Parámetro gravitacional estándar

Concepto en mecánica celeste

El parámetro gravitacional estándar μ de un cuerpo celeste es el producto de la constante gravitacional G por la masa M de ese cuerpo. Para dos cuerpos, el parámetro puede expresarse como G ( m ₁ + m ₂ ) , o como GM cuando un cuerpo es mucho más grande que el otro: $${\displaystyle \mu =G(M+m)\approx GM.}$$

En el caso de varios objetos del Sistema Solar , el valor de μ se conoce con mayor precisión que el de G o M. La unidad del SI del parámetro gravitacional estándar es m ³ ⋅ s ⁻² . Sin embargo, la unidad km ³ ⋅ s ⁻² se utiliza con frecuencia en la literatura científica y en la navegación espacial.

Definición

Cuerpo pequeño orbitando alrededor de un cuerpo central

Gráfico logarítmico-logarítmico del período T frente al semieje mayor a (promedio del afelio y perihelio) de algunas órbitas del Sistema Solar (las cruces indican los valores de Kepler) que muestran que a ³/ T ² es constante (línea verde)

El cuerpo central de un sistema orbital puede definirse como aquel cuya masa ( M ) es mucho mayor que la masa del cuerpo en órbita ( m ), o M ≫ m . Esta aproximación es estándar para los planetas que orbitan alrededor del Sol o la mayoría de las lunas y simplifica enormemente las ecuaciones. Según la ley de gravitación universal de Newton , si la distancia entre los cuerpos es r , la fuerza ejercida sobre el cuerpo más pequeño es: $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {\mu m}{r^{2}}}}$$

Por lo tanto, solo se necesita el producto de G y M para predecir el movimiento del cuerpo más pequeño. Por el contrario, las mediciones de la órbita del cuerpo más pequeño solo brindan información sobre el producto, μ , no sobre G y M por separado. La constante gravitacional, G , es difícil de medir con alta precisión, ^[11] mientras que las órbitas, al menos en el sistema solar, se pueden medir con gran precisión y se pueden usar para determinar μ con precisión similar.

Para una órbita circular alrededor de un cuerpo central, donde la fuerza centrípeta proporcionada por la gravedad es F = mv ² r ⁻¹ : donde r es el radio de la órbita , v es la velocidad orbital , ω es la velocidad angular y T es el período orbital . $${\displaystyle \mu =rv^{2}=r^{3}\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}r^{3}}{T^{2}}},}$$

Esto se puede generalizar para órbitas elípticas : donde a es el semieje mayor , que es la tercera ley de Kepler ^{[ ancla rota ]} . $${\displaystyle \mu ={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{T^{2}}},}$$

Para trayectorias parabólicas, rv ² es constante e igual a 2 μ . Para órbitas elípticas e hiperbólicas, la magnitud de μ = 2 veces la magnitud de a por la magnitud de ε , donde a es el semieje mayor y ε es la energía orbital específica .

Caso general

En el caso más general en el que los cuerpos no necesitan ser uno grande y uno pequeño, por ejemplo un sistema estelar binario , definimos:

• El vector r es la posición de un cuerpo con respecto al otro.
• r , v y, en el caso de una órbita elíptica , el semieje mayor a , se definen en consecuencia (por lo tanto, r es la distancia)
• μ = Gm ₁ + Gm ₂ = μ ₁ + μ ₂ , donde m ₁ y m ₂ son las masas de los dos cuerpos.

Entonces:

• Para órbitas circulares , rv ² = r ³ ω ² = 4π ² r ³ / T ² = μ
• para órbitas elípticas , 4π ² a ³ / T ² = μ (con a expresado en UA; T en años y M la masa total relativa a la del Sol, obtenemos a ³ / T ² = M )
• Para trayectorias parabólicas , rv ² es constante e igual a 2 μ
• Para órbitas elípticas e hiperbólicas, μ es el doble del semieje mayor por el negativo de la energía orbital específica , donde esta última se define como la energía total del sistema dividida por la masa reducida .

En un péndulo

El parámetro gravitacional estándar se puede determinar utilizando un péndulo que oscila sobre la superficie de un cuerpo como: ^[12]

$${\displaystyle \mu \approx {\frac {4\pi ^{2}r^{2}L}{T^{2}}}}$$donde r es el radio del cuerpo gravitacional, L es la longitud del péndulo y T es el período del péndulo (para la razón de la aproximación, véase Péndulo en mecánica ).

Sistema solar

Constante gravitacional geocéntrica

G M _E , el parámetro gravitacional de la Tierra como cuerpo central, se denomina constante gravitacional geocéntrica . Es igual a(3,986 004 418 ± 0,000 000 008 ) × 10 ¹⁴  m ³ ⋅s ⁻² . ^[3]

El valor de esta constante se volvió importante con el comienzo de los vuelos espaciales en la década de 1950, y se realizó un gran esfuerzo para determinarlo con la mayor precisión posible durante la década de 1960. Sagitov (1969) cita una serie de valores informados a partir de mediciones de alta precisión de la década de 1960, con una incertidumbre relativa del orden de 10 ⁻⁶ . ^[13]

Durante los años 1970 y 1980, el creciente número de satélites artificiales en órbita terrestre facilitó aún más las mediciones de alta precisión, y la incertidumbre relativa se redujo en otros tres órdenes de magnitud, a aproximadamente2 × 10 ⁻⁹ (1 en 500 millones) a partir de 1992. La medición implica observaciones de las distancias desde el satélite a las estaciones terrestres en diferentes momentos, que se pueden obtener con gran precisión utilizando radar o láser. ^[14]

