Ecuación de Kepler

Término de mecánica orbital

En mecánica orbital , la ecuación de Kepler relaciona varias propiedades geométricas de la órbita de un cuerpo sujeto a una fuerza central .

Fue derivada por Johannes Kepler en 1609 en el Capítulo 60 de su Astronomia nova , ^{[1] [2]} y en el libro V de su Epítome de la astronomía copernicana (1621) Kepler propuso una solución iterativa a la ecuación. ^{[3] [4]} Esta ecuación y su solución, sin embargo, aparecieron por primera vez en una obra del siglo IX de Habash al-Hasib al-Marwazi , que trataba problemas de paralaje. ^{[5] [6] [7] [8]} La ecuación ha jugado un papel importante en la historia de la física y las matemáticas, particularmente en la mecánica celeste clásica .

Ecuación

Soluciones de la ecuación de Kepler para cinco excentricidades diferentes entre 0 y 1

La ecuación de Kepler es

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

donde es la anomalía media , es la anomalía excéntrica y es la excentricidad . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e}$

La "anomalía excéntrica" ​​es útil para calcular la posición de un punto que se mueve en una órbita kepleriana. Por ejemplo, si el cuerpo pasa por el periastrón en las coordenadas , , en el tiempo , entonces para averiguar la posición del cuerpo en cualquier tiempo, primero se calcula la anomalía media a partir del tiempo y el movimiento medio mediante la fórmula , luego se resuelve la ecuación de Kepler anterior para obtener , luego se obtienen las coordenadas de: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x=a(1-e)}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M=n(t-t_{0})}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-e)\\y&=&b\sin E\end{array}}}$

donde está el semieje mayor , el semieje menor . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

La ecuación de Kepler es una ecuación trascendental porque el seno es una función trascendental y no se puede resolver algebraicamente . Por lo general, se requieren análisis numéricos y desarrollos en serie para evaluar . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Formas alternativas

Existen varias formas de la ecuación de Kepler. Cada una de ellas está asociada a un tipo específico de órbita. La ecuación estándar de Kepler se utiliza para órbitas elípticas ( ). La ecuación hiperbólica de Kepler se utiliza para trayectorias hiperbólicas ( ). La ecuación radial de Kepler se utiliza para trayectorias lineales (radiales) ( ). La ecuación de Barker se utiliza para trayectorias parabólicas ( ). ${\displaystyle 0\leq e<1}$ ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e=1}$

Cuando , la órbita es circular. Al aumentar, el círculo se vuelve elíptico. Cuando , hay cuatro posibilidades: ${\displaystyle e=0}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e=1}$

• una trayectoria parabólica,
• una trayectoria que va y viene a lo largo de un segmento de línea desde el centro de atracción hasta un punto situado a cierta distancia,
• una trayectoria que entra o sale a lo largo de un rayo infinito que emana del centro de atracción, con su velocidad yendo a cero con la distancia
• o una trayectoria a lo largo de un rayo, pero con una velocidad que no llega a cero con la distancia.

Un valor ligeramente superior a 1 da como resultado una órbita hiperbólica con un ángulo de giro de poco menos de 180 grados. Si se aumenta más, se reduce el ángulo de giro y, a medida que se tiende al infinito, la órbita se convierte en una línea recta de longitud infinita. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$

Ecuación hiperbólica de Kepler

La ecuación hiperbólica de Kepler es:

${\displaystyle M=e\sinh H-H}$

donde es la anomalía excéntrica hiperbólica. Esta ecuación se obtiene redefiniendo M como la raíz cuadrada de −1 multiplicado por el lado derecho de la ecuación elíptica: ${\displaystyle H}$

${\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}$

(en el que ahora es imaginario) y luego reemplazando por . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle iH}$

Ecuaciones radiales de Kepler

La ecuación radial de Kepler para el caso en que el objeto no tiene suficiente energía para escapar es:

${\displaystyle t(x)=\pm {\biggr [}\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}{\biggr ]}}$

donde es proporcional al tiempo y es proporcional a la distancia desde el centro de atracción a lo largo del rayo y alcanza el valor 1 en la distancia máxima. Esta ecuación se obtiene multiplicando la ecuación de Kepler por 1/2 y estableciendo en 1: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin E\right].}$

y luego hacer la sustitución

${\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}}).}$

La ecuación radial para cuando el objeto tiene suficiente energía para escapar es:

${\displaystyle t(x)=\pm {\biggr [}\sinh ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1+x)}}{\biggr ]}}$

Cuando la energía es exactamente la mínima necesaria para escapar, entonces el tiempo es simplemente proporcional a la distancia elevada a la potencia 3/2.

