Formulación de variable universal

En mecánica orbital , la formulación de variable universal es un método utilizado para resolver el problema de Kepler de dos cuerpos . Es una forma generalizada de la ecuación de Kepler , que se extiende para que se aplique no solo a órbitas elípticas , sino también a órbitas parabólicas e hiperbólicas comunes para naves espaciales que parten de una órbita planetaria. También es aplicable a la expulsión de cuerpos pequeños en el Sistema Solar desde la proximidad de planetas masivos, durante cuyos procesos las órbitas de dos cuerpos que se aproximan pueden tener excentricidades muy variables , casi siempre e ≥ 1 . 

Introducción

Un problema común en mecánica orbital es el siguiente: Dado un cuerpo en una órbita y un tiempo original fijo, encuentre la posición del cuerpo en algún momento posterior. Para órbitas elípticas con una excentricidad razonablemente pequeña , resolver la ecuación de Kepler por métodos como el método de Newton da excelentes resultados. Sin embargo, a medida que la órbita se acerca a una trayectoria de escape, se vuelve cada vez más excéntrica, la convergencia de la iteración numérica puede volverse inutilizablemente lenta o no converger en absoluto para e ≥ 1. [ ^{1] [2]} ${\displaystyle \ t_{\mathsf {o}}\ ,}$ ${\displaystyle \ t~.}$ 

Téngase en cuenta que la forma convencional de la ecuación de Kepler no se puede aplicar a órbitas parabólicas e hiperbólicas sin adaptaciones especiales para acomodar números imaginarios , ya que su forma ordinaria está diseñada específicamente para senos y cosenos; las trayectorias de escape, en cambio, utilizan   sinh   y   cosh   ( funciones hiperbólicas ).

Derivación

Aunque se pueden derivar ecuaciones similares a la ecuación de Kepler para órbitas parabólicas e hiperbólicas , es más conveniente introducir una nueva variable independiente que ocupe el lugar de la anomalía excéntrica y tener una única ecuación que se pueda resolver independientemente de la excentricidad de la órbita. La nueva variable se define mediante la siguiente ecuación diferencial : ${\displaystyle \ E\ ,}$ ${\displaystyle \ s\ }$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} s}{\ \operatorname {d} t\ }}={\frac {\ 1\ }{r}}}$

donde es la distancia escalar dependiente del tiempo al centro de atracción. ${\displaystyle \ r\equiv r(t)\ }$

(En todas las fórmulas siguientes, observe cuidadosamente la distinción entre escalares en cursiva y vectores en negrita vertical ). ${\displaystyle \ r\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} \ ,}$

Podemos regularizar la ecuación fundamental

${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{\ \operatorname {d} t^{2}\ }}+\mu {\frac {\ \mathbf {r} \ }{~r^{3}\ }}=\mathbf {0} \ ,\quad }$

¿Dónde está la constante de escala gravitacional del sistema? ${\displaystyle ~~\mu \equiv G\left(m_{1}+m_{2}\right)~~}$

aplicando el cambio de variable de tiempo a lo que se obtiene ^[2] ${\displaystyle \ t\ }$ ${\displaystyle \ s\ }$

${\displaystyle {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{2}\ }}+\alpha \ \mathbf {r} =-\mathbf {P} \ }$

donde es un vector constante a determinar y : es la energía orbital, definida por ${\displaystyle \ \mathbf {P} \ }$ ${\displaystyle \ \alpha \ }$

${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\ \mu \ }{a}}~.}$

La ecuación es la misma que la del oscilador armónico , ecuación bien conocida tanto en física como en matemáticas , sin embargo, el vector constante desconocido resulta un tanto inconveniente. Tomando de nuevo la derivada, eliminamos el vector constante a costa de obtener una ecuación diferencial de tercer grado: ${\displaystyle \ \mathbf {P} \ ,}$

${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{3}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{3}\ }}+\alpha {\frac {\ \operatorname {d} \mathbf {r} \ }{\ \operatorname {d} s\ }}=\mathbf {0} \ }$

La familia de soluciones de esta ecuación diferencial ^[2] se escribe simbólicamente, por conveniencia, en términos de las tres funciones y donde las funciones se denominan funciones de Stumpff , que son generalizaciones truncadas de las series de senos y cosenos . La ecuación de cambio de variable da la ecuación integral escalar ${\displaystyle \ s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\ }$ ${\displaystyle \ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,}$ ${\displaystyle \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ;\ }$ ${\displaystyle \ c_{k}\!(x)\ ,}$ ${\displaystyle \ {\tfrac {\operatorname {d} t}{\ \operatorname {d} s\ }}=r\ }$

${\displaystyle \ \int _{{\tilde {t}}=t_{\mathsf {o}}}^{t}\operatorname {d} {\tilde {t}}=\int _{{\tilde {r}}=r_{\mathsf {o}},\ {\tilde {s}}=0}^{r,\ s}~{\tilde {r}}(\ {\tilde {s}}\ )~\operatorname {d} {\tilde {s}}~.}$

Después de un extenso álgebra y sustituciones hacia atrás, su solución resulta en ^{[2] : Ec. 6.9.26}

${\displaystyle \ t-t_{\mathsf {o}}=r_{\mathsf {o}}\ s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+r_{\mathsf {o}}{\frac {~\operatorname {d} r_{\mathsf {o}}\ }{\ \operatorname {d} t\ }}\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ }$

que es la formulación de variable universal de la ecuación de Kepler .

No existe una solución analítica cerrada, pero esta forma de variable universal de la ecuación de Kepler se puede resolver numéricamente utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces como el método de Newton o el método de Laguerre para un tiempo dado. El valor de así obtenido se utiliza luego a su vez para calcular las funciones y y las funciones y necesarias para encontrar la posición y la velocidad actuales: ${\displaystyle \ s\ ,}$ ${\displaystyle \ t\ ~.}$ ${\displaystyle \ s\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ {\dot {f}}\ }$ ${\displaystyle \ {\dot {g}}\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ f(s)&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{~r_{\mathsf {o}}\ }}\right)s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ g(s)&=t-t_{\mathsf {o}}-\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {f}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} f\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=-\left({\frac {\ \mu \ }{\ r_{\mathsf {o}}r\ }}\right)s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {g}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} g\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{r}}\right)\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)~.\\[-1ex]\end{aligned}}}$

Los valores de las funciones y determinan la posición del cuerpo en el momento : ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ t\ }$

$${\displaystyle \ \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ f(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ g(s)\ }$$

Además, la velocidad del cuerpo en ese momento se puede encontrar utilizando y de la siguiente manera: ${\displaystyle \ t\ }$ ${\displaystyle \ {\dot {f}}(s)\ }$ ${\displaystyle \ {\dot {g}}(s)\ }$

${\displaystyle \ \mathbf {v} (t)=\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ {\dot {f}}(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ {\dot {g}}(s)\ }$

donde y son respectivamente los vectores de posición y velocidad en el tiempo y y ${\displaystyle \ \mathbf {r} (t)\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {v} (t)\ }$ ${\displaystyle \ t\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ }$

${\displaystyle \ \mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ }$son la posición y la velocidad en un tiempo inicial arbitrario ${\displaystyle \ t_{\mathsf {o}}~.}$

Referencias

1. Stiefel, Eduard L. ; Scheifele, Gerhard (1971). Mecánica celeste lineal y regular: movimiento perturbado de dos cuerpos, métodos numéricos, teoría canónica . Springer-Verlag.
2. Danby, JMA (1988). Fundamentos de mecánica celeste (2.ª ed.). Willmann-Bell. ISBN 0943396204.