problema de dos cuerpos

Problema de movimiento en mecánica clásica.

Izquierda: Dos cuerpos con masa similar orbitando un baricentro común externo a ambos cuerpos, con órbitas elípticas, típicas de estrellas binarias . Derecha: dos cuerpos con una "ligera" diferencia de masa orbitando alrededor de un baricentro común. Los tamaños y este tipo de órbita son similares al sistema Plutón-Caronte (en el que el baricentro es externo a ambos cuerpos) y al sistema Tierra - Luna , donde el baricentro es interno al cuerpo más grande.

En la mecánica clásica , el problema de dos cuerpos consiste en predecir el movimiento de dos objetos masivos que se consideran de forma abstracta como partículas puntuales . El problema supone que los dos objetos interactúan sólo entre sí; la única fuerza que afecta a cada objeto surge del otro y todos los demás objetos se ignoran.

El ejemplo más destacado del problema clásico de dos cuerpos es el caso gravitacional (ver también problema de Kepler ), que surge en astronomía para predecir las órbitas (o escapes de la órbita) de objetos como satélites , planetas y estrellas . Un modelo de partículas de dos puntos de dicho sistema casi siempre describe su comportamiento lo suficientemente bien como para proporcionar información y predicciones útiles.

Un modelo más simple de "un cuerpo", el " problema de la fuerza central ", trata un objeto como la fuente inmóvil de una fuerza que actúa sobre el otro. Luego se busca predecir el movimiento del único objeto móvil restante. Esta aproximación puede dar resultados útiles cuando un objeto es mucho más masivo que el otro (como ocurre con un planeta ligero que orbita alrededor de una estrella pesada, donde la estrella puede considerarse esencialmente estacionaria).

Sin embargo, la aproximación de un cuerpo suele ser innecesaria excepto como trampolín. Para muchas fuerzas, incluidas las gravitacionales, la versión general del problema de dos cuerpos se puede reducir a un par de problemas de un solo cuerpo, lo que permite resolverlo por completo y proporciona una solución lo suficientemente simple como para utilizarla de manera efectiva.

Por el contrario, el problema de los tres cuerpos (y, más generalmente, el problema de los n cuerpos para n  ≥ 3) no puede resolverse en términos de primeras integrales, excepto en casos especiales.

Resultados para casos destacados

Gravitación y otros ejemplos de cuadrado inverso

El problema de los dos cuerpos es interesante en astronomía porque los pares de objetos astronómicos a menudo se mueven rápidamente en direcciones arbitrarias (por lo que sus movimientos se vuelven interesantes), muy separados entre sí (para que no colisionen) y aún más separados de otros objetos ( para que las influencias externas sean lo suficientemente pequeñas como para ignorarlas con seguridad).

Bajo la fuerza de la gravedad , cada miembro de un par de tales objetos orbitará su centro de masa mutuo en un patrón elíptico, a menos que se muevan lo suficientemente rápido como para escaparse uno del otro por completo, en cuyo caso sus trayectorias divergirán a lo largo de otras secciones cónicas planas. . Si un objeto es mucho más pesado que el otro, se moverá mucho menos que el otro con referencia al centro de masa compartido. El centro de masa mutuo puede incluso estar dentro del objeto más grande.

Para la derivación de las soluciones al problema, véase Problema clásico de fuerza central o Problema de Kepler .

En principio, las mismas soluciones se aplican a problemas macroscópicos que involucran objetos que interactúan no solo a través de la gravedad, sino a través de cualquier otro campo de fuerza escalar atractivo que obedezca una ley del cuadrado inverso , siendo la atracción electrostática el ejemplo físico obvio. En la práctica, estos problemas rara vez surgen. Excepto quizás en aparatos experimentales u otros equipos especializados, rara vez encontramos objetos que interactúan electrostáticamente y que se mueven lo suficientemente rápido y en una dirección tal que eviten colisionar, y/o que estén lo suficientemente aislados de su entorno.

