }$
2. Calcular el tiempo de vuelo a partir de la anomalía excéntrica ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E}$

Encontrar la anomalía excéntrica en un momento dado ( el problema inverso ) es más difícil. La ecuación de Kepler es trascendental en , lo que significa que no se puede resolver para α de forma algebraica . La ecuación de Kepler se puede resolver para α de forma analítica mediante inversión. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Una solución de la ecuación de Kepler, válida para todos los valores reales de es: ${\displaystyle \textstyle \epsilon }$

$${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left[\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon =1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left[\left({\frac {\theta }{\theta -\epsilon \cdot \sin(\theta )}}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$$

Evaluando esto obtenemos:

$${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{1400}}x^{5}+{\frac {1}{25200}}x^{7}+{\frac {43}{17248000}}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}\cdots \ |\ x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\epsilon =1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-\epsilon }}M-{\frac {\epsilon }{(1-\epsilon )^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\epsilon ^{3}+54\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\epsilon ^{4}+4131\epsilon ^{3}+243\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}\cdots ,&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$$

Otra posibilidad es resolver numéricamente la ecuación de Kepler. Primero hay que adivinar un valor de y calcular el tiempo de vuelo; luego, se deben hacer los ajustes necesarios para que el tiempo de vuelo calculado se acerque más al valor deseado hasta lograr la precisión requerida. Por lo general, se utiliza el método de Newton para lograr una convergencia relativamente rápida. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

La principal dificultad de este enfoque es que puede llevar mucho tiempo converger en el caso de las órbitas elípticas extremas. En el caso de las órbitas casi parabólicas, la excentricidad es casi 1 y, al sustituir en la fórmula la anomalía media, , nos encontramos restando dos valores casi iguales y la precisión se ve afectada. En el caso de las órbitas casi circulares, es difícil encontrar el periapsis en primer lugar (y las órbitas verdaderamente circulares no tienen periapsis en absoluto). Además, la ecuación se derivó asumiendo una órbita elíptica, por lo que no se cumple para órbitas parabólicas o hiperbólicas. Estas dificultades son las que llevaron al desarrollo de la formulación de variable universal , que se describe a continuación. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle E-\sin E}$

Órbitas cónicas

Para procedimientos simples, como el cálculo del delta-v para elipses de transferencia coplanares, los enfoques tradicionales ^{[ aclaración necesaria ]} son ​​bastante eficaces. Otros, como el tiempo de vuelo, son mucho más complicados, especialmente para órbitas casi circulares e hiperbólicas.

La aproximación cónica parcheada

La órbita de transferencia de Hohmann por sí sola es una mala aproximación para las trayectorias interplanetarias porque no tiene en cuenta la gravedad de los planetas. La gravedad planetaria domina el comportamiento de la nave espacial en las proximidades de un planeta y en la mayoría de los casos Hohmann sobreestima gravemente el delta-v y produce prescripciones muy inexactas para los tiempos de combustión. Una forma relativamente sencilla de obtener una aproximación de primer orden del delta-v se basa en la técnica de "aproximación cónica parcheada". Se debe elegir el cuerpo gravitacional dominante en cada región del espacio por la que pasará la trayectoria y modelar únicamente los efectos de ese cuerpo en esa región. Por ejemplo, en una trayectoria de la Tierra a Marte, se comenzaría considerando únicamente la gravedad de la Tierra hasta que la trayectoria alcance una distancia en la que la gravedad de la Tierra ya no domine la del Sol. Se le daría a la nave espacial velocidad de escape para enviarla en su camino hacia el espacio interplanetario. A continuación, se consideraría únicamente la gravedad del Sol hasta que la trayectoria llegue a las proximidades de Marte. Durante esta etapa, el modelo de órbita de transferencia es apropiado. Finalmente, solo se considera la gravedad de Marte durante la parte final de la trayectoria, donde la gravedad de Marte domina el comportamiento de la nave espacial. La nave espacial se acercaría a Marte en una órbita hiperbólica, y un último encendido retrógrado reduciría la velocidad de la nave espacial lo suficiente como para ser capturada por Marte. Friedrich Zander fue uno de los primeros en aplicar el enfoque de las cónicas parcheadas para fines astrodinámicos, al proponer el uso de la gravedad de los cuerpos intermediarios para viajes interplanetarios, en lo que hoy se conoce como asistencia gravitatoria . ^[3]