Constante gravitacional heliocéntrica

G M _☉ , el parámetro gravitacional del Sol como cuerpo central, se llama constante gravitacional heliocéntrica o geopotencial del Sol y es igual a(1,327 124 400 42 ± 0,000 000 0001 ) × 10 ²⁰  m ³ ⋅s ⁻² . ^[15]

La incertidumbre relativa en G M _☉ , citada por debajo de 10 ⁻¹⁰ a partir de 2015, es menor que la incertidumbre en G M _E porque G M _☉ se deriva del alcance de las sondas interplanetarias, y el error absoluto de las medidas de distancia a ellas es aproximadamente el mismo que las medidas de alcance de los satélites terrestres, mientras que las distancias absolutas involucradas son mucho mayores. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Sistema astronómico de unidades
• Masa planetaria

Referencias

1. "Constantes astrodinámicas". NASA / JPL . 27 de febrero de 2009. Consultado el 27 de julio de 2009 .
2. Anderson, John D.; Colombo, Giuseppe; Esposito, Pasquale B.; Lau, Eunice L.; Trager, Gayle B. (septiembre de 1987). "La masa, el campo gravitatorio y las efemérides de Mercurio". Icarus . 71 (3): 337–349. Bibcode :1987Icar...71..337A. doi :10.1016/0019-1035(87)90033-9.
3. "Constantes astronómicas de la IAU: mejores estimaciones actuales". iau-a2.gitlab.io . Grupo de trabajo de la División I de la IAU sobre estándares numéricos para la astronomía fundamental . Consultado el 25 de junio de 2021 ., citando a Ries, JC, Eanes, RJ, Shum, CK y Watkins, MM, 1992, "Progreso en la determinación del coeficiente gravitacional de la Tierra", Geophys. Res. Lett., 19(6), págs. 529-531.
4. "Mars Gravity Model 2011 (MGM2011)" (PDF) . Grupo de Geodesia de Australia Occidental. 26 de marzo de 2015. Archivado desde el original el 10 de abril de 2013.
5. Raymond, Carol; Semenov, Boris (16 de octubre de 2015). Archivo de núcleo SPICE de constantes P (PcK) del asteroide Ceres (informe). Versión 0.5.
6. EV Pitjeva (2005). "Efemérides de planetas de alta precisión: EPM y determinación de algunas constantes astronómicas" (PDF) . Solar System Research . 39 (3): 176–186. Código Bibliográfico :2005SoSyR..39..176P. doi :10.1007/s11208-005-0033-2. S2CID  120467483. Archivado desde el original (PDF) el 22 de agosto de 2006.
7. DT Britt; D. Yeomans; K. Housen; G. Consolmagno (2002). "Densidad, porosidad y estructura de asteroides" (PDF) . En W. Bottke; A. Cellino; P. Paolicchi; RP Binzel (eds.). Asteroides III. University of Arizona Press . pág. 488.
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9. MW Buie; WM Grundy; EF Young; LA Young; et al. (2006). "Órbitas y fotometría de los satélites de Plutón: Caronte, S/2005 P1 y S/2005 P2". Revista Astronómica . 132 (1): 290–298. arXiv : astro-ph/0512491 . Código Bibliográfico :2006AJ....132..290B. doi :10.1086/504422. S2CID  119386667.
10. ME Brown; EL Schaller (2007). "La masa del planeta enano Eris". Science . 316 (5831): 1586. Bibcode :2007Sci...316.1585B. doi :10.1126/science.1139415. PMID  17569855. S2CID  21468196.
11. George T. Gillies (1997), "La constante gravitacional newtoniana: mediciones recientes y estudios relacionados", Informes sobre el progreso en física , 60 (2): 151–225, Bibcode :1997RPPh...60..151G, doi :10.1088/0034-4885/60/2/001, S2CID  250810284Una reseña larga y detallada.
12. Lewalle, Philippe; Dimino, Tony (2014), Medición de la constante gravitacional de la Tierra con un péndulo (PDF) , pág. 1
13. Sagitov, MU, "Estado actual de las determinaciones de la constante gravitacional y la masa de la Tierra", Astronomía soviética , vol. 13 (1970), 712–718, traducido de Astronomicheskii Zhurnal vol. 46, núm. 4 (julio-agosto de 1969), 907–915.
14. Lerch, Francis J.; Laubscher, Roy E.; Klosko, Steven M.; Smith, David E.; Kolenkiewicz, Ronald; Putney, Barbara H.; Marsh, James G.; Brownd, Joseph E. (diciembre de 1978). "Determinación de la constante gravitacional geocéntrica a partir de la medición por láser en satélites cercanos a la Tierra". Geophysical Research Letters . 5 (12): 1031–1034. Código Bibliográfico :1978GeoRL...5.1031L. doi :10.1029/GL005i012p01031.
15. Pitjeva, EV (septiembre de 2015). "Determinación del valor de la constante gravitacional heliocéntrica a partir de observaciones modernas de planetas y naves espaciales". Journal of Physical and Chemical Reference Data . 44 (3): 031210. Bibcode :2015JPCRD..44c1210P. doi :10.1063/1.4921980.