anomalía excéntrica

Ángulo que define una posición en una órbita.

En mecánica orbital , la anomalía excéntrica es un parámetro angular que define la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una órbita elíptica de Kepler . La anomalía excéntrica es uno de los tres parámetros angulares ("anomalías") que definen una posición a lo largo de una órbita, siendo los otros dos la anomalía verdadera y la anomalía media .

Representación grafica

La anomalía excéntrica del punto P es el ángulo E. El centro de la elipse es el punto O y el foco es el punto F.

Considere la elipse con ecuación dada por:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

donde a es el semieje mayor y b es el semieje menor .

Para un punto en la elipse, P  =  P ( x ,  y ), que representa la posición de un cuerpo en órbita en una órbita elíptica, la anomalía excéntrica es el ángulo E en la figura. La anomalía excéntrica E es uno de los ángulos de un triángulo rectángulo con un vértice en el centro de la elipse, su lado adyacente se encuentra sobre el eje mayor , tiene una hipotenusa a (igual al semieje mayor de la elipse) y opuesta lado (perpendicular al eje mayor y tocando el punto P′ del círculo auxiliar de radio a ) que pasa por el punto P. La anomalía excéntrica se mide en la misma dirección que la anomalía verdadera, que se muestra en la figura como . La anomalía excéntrica E en términos de estas coordenadas viene dada por: ^[1] ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos E={\frac {x}{a}},}$

y

${\displaystyle \sin E={\frac {y}{b}}}$

La segunda ecuación se establece usando la relación

${\displaystyle \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1-\cos ^{2}E=\sin ^{2}E}$,

lo que implica que sen E = ±y/b. La ecuación pecado E = −y/bse puede descartar inmediatamente porque atraviesa la elipse en la dirección equivocada. También se puede observar que se puede considerar que la segunda ecuación proviene de un triángulo similar con su lado opuesto que tiene la misma longitud y que la distancia de P al eje mayor , y su hipotenusa b igual al semieje menor del elipse.

Fórmulas

Radio y anomalía excéntrica.

La excentricidad e se define como:

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ .}$

Del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo con r (una distancia FP ) como hipotenusa:

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left(1-\cos ^{2}E\right)+a^{2}\left(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E\right)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}\left(1-e\cos E\right)^{2}\\\end{aligned}}}$

Así, el radio (distancia del foco al punto P ) está relacionado con la anomalía excéntrica mediante la fórmula

${\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)\ .}$

Con este resultado se puede determinar la anomalía excéntrica a partir de la anomalía verdadera como se muestra a continuación.

De la verdadera anomalía

La verdadera anomalía es el ángulo etiquetado en la figura, ubicado en el foco de la elipse. A veces se representa por f o v . La anomalía verdadera y la anomalía excéntrica se relacionan de la siguiente manera. ^[2] ${\displaystyle \theta }$

Usando la fórmula anterior para r , el seno y el coseno de E se encuentran en términos de f  :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {\,x\,}{a}}={\frac {\,ae+r\cos f\,}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos f\\\Rightarrow \cos E&={\frac {\,e+\cos f\,}{1+e\cos f}}\\\sin E&={\sqrt {\,1-\cos ^{2}E\;}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{1+e\cos f}}~.\end{aligned}}}$

Por eso,

${\displaystyle \tan E={\frac {\,\sin E\,}{\cos E}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{e+\cos f}}~.}$

El ángulo E es por lo tanto el ángulo adyacente de un triángulo rectángulo con hipotenusa lado adyacente y lado opuesto ${\displaystyle \;1+e\cos f\;,}$ ${\displaystyle \;e+\cos f\;,}$ ${\displaystyle \;{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\;.}$

También,

${\displaystyle \tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}}$

Sustituyendo cos  E como se encontró arriba en la expresión para r , la distancia radial desde el punto focal al punto P , también se puede encontrar en términos de la verdadera anomalía: ^[2]

${\displaystyle r={\frac {a\left(\,1-e^{2}\,\right)}{\,1+e\cos f\,}}={\frac {p}{\,1+e\cos f\,}}\,}$

dónde

${\displaystyle \,p\equiv a\left(\,1-e^{2}\,\right)}$

se llama "el recto semi-latus" en geometría clásica.

De la anomalía media

La anomalía excéntrica E está relacionada con la anomalía media M mediante la ecuación de Kepler : ^[3]

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Esta ecuación no tiene una solución de forma cerrada para E dado M. Suele resolverse mediante métodos numéricos , p. ej., el método de Newton-Raphson . Se puede expresar en una serie de Fourier como

${\displaystyle E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)}$

¿Dónde está la función de Bessel de primer tipo? ${\displaystyle J_{n}(x)}$

Ver también

• Vector de excentricidad
• Excentricidad orbital

notas y referencias

1. George Albert Wentworth (1914). "La elipse §126". Elementos de geometría analítica (2ª ed.). Ginn & Co. pág. 141.
2. Tsui, James Bao-yen (2000). Fundamentos de los receptores del sistema de posicionamiento global: un enfoque de software (3ª ed.). John Wiley e hijos . pag. 48.ISBN​ 0-471-38154-3.
3. Michel Capderou (2005). "Definición de la anomalía media, ecuación 1.68". Satélites: órbitas y misiones . Saltador. pag. 21.ISBN​ 2-287-21317-1.

Fuentes

• Murray, Carl D.; y Dermott, Stanley F. (1999); Dinámica del sistema solar , Cambridge University Press, Cambridge, GB
• Plummer, Henry CK (1960); An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy , Dover Publications, Nueva York, NY (Reimpresión de la edición de Cambridge University Press de 1918)