El tamaño de los "barrios" (o esferas de influencia ) varía según el radio : ${\displaystyle r_{SOI}}$

${\displaystyle r_{SOI}=a_{p}\left({\frac {m_{p}}{m_{s}}}\right)^{2/5}}$

donde es el semieje mayor de la órbita del planeta con respecto al Sol ; y son las masas del planeta y del Sol, respectivamente. ${\displaystyle a_{p}}$ ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle m_{s}}$

Esta simplificación es suficiente para calcular estimaciones aproximadas de los requerimientos de combustible y del tiempo de vuelo, pero no suele ser lo suficientemente precisa para guiar una nave espacial hasta su destino. Para ello se requieren métodos numéricos.

La formulación de la variable universal

Para abordar las deficiencias computacionales de los enfoques tradicionales para resolver el problema de los dos cuerpos, se desarrolló la formulación de variable universal . Funciona igualmente bien para los casos circular, elíptico, parabólico e hiperbólico, y las ecuaciones diferenciales convergen bien cuando se integran para cualquier órbita. También se generaliza bien a problemas que incorporan la teoría de perturbaciones.

Perturbaciones

La formulación de variable universal funciona bien con la técnica de variación de parámetros, excepto que ahora, en lugar de los seis elementos orbitales keplerianos, utilizamos un conjunto diferente de elementos orbitales: a saber, los vectores de posición y velocidad iniciales del satélite y en una época dada . En una simulación de dos cuerpos, estos elementos son suficientes para calcular la posición y velocidad del satélite en cualquier momento en el futuro, utilizando la formulación de variable universal. Por el contrario, en cualquier momento en la órbita del satélite, podemos medir su posición y velocidad, y luego utilizar el enfoque de variable universal para determinar cuál habría sido su posición y velocidad iniciales en la época. En un movimiento perfecto de dos cuerpos, estos elementos orbitales serían invariantes (al igual que lo serían los elementos keplerianos). ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$

Sin embargo, las perturbaciones hacen que los elementos orbitales cambien con el tiempo. Por lo tanto, el elemento de posición se escribe como y el elemento de velocidad como , lo que indica que varían con el tiempo. La técnica para calcular el efecto de las perturbaciones consiste en encontrar expresiones, ya sean exactas o aproximadas, para las funciones y . ${\displaystyle x_{0}(t)}$ ${\displaystyle v_{0}(t)}$ ${\displaystyle x_{0}(t)}$ ${\displaystyle v_{0}(t)}$

A continuación se enumeran algunos efectos que hacen que las órbitas reales difieran de los modelos simples basados ​​en una Tierra esférica. La mayoría de ellos pueden manejarse en escalas de tiempo cortas (quizás menos de unos pocos miles de órbitas) mediante la teoría de perturbaciones porque son pequeños en relación con los efectos de dos cuerpos correspondientes.

• Los abultamientos ecuatoriales provocan la precesión del nodo y del perigeo.
• Los armónicos tesserales ^[4] del campo de gravedad introducen perturbaciones adicionales
• Las perturbaciones de la gravedad lunar y solar alteran las órbitas
• La resistencia atmosférica reduce el semieje mayor a menos que se utilice empuje de compensación.

En escalas de tiempo muy largas (quizás millones de órbitas), incluso pequeñas perturbaciones pueden dominar y el comportamiento puede volverse caótico . Por otra parte, las diversas perturbaciones pueden ser orquestadas por astutos astrodinámicos para ayudar con las tareas de mantenimiento de la órbita, como el mantenimiento de la posición , el mantenimiento o ajuste de la trayectoria terrestre o la fase del perigeo para cubrir objetivos seleccionados a baja altitud.