Problema inverso

Calcular para un valor dado de es sencillo. Sin embargo, resolver para cuando se da puede ser considerablemente más complicado. No existe una solución en forma cerrada . Resolver para es más o menos equivalente a resolver para la anomalía verdadera, o la diferencia entre la anomalía verdadera y la anomalía media, que se denomina " ecuación del centro ". ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$

Se puede escribir una expresión de serie infinita para la solución de la ecuación de Kepler usando la inversión de Lagrange , pero la serie no converge para todas las combinaciones de y (ver más abajo). ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle M}$

La confusión sobre la solubilidad de la ecuación de Kepler ha persistido en la literatura durante cuatro siglos. ^[9] El propio Kepler expresó dudas sobre la posibilidad de encontrar una solución general:

Estoy suficientemente convencido de que no se puede resolver a priori (la ecuación de Kepler), debido a la diferente naturaleza del arco y del seno. Pero si me equivoco y alguien me indica el camino, será para mí el gran Apolonio .

—  Johannes Kepler ^[10]

La expansión de la serie de Fourier (con respecto a ) utilizando funciones de Bessel es ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle M}$

${\displaystyle E=M+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {2}{m}}J_{m}(me)\sin(mM),\quad e\leq 1,\quad M\in [-\pi ,\pi ].}$

Con respecto a , es una serie de Kapteyn . ${\displaystyle e}$

Ecuación inversa de Kepler

La ecuación inversa de Kepler es la solución de la ecuación de Kepler para todos los valores reales de : ${\displaystyle e}$

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}$

Evaluando esto obtenemos:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ with }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}$

Estas series se pueden reproducir en Mathematica con la operación InverseSeries.

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

Estas funciones son series simples de Maclaurin . Estas representaciones de funciones trascendentales en series de Taylor se consideran definiciones de esas funciones. Por lo tanto, esta solución es una definición formal de la ecuación inversa de Kepler. Sin embargo, no es una función completa de en un valor dado distinto de cero . De hecho, la derivada ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle \mathrm {dM} /\mathrm {d} E=1-e\cos E}$

tiende a cero en un conjunto infinito de números complejos cuando el más cercano a cero está en y en estos dos puntos ${\displaystyle e<1,}$ ${\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),}$

${\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}$

(donde se toma que el cosh inverso es positivo), y tiende al infinito en estos valores de . Esto significa que el radio de convergencia de la serie de Maclaurin es y la serie no convergerá para valores de mayores que este. La serie también se puede utilizar para el caso hiperbólico, en cuyo caso el radio de convergencia es La serie para cuando converge cuando . ${\displaystyle \mathrm {d} E/\mathrm {d} M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle M<2\pi }$

Si bien esta solución es la más sencilla en cierto sentido matemático, ^{[¿ cuál? ]} , existen otras soluciones que son preferibles para la mayoría de las aplicaciones. Alternativamente, la ecuación de Kepler se puede resolver numéricamente.

La solución fue encontrada por Karl Stumpff en 1968, ^[14] pero su importancia no fue reconocida. ^{[15] [ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle e\neq 1}$

También se puede escribir una serie de Maclaurin en . Esta serie no converge cuando es mayor que el límite de Laplace (aproximadamente 0,66), independientemente del valor de (a menos que sea un múltiplo de 2π ), pero converge para todos si es menor que el límite de Laplace. Los coeficientes de la serie, distintos del primero (que es simplemente ), dependen de de forma periódica con período 2π . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Ecuación radial inversa de Kepler

La ecuación radial inversa de Kepler ( ) para el caso en que el objeto no tiene suficiente energía para escapar se puede escribir de manera similar como: ${\displaystyle e=1}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}$

Evaluando esto obtenemos:

${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}$

Para obtener este resultado usando Mathematica :

