Límite de Laplace

Excentricidad máxima para la cual converge una serie de potencias para la ecuación de Kepler

En matemáticas , el límite de Laplace es el valor máximo de la excentricidad para el cual converge una solución de la ecuación de Kepler , en términos de una serie de potencias en la excentricidad. Es aproximadamente

0,66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290.

La ecuación de Kepler M  =  E  − ε sen  E relaciona la anomalía media M con la anomalía excéntrica E para un cuerpo que se mueve en una elipse con excentricidad ε. Esta ecuación no se puede resolver para E en términos de funciones elementales , pero el teorema de reversión de Lagrange proporciona la solución como una serie de potencias en ε:

${\displaystyle E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots }$

o en general ^{[1] [2]}

${\displaystyle E=M\;+\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{n}}{2^{n-1}\,n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\,{\binom {n}{k}}\,(n-2k)^{n-1}\,\sin((n-2k)\,M)}$

Laplace se dio cuenta de que esta serie converge para valores pequeños de la excentricidad, pero diverge para cualquier valor de M distinto de un múltiplo de π si la excentricidad excede un cierto valor que no depende de M. El límite de Laplace es este valor. Es el radio de convergencia de la serie de potencias.

Es la única solución real de la ecuación trascendental ^[3]

${\displaystyle {\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}=1}$

István Mező propuso una expresión en forma cerrada en términos de la función especial r-Lambert y una representación en serie infinita. ^[4]

Historia

Laplace calculó el valor 0,66195 en 1827. El astrónomo italiano Francesco Carlini halló el límite 0,66 cinco años antes que Laplace. Cauchy en 1829 dio el valor preciso 0,66274. ^[5]

Véase también

• Excentricidad orbital

Referencias

1. Finch (2003), §4.8
2. Moulton (1914), §99
3. Weisstein, Eric W. "Límite de Laplace". MathWorld . Consultado el 18 de junio de 2024 .
4. Mező, István (2022). «Nuevas expresiones para la constante límite de Laplace» . Publ. Matemáticas. Debrecen . 101 (3–4): 491–496.
5. Sacchetti, Andrea (noviembre de 2020). «Francesco Carlini: La ecuación de Kepler y la solución asintótica de ecuaciones diferenciales singulares». Historia Mathematica . 53 : 1–32. arXiv : 2002.02679 . doi :10.1016/j.hm.2020.06.001.

• Finch, Steven R. (2003), "Constante límite de Laplace", Constantes matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-81805-6.
• Moulton, Forest R. (1914), "V. El problema de dos cuerpos", Introducción a la mecánica celeste (2.ª ed.), MacMillan.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Límite de Laplace". MundoMatemático .
• Secuencia OEIS A033259 (Expansión decimal de la constante límite de Laplace)