Maniobra orbital

En los vuelos espaciales , una maniobra orbital es el uso de sistemas de propulsión para cambiar la órbita de una nave espacial . En el caso de las naves espaciales que se encuentran lejos de la Tierra (por ejemplo, las que orbitan alrededor del Sol), una maniobra orbital se denomina maniobra de espacio profundo (DSM) . ^{[ no verificado en el cuerpo ]}

Transferencia orbital

Las órbitas de transferencia suelen ser órbitas elípticas que permiten a las naves espaciales pasar de una órbita (normalmente sustancialmente circular) a otra. Normalmente requieren un encendido al principio, un encendido al final y, a veces, uno o más encendidos en el medio.

• La órbita de transferencia de Hohmann requiere un delta-v mínimo .
• Una transferencia bielíptica puede requerir menos energía que la transferencia de Hohmann, si la relación de órbitas es 11,94 o mayor, ^[5] pero tiene el costo de un mayor tiempo de viaje respecto de la transferencia de Hohmann.
• Las transferencias más rápidas pueden utilizar cualquier órbita que intersecte las órbitas original y de destino, a costa de un delta-v mayor.
• Si se utilizan motores de bajo empuje (como los de propulsión eléctrica ), si la órbita inicial es supersincrónica con respecto a la órbita circular final deseada, la órbita de transferencia óptima se logra impulsando continuamente en la dirección de la velocidad en el apogeo. Sin embargo, este método lleva mucho más tiempo debido al bajo empuje. ^[6]

En el caso de transferencia orbital entre órbitas no coplanares, el empuje de cambio de plano debe realizarse en el punto donde se intersecan los planos orbitales (el "nodo"). Como el objetivo es cambiar la dirección del vector de velocidad en un ángulo igual al ángulo entre los planos, casi todo este empuje debe realizarse cuando la nave espacial está en el nodo cerca del apoápside, cuando la magnitud del vector de velocidad está en su nivel más bajo. Sin embargo, una pequeña fracción del cambio de inclinación orbital se puede realizar en el nodo cerca del periapside, inclinando ligeramente el empuje de inyección de la órbita de transferencia en la dirección del cambio de inclinación deseado. Esto funciona porque el coseno de un ángulo pequeño es casi uno, lo que hace que el pequeño cambio de plano sea efectivamente "gratis" a pesar de la alta velocidad de la nave espacial cerca del periapside, ya que el Efecto Oberth debido al aumento del empuje ligeramente inclinado excede el costo del empuje en el eje normal a la órbita.

Asistencia gravitacional y efecto Oberth

En una misión de asistencia gravitacional , una nave espacial pasa por un planeta y se va en una dirección diferente, a una velocidad diferente. Esto es útil para acelerar o desacelerar una nave espacial en lugar de llevar más combustible.

Esta maniobra puede ser aproximada mediante una colisión elástica a grandes distancias, aunque el paso no implica ningún contacto físico. Debido a la Tercera Ley de Newton (reacción igual y opuesta), cualquier momento ganado por una nave espacial debe ser perdido por el planeta, o viceversa. Sin embargo, debido a que el planeta es mucho, mucho más masivo que la nave espacial, el efecto sobre la órbita del planeta es insignificante.

El efecto Oberth puede emplearse, en particular durante una operación de asistencia gravitacional. Este efecto consiste en que el uso de un sistema de propulsión funciona mejor a altas velocidades y, por lo tanto, los cambios de rumbo se realizan mejor cuando se está cerca de un cuerpo gravitacional; esto puede multiplicar el delta-v efectivo .

Red de transporte interplanetario y órbitas difusas

Hoy en día es posible utilizar ordenadores para buscar rutas utilizando las no linealidades de la gravedad de los planetas y lunas del Sistema Solar. Por ejemplo, es posible trazar una órbita desde la órbita alta de la Tierra hasta Marte, pasando cerca de uno de los puntos troyanos de la Tierra . ^{[ cita requerida ]} Estas trayectorias orbitales altamente perturbativas, incluso caóticas, conocidas colectivamente como la Red de Transporte Interplanetario , en principio no necesitan combustible más allá del necesario para alcanzar el punto de Lagrange (en la práctica, mantener la trayectoria requiere algunas correcciones de rumbo). El mayor problema con ellas es que pueden ser extremadamente lentas y demorar muchos años. Además, las ventanas de lanzamiento pueden estar muy separadas.