El sistema dinámico de un sistema de dos cuerpos bajo la influencia del par resulta ser una ecuación de Sturm-Liouville . ^[1]

Inaplicabilidad a átomos y partículas subatómicas.

Aunque el modelo de dos cuerpos trata los objetos como partículas puntuales, la mecánica clásica sólo se aplica a sistemas de escala macroscópica. La mayor parte del comportamiento de las partículas subatómicas no se puede predecir según los supuestos clásicos que subyacen a este artículo o utilizando las matemáticas aquí.

A veces se describe que los electrones de un átomo "orbitan" su núcleo , siguiendo una conjetura temprana de Niels Bohr (de ahí el término " orbital "). Sin embargo, los electrones en realidad no orbitan alrededor de núcleos en ningún sentido significativo, y la mecánica cuántica es necesaria para cualquier comprensión útil del comportamiento real del electrón. Resolver el clásico problema de dos cuerpos para un electrón que orbita alrededor de un núcleo atómico es engañoso y no produce muchos conocimientos útiles.

Reducción a dos problemas independientes de un solo cuerpo.

El problema completo de dos cuerpos se puede resolver reformulándolo como dos problemas de un solo cuerpo: uno trivial y otro que implica resolver el movimiento de una partícula en un potencial externo . Dado que muchos problemas de un solo cuerpo se pueden resolver exactamente, el correspondiente problema de dos cuerpos también se puede resolver.

Jacobi coordina para el problema de dos cuerpos; Las coordenadas de Jacobi son y con . ^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}$ ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}\ }$

Sean x ₁ y x ₂ las posiciones vectoriales de los dos cuerpos, y m ₁ y m ₂ sean sus masas. El objetivo es determinar las trayectorias x ₁ ( t ) y x ₂ ( t ) para todos los tiempos t , dadas las posiciones iniciales x ₁ ( t = 0) y x ₂ ( t = 0) y las velocidades iniciales v ₁ ( t = 0) y v ₂ ( t = 0) .

Cuando se aplica a las dos masas, la segunda ley de Newton establece que

donde F ₁₂ es la fuerza sobre la masa 1 debido a sus interacciones con la masa 2, y F ₂₁ es la fuerza sobre la masa 2 debido a sus interacciones con la masa 1. Los dos puntos encima de los vectores de posición x denotan su segunda derivada con respecto al tiempo, o sus vectores de aceleración.

Sumar y restar estas dos ecuaciones las desacopla en dos problemas de un solo cuerpo, que se pueden resolver de forma independiente. Sumar las ecuaciones (1) y ( 2 ) da como resultado una ecuación que describe el movimiento del centro de masa ( baricentro ). Por el contrario, restar la ecuación (2) de la ecuación (1) da como resultado una ecuación que describe cómo el vector r = x ₁ − x ₂ entre las masas cambia con el tiempo. Las soluciones de estos problemas independientes de un solo cuerpo se pueden combinar para obtener las soluciones para las trayectorias x ₁ ( t ) y x ₂ ( t ) .

Centro de movimiento de masas (primer problema de un solo cuerpo)

Sea la posición del centro de masa ( baricentro ) del sistema. La suma de las ecuaciones de fuerza (1) y (2) produce ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0}$$

la tercera ley de Newton F ₁₂ = − F ₂₁

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

La ecuación resultante:

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}=0}$$

m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂conservación del momentoR ( t ) ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {dR}{dt}}}$

Movimiento del vector de desplazamiento (segundo problema de un solo cuerpo)

Dividiendo ambas ecuaciones de fuerza por las masas respectivas, restando la segunda ecuación de la primera y reordenando se obtiene la ecuación.