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

Aproximación numérica del problema inverso

El método de Newton

Para la mayoría de las aplicaciones, el problema inverso se puede calcular numéricamente encontrando la raíz de la función:

${\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}$

Esto se puede hacer iterativamente a través del método de Newton :

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}$

Nótese que y están en unidades de radianes en este cálculo. Esta iteración se repite hasta que se obtiene la precisión deseada (por ejemplo, cuando < precisión deseada). Para la mayoría de las órbitas elípticas, un valor inicial de es suficiente. Para órbitas con , se puede utilizar un valor inicial de. Numerosos trabajos desarrollaron conjeturas iniciales precisas (pero también más complejas). ^[16] Si es idénticamente 1, entonces la derivada de , que está en el denominador del método de Newton, puede acercarse a cero, lo que hace que los métodos basados ​​en derivadas como Newton-Raphson, secante o regula falsi sean numéricamente inestables. En ese caso, el método de bisección proporcionará convergencia garantizada, particularmente porque la solución puede limitarse en un pequeño intervalo inicial. En las computadoras modernas, es posible lograr 4 o 5 dígitos de precisión en 17 a 18 iteraciones. ^[17] Se puede utilizar un enfoque similar para la forma hiperbólica de la ecuación de Kepler. ^{[18] : 66–67} En el caso de una trayectoria parabólica, se utiliza la ecuación de Barker . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(E)}$ ${\displaystyle E_{0}=M(t)}$ ${\displaystyle e>0.8}$ ${\displaystyle E_{0}=\pi }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$

Iteración de punto fijo

Un método relacionado comienza por señalar que . Sustituir repetidamente la expresión de la derecha por la de la derecha produce un algoritmo de iteración de punto fijo simple para evaluar . Este método es idéntico a la solución de Kepler de 1621. ^[4] En pseudocódigo : ${\displaystyle E=M+e\sin {E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E(e,M)}$

función E ( e , M , n ) E = M para k = 1 a n E = M + e * sen E siguiente k devuelve E                      

El número de iteraciones, , depende del valor de . La forma hiperbólica tiene, de manera similar , . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle H=\sinh ^{-1}\left({\frac {H+M}{e}}\right)}$

Este método está relacionado con la solución del método de Newton anterior en que

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}}$

Para realizar el primer pedido en pequeñas cantidades y , ${\displaystyle M-E_{n}}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}}$.

Véase también

• Ecuación del centro
• Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario
• Problema de Kepler
• Problema de Kepler en la relatividad general
• Trayectoria radial

Referencias

1. Kepler, Johannes (1609). "LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hipothesi, extruendi utramque partem æquationis, & distantias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. argumentum falsæ hipotheseos". Astronomia Nova Aitiologētos, Seu Physica Coelestis, tradita commentariis De Motibus Stellæ Martis, Ex observeibus GV Tychonis Brahe (en latín). págs. 299–300.
2. Aaboe, Asger (2001). Episodios de la historia temprana de la astronomía. Springer. pp. 146-147. ISBN 978-0-387-95136-2.
3. Kepler, Johannes (1621). "Libri V. Pars altera". Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quaestionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ (en latín). págs. 695–696.
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9. Se afirma a menudo que la ecuación de Kepler "no puede resolverse analíticamente "; véase, por ejemplo, aquí. Otros autores afirman que no puede resolverse en absoluto; véase, por ejemplo, Madabushi VK Chari; Sheppard Joel Salon; Numerical Methods in Electromagnetism , Academic Press, San Diego, CA, EE. UU., 2000, ISBN 0-12-615760-X , pág. 659. 
10. "Mihi ſufficit credere, ſolvi a priori non poſſe, propter arcus & ſinus ετερογενειαν. Erranti mihi, quicumque viam monſtraverit, es erit mihi magnus Apollonius". Hall, Asaph (mayo de 1883). "El problema de Kepler". Anales de Matemáticas . 10 (3): 65–66. doi :10.2307/2635832. JSTOR  2635832.
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15. Colwell, Peter (1993). Resolviendo la ecuación de Kepler a lo largo de tres siglos . Willmann–Bell. pág. 43. ISBN 0-943396-40-9.
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Enlaces externos

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• La ecuación de Kepler en Wolfram Mathworld