En la teoría de sistemas de muchas partículas, las coordenadas de Jacobi se utilizan a menudo para simplificar la formulación matemática. Estas coordenadas son particularmente comunes en el tratamiento de moléculas poliatómicas y reacciones químicas , [3] y en mecánica celeste . [4] Un algoritmo para generar las coordenadas de Jacobi para N cuerpos puede basarse en árboles binarios . [5] En palabras, el algoritmo se describe de la siguiente manera: [5]
Sean m j y m k las masas de dos cuerpos que se reemplazan por un nuevo cuerpo de masa virtual M = m j + m k . Las coordenadas de posición x j y x k se reemplazan por su posición relativa r jk = x j − x k y por el vector a su centro de masas R jk = ( m j q j + m k q k )/( m j + m k ). El nodo en el árbol binario correspondiente al cuerpo virtual tiene m j como su hijo derecho y m k como su hijo izquierdo. El orden de los hijos indica los puntos de coordenadas relativas de x k a x j . Repita el paso anterior para N − 1 cuerpos, es decir, los N − 2 cuerpos originales más el nuevo cuerpo virtual.
Para el problema de N cuerpos el resultado es: [2]
con
El vector es el centro de masa de todos los cuerpos y es la coordenada relativa entre las partículas 1 y 2:
El resultado que se obtiene es entonces un sistema de N -1 coordenadas invariantes traslacionales y una coordenada de centro de masa , a partir de la reducción iterativa de sistemas de dos cuerpos dentro del sistema de muchos cuerpos.
Este cambio de coordenadas tiene asociado un jacobiano igual a .
Si uno está interesado en evaluar un operador de energía libre en estas coordenadas, obtiene
En los cálculos puede ser útil la siguiente identidad
.
Referencias
^ David Bétounes (2001). Ecuaciones Diferenciales . Saltador. pag. 58; Figura 2.15. ISBN 0-387-95140-7.
^ de Patrick Cornille (2003). "Partición de fuerzas utilizando coordenadas de Jacobi". Electromagnetismo avanzado y física del vacío . World Scientific. pág. 102. ISBN981-238-367-0.