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}}$$

la tercera ley de Newton F ₁₂ = − F ₂₁rvector de desplazamiento

La fuerza entre los dos objetos, que se origina en los dos objetos, sólo debe ser función de su separación r y no de sus posiciones absolutas x ₁ y x ₂ ; de lo contrario, no habría simetría traslacional y las leyes de la física tendrían que cambiar de un lugar a otro. Por tanto, la ecuación restada se puede escribir:

$${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )}$$

masa reducida? ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

Resolver la ecuación para r ( t ) es la clave para el problema de dos cuerpos. La solución depende de la fuerza específica entre los cuerpos, que está definida por . Para el caso en el que se sigue una ley del inverso del cuadrado , véase el problema de Kepler . ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$

Una vez determinados R ( t ) y r ( t ) , se pueden obtener las trayectorias originales.

$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {R} (t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$$

$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {R} (t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$$

Rr

El movimiento de dos cuerpos es plano.

El movimiento de dos cuerpos entre sí siempre se produce en un plano (en el centro del marco de masas ).

Prueba: Definiendo el momento lineal p y el momento angular L del sistema, con respecto al centro de masa, mediante las ecuaciones

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \mu {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},}$$

donde μ es la masa reducida y r es la posición relativa r ₂ − r ₁ (escritos tomando el centro de masa como origen y, por lo tanto, ambos paralelos a r ), la tasa de cambio del momento angular L es igual al par neto norte

$${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}\ ,}$$

producto vectorial vectorialv × w = 0vw

$${\displaystyle \mathbf {N} \ =\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$$

F = μ  re ² r / dt ²

Introduciendo el supuesto (verdadero para la mayoría de las fuerzas físicas, ya que obedecen a la fuerte tercera ley del movimiento de Newton ) de que la fuerza entre dos partículas actúa a lo largo de la línea entre sus posiciones, se deduce que r × F = 0 y el vector de momento angular L es constante (conservado). Por tanto, el vector de desplazamiento r y su velocidad v siempre están en el plano perpendicular al vector constante L.

Energía del sistema de dos cuerpos.

Si la fuerza F ( r ) es conservativa entonces el sistema tiene una energía potencial U ( r ) , por lo que la energía total se puede escribir como

$${\displaystyle E_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+U(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{1 \over 2}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$

En el marco del centro de masa, la energía cinética es la más baja y la energía total se vuelve

$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$

x ₁x ₂

$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}={\frac {\mu }{m_{1}}}\mathbf {r} }$$

$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=-{\frac {\mu }{m_{2}}}\mathbf {r} }$$

EE ₁E ₂

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}&={\frac {\mu }{m_{1}}}E={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {\mu }{m_{1}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{2}&={\frac {\mu }{m_{2}}}E={\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+{\frac {\mu }{m_{2}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{\text{tot}}&=E_{1}+E_{2}\end{aligned}}}$$

Fuerzas centrales

Para muchos problemas físicos, la fuerza F ( r ) es una fuerza central , es decir, tiene la forma

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$

r = | r | r̂ = r / rvector unitario

$${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

Fr

Ver también

• Deriva de energía
• Ecuación del centro
• El problema de los tres cuerpos de Euler
• órbita de Kepler
• problema de kepler
• problema n -cuerpo
• problema de tres cuerpos
• Teorema del virial

Referencias

1. Luo, Siwei (22 de junio de 2020). "El problema de Sturm-Liouville del sistema de dos cuerpos". Revista de Comunicaciones Físicas . 4 (6): 061001. Código bibliográfico : 2020JPhCo...4f1001L. doi : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
2. David Bétounes (2001). Ecuaciones diferenciales . Saltador. pag. 58; Figura 2.15. ISBN 0-387-95140-7.

Bibliografía

• Landau LD ; Lifshitz EM (1976). Mecánica (3ª ed.). Nueva York: Pergamon Press . ISBN 0-08-029141-4.
• Goldstein H (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Nueva York: Addison-Wesley . ISBN 0-201-02918-9.

enlaces externos

• El problema de los dos cuerpos en el mundo de la física de Eric Weisstein