Sin embargo, se han empleado en proyectos como Genesis , que visitó el punto L 1 entre la Tierra y el Sol y regresó utilizando muy poco combustible.

Véase también

• Mecánica celeste
• Teoría del caos
• Órbita de Kepler
• Punto de Lagrange
• Ingeniería Mecánica
• Problema de n cuerpos
• Límite de Roche
• Propulsión de naves espaciales
• Formulación de variable universal

Referencias

1. Thomson, William T. (1961). Introducción a la dinámica espacial . Nueva York: Wiley.
2. Bate, RR; Mueller, DD; White, JE (1971). Fundamentos de la astrodinámica. Courier Corporation. pág. 5. ISBN 978-0-486-60061-1.
3. Negri, Rodolfo Batista; Prado, Antônio Fernando Bertachini de Alme (agosto de 2020). "Una revisión histórica de la teoría de las asistencias gravitacionales en la era anterior a los vuelos espaciales". Revista de la Sociedad Brasileña de Ciencias Mecánicas e Ingeniería . 42 (8): 406. doi :10.1007/s40430-020-02489-x. S2CID  220510617.
4. Weisstein, Eric W. "Tesseral Harmonic". MathWorld . Consultado el 7 de octubre de 2019 .
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• Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica. Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-60061-0.

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• "Air University Space Primer, Chapter 8 - Orbital Mechanics" (PDF) . USAF. Archivado desde el original (PDF) el 2013-02-14 . Consultado el 2007-10-13 .

Lectura adicional

Muchas de las opciones, procedimientos y teorías de apoyo están cubiertos en obras estándar como:

• Bate, RR; Mueller, DD; White, JE (1971). Fundamentos de la astrodinámica. Dover Publications, Nueva York. ISBN 978-0-486-60061-1.
• Vallado, DA (2001). Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones (2ª ed.). Springer. ISBN 978-0-7923-6903-5.
• Battin, RH (1999). Introducción a las matemáticas y métodos de la astrodinámica . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica, Washington, DC ISBN 978-1-56347-342-5.
• Chobotov, VA, ed. (2002). Mecánica orbital (3.ª ed.). Instituto Americano de Aeronáutica y Aeronáutica, Washington, DC ISBN 978-1-56347-537-5.
• Herrick, S. (1971). Astrodinámica: determinación de órbitas, navegación espacial, mecánica celeste, volumen 1. Van Nostrand Reinhold, Londres. ISBN 978-0-442-03370-5.
• Herrick, S. (1972). Astrodinámica: corrección de órbitas, teoría de perturbaciones, integración, volumen 2. Van Nostrand Reinhold, Londres. ISBN 978-0-442-03371-2.
• Kaplan, MH (1976). Dinámica y controles de naves espaciales modernas . Wiley, Nueva York. ISBN 978-0-471-45703-9.
• Tom Logsdon (1997). Mecánica orbital . Wiley-Interscience, Nueva York. ISBN 978-0-471-14636-0.
• John E. Prussing y Bruce A. Conway (1993). Mecánica orbital. Oxford University Press, Nueva York. ISBN 978-0-19-507834-3.
• MJ Sidi (2000). Dinámica y control de naves espaciales . Cambridge University Press, Nueva York. ISBN 978-0-521-78780-2.
• WE Wiesel (1996). Dinámica de los vuelos espaciales (2.ª ed.). McGraw-Hill, Nueva York. ISBN 978-0-07-070110-6.
• JP Vinti (1998). Mecánica orbital y celeste . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica, Reston, Virginia. ISBN 978-1-56347-256-5.
• P. Gurfil (2006). Astrodinámica moderna . Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-12-373562-1.

Enlaces externos

• MECÁNICA ORBITAL (Tecnología espacial y de cohetes)
• Kit de herramientas de astrodinámica de Java
• Gráfico de conocimiento de eventos y tráfico espacial basado en la astrodinámica