Teorema de reversión de Lagrange

En matemáticas , el teorema de reversión de Lagrange proporciona desarrollos en series o series de potencias formales de ciertas funciones definidas implícitamente ; de ​​hecho, de composiciones con dichas funciones.

Sea v una función de x e y en términos de otra función f tal que

${\displaystyle v=x+yf(v)}$

Entonces, para cualquier función g , para un valor de y suficientemente pequeño :

${\displaystyle g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right).}$

Si g es la identidad, esto se convierte en

${\displaystyle v=x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}\right)}$

En cuyo caso la ecuación se puede derivar utilizando la teoría de perturbaciones .

En 1770, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publicó su solución en serie de potencias de la ecuación implícita para v mencionada anteriormente. Sin embargo, su solución utilizó engorrosas expansiones en serie de logaritmos. ^{[1] [2]} En 1780, Pierre-Simon Laplace (1749-1827) publicó una prueba más simple del teorema, que se basaba en relaciones entre derivadas parciales con respecto a la variable x y el parámetro y. ^{[3] [4] [5]} Charles Hermite (1822-1901) presentó la prueba más directa del teorema utilizando la integración de contorno. ^{[6] [7] [8]}

El teorema de reversión de Lagrange se utiliza para obtener soluciones numéricas de la ecuación de Kepler .

Prueba sencilla

Empezamos escribiendo:

${\displaystyle g(v)=\int \delta (yf(z)-z+x)g(z)(1-yf'(z))\,dz}$

Escribiendo la función delta como una integral tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\iint \exp(ik[yf(z)-z+x])g(z)(1-yf'(z))\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\iint {\frac {(ikyf(z))^{n}}{n!}}g(z)(1-yf'(z))e^{ik(x-z)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\iint {\frac {(yf(z))^{n}}{n!}}g(z)(1-yf'(z))e^{ik(x-z)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\end{aligned}}}$

La integral sobre k entonces da y tenemos: ${\displaystyle \delta (x-z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {(yf(x))^{n}}{n!}}g(x)(1-yf'(x))\right]\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac {y^{n+1}}{(n+1)!}}\left\{(g(x)f(x)^{n+1})'-g'(x)f(x)^{n+1}\right\}\right]\end{aligned}}}$

Reorganizando la suma y cancelando se obtiene el resultado:

${\displaystyle g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right)}$

Referencias

1. Lagrange, Joseph Louis (1770) "Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin , vol. 24, páginas 251–326. (Disponible en línea en: [1] .)
2. Lagrange, Joseph Louis, Oeuvres , [París, 1869], vol. 2, página 25; vol. 3, páginas 3–73.
3. Laplace, Pierre Simon de (1777) "Mémoire sur l'usage du calcul aux différences partielles dans la théories des suites", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris, vol. , páginas 99–122.
4. Laplace, Pierre Simon de, Oeuvres [París, 1843], vol. 9, páginas 313–335.
5. La prueba de Laplace se presenta en:
   • Goursat, Édouard, Un curso de análisis matemático (traducido por ER Hedrick y O. Dunkel) [NY, NY: Dover, 1959], Vol. I, páginas 404–405.
6. Hermite, Charles (1865) "Sur quelques développements en série de fonctions de plusieurs variables", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences des Paris , vol. 60, páginas 1–26.
7. Hermite, Charles, Oeuvres [París, 1908], vol. 2, páginas 319–346.
8. La prueba de Hermite se presenta en:
   • Goursat, Édouard, Un curso de análisis matemático (traducido por ER Hedrick y O. Dunkel) [NY, NY: Dover, 1959], Vol. II, Parte 1, páginas 106–107.
   • ET Whittaker y GN Watson , Un curso de análisis moderno , 4.ª ed. [Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1962] páginas 132–133.

Enlaces externos

• Teorema de inversión de Lagrange (reversión) en MathWorld
• Expansión de Cornish-Fisher, una aplicación del teorema
• El artículo sobre la ecuación del tiempo contiene una aplicación de la ecuación de Kepler.